資源簡介

(共32張PPT)
5.1.1 從算式到方程-第2課時
方程的解與一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 2 課時 方程的解與一元一次方程
副標題：深入探索方程奧秘
背景圖：選擇簡潔的數學線條圖案，搭配方程相關元素，營造數學學習氛圍
幻燈片 2：目錄
復習回顧
方程的解的深入探究
一元一次方程的概念
典型例題講解
課堂練習與互動
課堂小結
課后作業布置
幻燈片 3：復習回顧
方程概念回顧：展示 “含有未知數的等式叫做方程”，通過快速提問 “判斷\(3x + 5 = 14\)，\(7 - 2\)，\(4 > 2y\)哪些是方程”，強化學生對方程概念的記憶 。
提問引入新課：“我們知道方程是含有未知數的等式，那什么樣的未知數的值能讓方程成立呢？這就是我們今天要學習的方程的解；同時，我們還會認識一種特殊且重要的方程 —— 一元一次方程。”
幻燈片 4：方程的解的深入探究
定義強調：再次明確 “使方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解”。以方程\(x - 3 = 2\)為例，當\(x = 5\)時，左邊\(= 5 - 3 = 2\)，右邊\(= 2\)，左邊等于右邊，所以\(x = 5\)是方程\(x - 3 = 2\)的解 。
檢驗方法詳細講解：
第一步：將未知數的值代入方程左邊，計算結果。
第二步：將未知數的值代入方程右邊，計算結果。
第三步：比較左右兩邊結果，若相等，則該值是方程的解；若不相等，則不是方程的解。
互動提問：“對于方程\(2x + 1 = 7\)，大家猜猜\(x = 3\)是不是它的解？應該怎么檢驗呢？” 邀請學生回答，增強課堂互動。
幻燈片 5：方程的解的鞏固練習
題目展示：
檢驗\(x = 4\)是否為方程\(3x - 5 = 7\)的解。
檢驗\(y = -2\)是否為方程\(5 - y = 7\)的解。
答案解析：
對于方程\(3x - 5 = 7\)，當\(x = 4\)時，左邊\(= 3 4 - 5 = 12 - 5 = 7\)，右邊\(= 7\)，左邊等于右邊，所以\(x = 4\)是方程的解。
對于方程\(5 - y = 7\)，當\(y = -2\)時，左邊\(= 5 - (-2) = 5 + 2 = 7\)，右邊\(= 7\)，左邊等于右邊，所以\(y = -2\)是方程的解。
幻燈片 6：一元一次方程的概念
定義呈現：“只含有一個未知數（元），未知數的次數都是\(1\)，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。” 例如\(3x + 5 = 17\)，\(2y - 1 = 9\) 。
關鍵要素分析：
“一元”：強調只含有一個未知數。
“一次”：說明未知數的次數是\(1\)。
“整式方程”：等號兩邊的式子都是整式，分母中不含未知數。
對比辨析：展示式子\(x^2 + 3 = 7\)（未知數次數是\(2\)，不是一元一次方程）、\(\frac{1}{x} + 2 = 5\)（分母含有未知數，不是整式方程，不是一元一次方程），加深學生對概念的理解。
幻燈片 7：一元一次方程的判斷練習
題目展示：判斷下列式子是否為一元一次方程：
\(4x - 7 = 11\)
\(x + y = 9\)
\(3x^2 - 2 = 10\)
\(\frac{2}{x} + 3 = 8\)
答案解析：
\(4x - 7 = 11\)，只含一個未知數\(x\)，次數是\(1\)，等號兩邊是整式，是一元一次方程。
\(x + y = 9\)，含有兩個未知數\(x\)和\(y\)，不是一元一次方程。
\(3x^2 - 2 = 10\)，未知數\(x\)的次數是\(2\)，不是一元一次方程。
\(\frac{2}{x} + 3 = 8\)，分母含有未知數\(x\)，不是整式方程，不是一元一次方程。
幻燈片 8：典型例題講解 - 例 1
題目：已知\(x = 2\)是方程\(2ax - 3 = 5\)的解，求\(a\)的值。
分析解答：
因為\(x = 2\)是方程的解，所以將\(x = 2\)代入方程\(2ax - 3 = 5\)中。
得到\(2a 2 - 3 = 5\)，即\(4a - 3 = 5\)。
然后通過移項、計算求出\(a\)的值：\(4a = 5 + 3\)，\(4a = 8\)，\(a = 2\)。
幻燈片 9：典型例題講解 - 例 2
