資源簡介

(共32張PPT)
5.2 解一元一次方程-第4課時(shí)
利用去分母解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
幻燈片 1：封面
標(biāo)題：第 4 課時(shí) 利用去分母解一元一次方程
副標(biāo)題：跨越分?jǐn)?shù)方程的障礙
背景圖：設(shè)計(jì)帶有分?jǐn)?shù)、方程與橋梁元素的圖案，寓意學(xué)生通過學(xué)習(xí)跨越分?jǐn)?shù)方程的難題，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力
幻燈片 2：目錄
復(fù)習(xí)回顧
情境引入
去分母的原理與方法
利用去分母解方程的步驟
典型例題講解
課堂練習(xí)與互動(dòng)
課堂小結(jié)
課后作業(yè)布置
幻燈片 3：復(fù)習(xí)回顧
回顧去括號(hào)解方程：展示方程\(3(2x - 1)=2(x + 3) - 1\)，邀請(qǐng)學(xué)生快速說出解題步驟，回顧去括號(hào)（將\(3\)與\(2\)分別乘入括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)）、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為\(1\)的過程，強(qiáng)化去括號(hào)解方程的方法 。
復(fù)習(xí)等式性質(zhì) 2：再次強(qiáng)調(diào)等式性質(zhì) 2“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為\(0\)的數(shù)，結(jié)果仍相等”，提問學(xué)生 “若\(3x = 15\)，如何利用等式性質(zhì) 2 求解”，為去分母的原理講解做鋪墊 。
提問引入新課：“我們已經(jīng)會(huì)解含括號(hào)的方程，那如果方程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，像\(\frac{x}{2} + 3 = 5\)，怎樣求解更簡便呢？今天我們就來學(xué)習(xí)利用去分母解一元一次方程。”
幻燈片 4：情境引入
問題展示：“小明看一本故事書，第一天看了全書的\(\frac{1}{3}\)，第二天看了全書的\(\frac{1}{4}\)，還剩下\(50\)頁沒看，這本故事書一共有多少頁？”
引導(dǎo)思考：設(shè)這本故事書一共有\(zhòng)(x\)頁，根據(jù)頁數(shù)關(guān)系列出方程\(\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x + 50 = x\)。引導(dǎo)學(xué)生觀察方程，發(fā)現(xiàn)方程中含有分?jǐn)?shù)，計(jì)算不便，從而引出需要通過去分母將方程簡化求解的需求 。
幻燈片 5：去分母的原理與方法
原理講解：以方程\(\frac{x}{2} = 3\)為例，根據(jù)等式性質(zhì) 2，在等式兩邊同時(shí)乘以分母\(2\)，即\(\frac{x}{2} 2 = 3 2\)，得到\(x = 6\)，解釋去分母的原理是利用等式性質(zhì)，消除方程中的分母，使方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)形式，便于計(jì)算 。
方法總結(jié)：總結(jié)去分母的方法，先找出方程中各分母的最小公倍數(shù)，然后根據(jù)等式性質(zhì) 2，將方程兩邊同時(shí)乘以這個(gè)最小公倍數(shù)，把方程中的分母去掉。強(qiáng)調(diào)方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘以最小公倍數(shù)，不能漏乘 。
要點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)去分母時(shí)要準(zhǔn)確找出最小公倍數(shù)，并且確保每一項(xiàng)都乘到，這是去分母正確與否的關(guān)鍵，避免出現(xiàn)漏乘導(dǎo)致錯(cuò)誤。
幻燈片 6：利用去分母解方程的步驟
步驟總結(jié)：
第一步：找出方程中所有分母的最小公倍數(shù)。
第二步：根據(jù)等式性質(zhì) 2，將方程兩邊同時(shí)乘以最小公倍數(shù)，去掉分母。
第三步：運(yùn)用去括號(hào)法則（若有括號(hào)），去掉括號(hào)。
第四步：移項(xiàng)，將含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，注意移項(xiàng)變號(hào)。
第五步：合并同類項(xiàng)，將等號(hào)兩邊的同類項(xiàng)進(jìn)行合并。
第六步：利用等式性質(zhì) 2，在等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，求出方程的解 。
示例說明：以方程\(\frac{x - 1}{2} = \frac{2x + 1}{3}\)為例，詳細(xì)展示步驟。首先找出分母\(2\)和\(3\)的最小公倍數(shù)是\(6\)；然后方程兩邊同時(shí)乘以\(6\)，得到\(6 \frac{x - 1}{2} = 6 \frac{2x + 1}{3}\)，即\(3(x - 1) = 2(2x + 1)\)；接著去括號(hào)\(3x - 3 = 4x + 2\)；再移項(xiàng)\(3x - 4x = 2 + 3\)；合并同類項(xiàng)\(-x = 5\)；最后系數(shù)化為\(1\)，\(x = -5\) 。
幻燈片 7：典型例題講解 - 例 1
題目：解方程\(\frac{x}{3} + 2 = 5\)
分析解答：
第一步，分母只有\(zhòng)(3\)，最小公倍數(shù)就是\(3\)。