題目：判斷關于\(x\)的方程\((m - 2)x^{|m| - 1} + 3 = 7\)是一元一次方程，求\(m\)的值。
分析解答：
因為該方程是一元一次方程，根據一元一次方程的定義，未知數次數\(|m| - 1 = 1\)，且\(m - 2 0\)。
由\(|m| - 1 = 1\)，可得\(|m| = 2\)，\(m = ±2\)。
又因為\(m - 2 0\)，即\(m 2\)，所以\(m = -2\)。
幻燈片 10：課堂練習與互動
題目展示：
檢驗\(x = -1\)是否為方程\(4 - 2x = 6\)的解。
若方程\((k + 1)x + 5 = 0\)是一元一次方程，求\(k\)的取值范圍。
根據題意列一元一次方程：某數的\(3\)倍減去\(2\)等于\(7\)，設這個數為\(x\)。
課堂互動：讓學生在練習本上獨立完成，教師巡視，選取學生上臺板演，集體批改講解，解答學生疑問。
幻燈片 11：課堂小結
知識回顧：總結方程的解的定義和檢驗方法，回顧一元一次方程的概念及關鍵要素 。
重點強調：強調判斷一元一次方程要從 “一元”“一次”“整式方程” 三個方面入手；已知方程的解求參數值時，將解代入方程計算 。
幻燈片 12：課后作業布置
基礎作業：
檢驗\(x = 3\)是否為方程\(5x - 8 = 7\)的解。
判斷下列式子是否為一元一次方程：
\(6x + 1 = 9\)
\(x^2 - 4 = 0\)
\(\frac{3}{x} - 2 = 1\)
根據題意列一元一次方程：一個數加上\(5\)的和等于\(12\)，設這個數為\(y\)。
拓展作業：已知\(x = -3\)是方程\(2x + a = 4x - 1\)的解，求\(a^2 - 1\)的值；思考生活中能用一元一次方程解決的實際問題，嘗試列出方程并求解 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解方程的解的意義，會檢驗一個數是不是方程的解.
2.通過觀察、思考歸納出一元一次方程的概念，能正確識別一元一次方程.
學習目標
上節課，我們了解列方程是解決實際問題的重要方法，要想得到實際問題的解，還需要求出方程中未知數的值.
1.2x+1=0.8x+3
嘗試當x=4，x=5，x=6時，分別代入方程左右兩邊，看看有什么發現？
課堂導入
只有當x=5時，左邊=1.2×5+1=7，
右邊=0.8×5+3=7，
這時方程左、右兩邊的值相等.
1.2x+1=0.8x+3
知識點1 方程的解
新知探究
知識點1 方程的解
新知探究
一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解(solution). 例如，x=5 就是方程 1.2x+1=0.8x+3 的解. 求方程的解的過程，叫作解方程.
那方程的解和解方程有什么區別和聯系呢？
知識點1 方程的解
新知探究
方程的解 解方程
區別
聯系 是一個具體的數.
求方程的解的過程.
方程的解是通過解方程求得的.
方程的解與解方程的區別與聯系
知識點1 方程的解
新知探究
例1 (1) x=2，x=是方程 2x=3的解嗎？
解：(1)當x=2時，方程2x=3的左邊=2×2=4，右邊=3，
方程左、右兩邊的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解；
當x=時，方程2x=3的左邊=2× =3，右邊=3，
方程左、右兩邊的值相等，所以x= 是方程2x=3的解.
知識點1 方程的解
新知探究
(2)當x=10時，方程3x=4(x-5)的左邊=3×10=30，
右邊=4×(10-5)=20，
方程左、右兩邊的值不相等，所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解；
當x=20時，方程3x=4(x-5)的左邊=3×20=60，
右邊=4×(20-5)=60，
方程左、右兩邊的值相等，所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.
例1 (2) x=10，x=20是方程 3x=4(x-5) 的解嗎？
知識點1 方程的解
新知探究
檢驗一個數是不是方程的解的方法
把這個數代入方程的左、右兩邊
左邊=右邊
左邊右邊
是方程的解
不是方程的解
知識點1 方程的解
新知探究
思考 x=60是方程x2=4 000的解嗎？x=80呢？
解：當x=60時，方程左邊= ×3 600=2 250，右邊=4 000.
因為左邊≠右邊，所以x=60不是此方程的解.