第二步，方程兩邊同時(shí)乘以\(3\)，\(3 \frac{x}{3} + 3 2 = 3 5\)，得到\(x + 6 = 15\)。
第三步，移項(xiàng)\(x = 15 - 6\)。
第四步，合并同類項(xiàng)\(x = 9\)。
展示完整解題過程：\(
\begin{align*}
\frac{x}{3} + 2 &= 5\\
3 \frac{x}{3} + 3 2 &= 3 5\\
x + 6 &= 15\\
x &= 15 - 6\\
x &= 9
\end{align*}
\)
幻燈片 8：典型例題講解 - 例 2
題目：解方程\(\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 2}{3} - 1\)
分析解答：
第一步，分母\(4\)和\(3\)的最小公倍數(shù)是\(12\)。
第二步，方程兩邊同時(shí)乘以\(12\)，\(12 \frac{2x - 1}{4} = 12 \frac{x + 2}{3} - 12 1\)，得到\(3(2x - 1) = 4(x + 2) - 12\)。
第三步，去括號(hào)\(6x - 3 = 4x + 8 - 12\)。
第四步，移項(xiàng)\(6x - 4x = 8 - 12 + 3\)。
第五步，合并同類項(xiàng)\(2x = -1\)。
第六步，系數(shù)化為\(1\)，\(x = -\frac{1}{2}\)。
呈現(xiàn)詳細(xì)步驟：\(
\begin{align*}
\frac{2x - 1}{4} &= \frac{x + 2}{3} - 1\\
12 \frac{2x - 1}{4} &= 12 \frac{x + 2}{3} - 12 1\\
3(2x - 1) &= 4(x + 2) - 12\\
6x - 3 &= 4x + 8 - 12\\
6x - 4x &= 8 - 12 + 3\\
2x &= -1\\
x &= -\frac{1}{2}
\end{align*}
\)
幻燈片 9：典型例題講解 - 例 3
題目：解方程\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3\)
分析解答：
第一步，先將方程中的小數(shù)分母化為整數(shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}=\frac{(0.1x - 0.2) 100}{0.02 100}=\frac{10x - 20}{2}\)，\(\frac{x + 1}{0.5}=\frac{(x + 1) 10}{0.5 10}=\frac{10x + 10}{5}\)，原方程變?yōu)閈(\frac{10x - 20}{2} - \frac{10x + 10}{5} = 3\)，此時(shí)分母\(2\)和\(5\)的最小公倍數(shù)是\(10\)。
第二步，方程兩邊同時(shí)乘以\(10\)，\(10 \frac{10x - 20}{2} - 10 \frac{10x + 10}{5} = 10 3\)，得到\(5(10x - 20) - 2(10x + 10) = 30\)。
第三步，去括號(hào)\(50x - 100 - 20x - 20 = 30\)。
第四步，移項(xiàng)\(50x - 20x = 30 + 100 + 20\)。
第五步，合并同類項(xiàng)\(30x = 150\)。
第六步，系數(shù)化為\(1\)，\(x = 5\)。
展示完整過程：\(
\begin{align*}
\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} &= 3\\
\frac{10x - 20}{2} - \frac{10x + 10}{5} &= 3\\
10 \frac{10x - 20}{2} - 10 \frac{10x + 10}{5} &= 10 3\\
5(10x - 20) - 2(10x + 10) &= 30\\
50x - 100 - 20x - 20 &= 30\\
50x - 20x &= 30 + 100 + 20\\
30x &= 150\\
x &= 5
\end{align*}
\)
幻燈片 10：課堂練習(xí)與互動(dòng)
題目展示：
解方程：
\(\frac{x}{4} - 1 = 3\)
\(\frac{3x + 1}{2} = \frac{2x - 1}{3} + 2\)
\(\frac{0.2x - 0.1}{0.3} - \frac{0.1x + 0.2}{0.2} = 1\)
已知方程\(\frac{x - a}{2} = \frac{2x - 1}{3}\)的解是\(x = -1\)，求\(a\)的值。
課堂互動(dòng)：讓學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視課堂，觀察學(xué)生去分母是否正確（有無漏乘）、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)和系數(shù)化為\(1\)過程中是否出現(xiàn)錯(cuò)誤。選取學(xué)生上臺(tái)板演，組織其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，共同糾正問題，強(qiáng)化利用去分母解方程的方法 。
幻燈片 11：課堂小結(jié)
知識(shí)回顧：總結(jié)利用去分母解一元一次方程的方法，強(qiáng)調(diào)去分母的原理是等式性質(zhì) 2，回顧找最小公倍數(shù)、去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為\(1\)的完整步驟 。
方法總結(jié)：強(qiáng)調(diào)去分母時(shí)要仔細(xì)找對(duì)最小公倍數(shù)，每一項(xiàng)都要乘到；后續(xù)的去括號(hào)、移項(xiàng)等步驟要按照之前學(xué)過的方法準(zhǔn)確計(jì)算 。