當x=80時，方程左邊= ×6 400=4 000，右邊=4 000.
因為左邊=右邊，所以x=80是此方程的解.
知識點2 一元一次方程
新知探究
思考
觀察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4(x-5)，0.52x-(1-0.52)x=80，它們有什么共同特征？
它們的共同特征：
(1)只含有一個未知數；
(2)未知數的次數都是1；
(3)是方程；
(4)等式兩邊都是整式.
新知探究
一般地，如果方程中只含有一個未知數(元)，且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
知識點2 一元一次方程
注意 一元一次方程成立的條件：
①等式兩邊都是整式；②只含有一個未知數；
③未知數的次數都是1.
新知探究
知識點2 一元一次方程
例2 已知下列方程：
①x-2=；
②0.3x=1；
③ =5x+1；
④x2-4x=3；
⑤x=6；
⑥x+2y=0.
其中，是一元一次方程的有________.(填序號)
②③⑤
等號右邊不是整式.
未知數的最高次數是2.
有兩個未知數.
新知探究
知識點2 一元一次方程
跟蹤訓練 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？(1)2+3=3+2；(2)8y-9=9-y；(3)x2+2x+1=4.
解：(2)(3)為方程；(2)為一元一次方程.
沒有未知數.
新知探究
知識點2 一元一次方程
溯源
用“元”表示未知教，源于我國宋元時期的“天元術”. 天元術指的是用“天元”表示未知數，進而列出方程. 現存的使用天元術的最早著作是這一時期我國數學家李冶（1192-1279）于1248年所著的《測圓海鏡》，書中的“立天元一”相當于現在的“設未知數x”. 后來在研究涉及多個未知數的問題時，又引入“地元”“人元”“物元”等表示多個未知數.
知識點1 方程的解
1.下列方程中，解是 的方程是( )
C
A. B. C. D.
2.關于的方程的解為，則 的值為( )
A
A.3 B. C.7 D.
3.（8分）［教材 例2變式］
（1），是方程 的解嗎？
解：當時，，，左邊右邊，所以 是方程
的解.
當時，，，左邊右邊，所以 不是方
程 的解.
（2），是方程 的解嗎？
解：當時，，，左邊 右邊，所以
不是方程 的解.
當時，，，左邊 右邊，所以
是方程 的解.
知識點2 一元一次方程
4.［2025蘇州期末］下列方程中，屬于一元一次方程的是( )
A
A. B. C. D.
5.若關于的方程是一元一次方程，則 的值為( )
D
A. B.0 C.1 D.2
6.若關于的方程是一元一次方程，則 的取值范圍是
_________.
7.（12分）下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
（1）；（2） ；
（3） .
解： 是方程，（2）是一元一次方程.
8. 已知是關于的一元一次方程，則
( )
B
A.4 B. C.4或 D.3
9.請寫一個未知數的系數是 且方程的解是1的一元一次方程：
___________________________.
（答案不唯一）
10.若是關于的一元一次方程的解，則 的值
是____.
11. ［2025長沙期末］在元代數學家朱世杰所著的《算學
啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150
里，慢馬先行12天，快馬再出發，問快馬何時追上慢馬？設快馬追上慢
馬需要 天，根據題意可列方程為____________________.
12.（12分） 在一次植樹活動中，甲班植樹的棵樹比乙
班植樹的棵數多 ，乙班植樹的棵數比甲班植樹的棵數的一半多10棵，
若乙班植樹 棵.
（1）列兩個不同的含 的式子，分別表示甲班植樹的棵數；
解：因為乙班植樹 棵，乙班植樹的棵數比甲班植樹的棵數的一半多10
棵，所以甲班植樹 棵；
因為甲班植樹的棵數比乙班植樹的棵數多，所以甲班植樹 棵.
（2）根據題意列出以 為未知數的方程；
解：由（1）可知 .
（3）檢驗乙班、甲班植樹的棵數是不是分別為25棵和32棵.
解：當 時，
， .
因為左邊右邊，所以 滿足方程，
此時 ，即甲班植樹的棵數為30棵.
故乙班植樹的棵數是25棵，甲班植樹的棵數是30棵，而不是32棵.
課堂小結
一元一次方程
方程的解
方程
解方程
一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解.
求方程的解的過程，叫作解方程.
一般地，如果方程中只含有一個未知數(元)，未知數的次數都是1，等式兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程.
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