重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：點(diǎn)明去分母是解決分?jǐn)?shù)方程的重要方法，在后續(xù)學(xué)習(xí)和實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到，鼓勵(lì)學(xué)生多練習(xí)，熟練掌握 。
幻燈片 12：課后作業(yè)布置
基礎(chǔ)作業(yè)：
解方程：
\(\frac{x}{5} + 4 = 7\)
\(\frac{2x - 3}{3} = \frac{x + 1}{2} - 1\)
\(\frac{0.3x + 0.5}{0.2} - \frac{2x - 1}{3} = 1\)
已知方程\(\frac{x + 1}{3} = \frac{ax - 1}{6}\)的解是\(x = 5\)，求\(a\)的值。
拓展作業(yè)：結(jié)合實(shí)際生活，如折扣計(jì)算、比例分配等場(chǎng)景，編寫一道需要利用去分母解一元一次方程的應(yīng)用題，并完整解答，提高知識(shí)應(yīng)用能力 。
5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1.會(huì)通過去分母解一元一次方程.
2.歸納解一元一次方程的一般步驟，體會(huì)解方程中的化歸思想.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
課堂導(dǎo)入
你能解下面的方程嗎？
(3y+1)=(7+y)
還有其他解法嗎？
去括號(hào), 得 y+ = + y.
移項(xiàng)，得 y- y = - .
合并同類項(xiàng)，得 y =
系數(shù)化為1，得 y =1.
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
問題 如圖，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山50 km，距綠水70 km. 某天，一輛汽車勻速行駛，途經(jīng)王家莊、青山、綠水三地的時(shí)間如表所示.王家莊距翠湖的路程有多遠(yuǎn)？
x km
王家莊
翠湖
綠水
青山
50 km
70 km
地名 王家莊 青山 綠水
時(shí)間 10：00 13：00 15：00
設(shè)王家莊距翠湖的路程為x km.
x-50 km
x+70 km
3 h
2 h
5 h
透過表格，你能得到什么信息？
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
由于汽車是勻速行駛，則
王家莊→青山、王家莊→綠水、青山→綠水 車速都相等.
地名 王家莊 青山 綠水
時(shí)間 10：00 13：00 15：00
x km
王家莊
翠湖
綠水
青山
50 km
70 km
x-50 km
x+70 km
3 h
2 h
5 h
=
=
或
或
=
=
于是可以得到3個(gè)不同的方程：
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
如果能化去分母，把未知數(shù)的系數(shù)化成整數(shù)，就可以使解方程中的計(jì)算更簡便些.
5(x-50)3(x+70).
×15.
15×
思考
這個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)是多少？
x的系數(shù)是
x的系數(shù)是
根據(jù)等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等.
這個(gè)方程中各分母的最小公倍數(shù)是15，方程兩邊都乘15，得
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
去括號(hào)，得
5x-250=3x+210.
移項(xiàng)，得
5x-3x=210+250.
合并同類項(xiàng)，得
2x=460.
系數(shù)化為1，得
x=230.
因此，王家莊距翠湖的路程為230 km.
5(x-50)3(x+70).
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
為了更全面地研究問題，我們?cè)僖苑匠?2
為例，以框圖的形式展示解這類一元一次方程的步驟.
5（3x+1）– 10×2 =(3x – 2)– 2(2x+3)
15x + 5 – 20 = 3x – 2 – 4x – 6
去分母
去括號(hào)
方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘分母的最小公倍數(shù)10.
依據(jù)：等式的性質(zhì)2.
你能說出每個(gè)步驟的依據(jù)嗎？
依據(jù)：分配律.
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
15x + 5 – 20 = 3x – 2 – 4x – 6
15x – 3x + 4x = – 2 – 6 – 5+20
16x = 7
移項(xiàng)
合并同類項(xiàng)
系數(shù)化為1
依據(jù)：等式的性質(zhì)1.
依據(jù)：等式的性質(zhì)2.
依據(jù)：分配律.
你能說出每個(gè)步驟的依據(jù)嗎？
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
歸納
解一元一次方程的一般步驟包括：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等. 通過這些步驟，可以使以x為未知數(shù)的方程逐步轉(zhuǎn)化為x=m的形式，這個(gè)過程主要依據(jù)等式的性質(zhì)和運(yùn)算律等.
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
例 解下列方程：
解：（1）去分母（方程兩邊乘4），得
2(x + 1) – 4 = 8 +(2 – x).
去括號(hào)，得 2x + 2 – 4 = 8 + 2 – x.
移項(xiàng)，得 2x + x = 8 + 2 – 2 + 4 .
合并同類項(xiàng)，得 3x = 12.
系數(shù)化為1，得 x = 4.
知識(shí)點(diǎn) 解一元一次方程——去分母
新知探究
例 解下列方程：
.
（2）去分母（方程兩邊乘6），得
18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括號(hào)，得18x+3x-3=18-4x+2.
移項(xiàng)，得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同類項(xiàng)，得25x=23.
系數(shù)化為1，得x= .
知識(shí)點(diǎn)1 利用去分母解一元一次方程
1.將方程的兩邊同乘____可得到 ，這步
變形叫________，其依據(jù)是_____________.
10
去分母
等式的性質(zhì)2
2.解方程 ，去分母時(shí)，方程兩邊乘各分母的最小公倍數(shù)
( )
B
A.10 B.12 C.24 D.6
3.解一元一次方程 時(shí)，去分母正確的是( )
D
A. B.
C. D.
4.（16分）解方程：
（1） ；
解：,, ,
, .
（2） ；
解：,,, .
（3） ；
解： ,
,, ,
.
（4） .
解：, ,
,， .
5.（8分）小紅在解方程 時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤：
（1）請(qǐng)?jiān)谌鐖D的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處；
解：劃線如圖所示.
（2）寫出你的解答過程.
解： ，
去分母，得 .
移項(xiàng)，得 .
合并同類項(xiàng)，得 .
系數(shù)化為1，得 .
知識(shí)點(diǎn)2 去分母解一元一次方程的應(yīng)用
6.［2024無錫中考］《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題
（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海
飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時(shí)起飛，經(jīng)過多
少天相遇？設(shè)經(jīng)過 天相遇，則下列方程正確的是( )
A
A. B. C. D.
7. 一針繪夢(mèng)鄉(xiāng)，一線織華裝，中國傳統(tǒng)手工藝在新的時(shí)
代里正綻放出更加絢麗的光彩.某傳統(tǒng)手工坊計(jì)劃制作一批折扇，如果
每人做7把，那么會(huì)比計(jì)劃多做9把；如果每人做5把，將比計(jì)劃少做5把.
設(shè)計(jì)劃做 把折扇，則可列方程為__________.
8.（8分） 巴黎奧運(yùn)會(huì)上，我國獲得金、銀、銅牌總共91
枚.已知獲得的銀牌數(shù)是銅牌數(shù)的，獲得的金牌數(shù)是銅牌數(shù)的 ，求在這
屆奧運(yùn)會(huì)上我國獲得的金牌數(shù).
解：設(shè)在這屆奧運(yùn)會(huì)上我國獲得的銅牌數(shù)是 枚，
由題意得 ，
解得，所以 .
答：在這屆奧運(yùn)會(huì)上我國獲得的金牌數(shù)是40枚.
9.若和互為相反數(shù)，則 的值為( )
B
A. B.3 C.1 D.
10.［2025保定蓮池區(qū)期末］我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一道
“以繩測(cè)井”的題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折
測(cè)之，繩多一尺，井深幾何？這道題大致意思是：用繩子測(cè)量水井深度，
如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四
等份，那么每等份井外余繩一尺.問井深多少尺？下列說法不正確的是
( )
A
A.設(shè)井深為尺，所列方程為
B.設(shè)繩子的長為尺，所列方程為
C.繩子的長是36尺
D.井深8尺
11.（8分）解方程：
（1） ；
解：去分母，得 ，去括號(hào)，
得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
兩邊都除以18，得 .
（2） .
解：原方程變形為 ，
去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
12.（12分） ［2025廣州期末］如圖是兩張不同類型
的火車車票：（“ 次”表示動(dòng)車，“ 次”表示高鐵）.
（1）根據(jù)車票中的信息填空：兩車行駛方向______（填“相同”或“不
同”），出發(fā)時(shí)刻相差___ ；
相同
1
（2）已知該動(dòng)車和高鐵的平均速度分別為， ，如果
兩車均按車票信息準(zhǔn)時(shí)出發(fā)，且同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)，求， 兩地之間的距離；
解：設(shè)，兩地之間的距離為 ，
由題意可得 ，
解得 .
答：，兩地之間的距離為 .
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)直接寫出在_____________時(shí)刻，兩車相距
.
10:30或12:00
課堂小結(jié)
解一元一次方程的一般步驟：
去括號(hào)
移項(xiàng)
合并同類項(xiàng)
系數(shù)化為1
去分母
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