資源簡介

(共30張PPT)
5.3 實際問題與一元一次方程-
第1課時 配套問題、調配問題與工程問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 1 課時 配套問題、調配問題與工程問題
副標題：一元一次方程的實際應用之旅
背景圖：設計包含工廠零件、人員調配場景、工程施工工具等元素的圖案，體現三類實際問題的特點，營造探索數學應用的氛圍
幻燈片 2：目錄
復習回顧
配套問題講解
調配問題講解
工程問題講解
課堂練習與互動
課堂小結
課后作業布置
幻燈片 3：復習回顧
回顧方程解法：展示方程\(\frac{2x - 1}{3} + 1 = \frac{x + 2}{2}\)，邀請學生快速說出求解步驟，回顧去分母（兩邊同乘分母最小公倍數）、去括號、移項、合并同類項、系數化為\(1\)的過程，強化一元一次方程的解法 。
提問引入新課：“我們已經學會解一元一次方程，那在實際生活中，如何用它解決配套生產、人員調配、工程施工等問題呢？今天我們就來探索配套問題、調配問題與工程問題。”
幻燈片 4：配套問題講解 - 情境引入
問題展示：“某車間有\(22\)名工人，每人每天可以生產\(1200\)個螺釘或\(2000\)個螺母。\(1\)個螺釘需要配\(2\)個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套，應安排生產螺釘和螺母的工人各多少名？”
引導分析：設應安排\(x\)名工人生產螺釘，則\((22 - x)\)名工人生產螺母。每天生產螺釘\(1200x\)個，螺母\(2000(22 - x)\)個。根據 “\(1\)個螺釘需要配\(2\)個螺母，即螺母數量是螺釘數量的\(2\)倍” 這一等量關系，列出方程\(2 1200x = 2000(22 - x)\) 。
幻燈片 5：配套問題講解 - 解題過程
解方程：\(
\begin{align*}
2 1200x &= 2000(22 - x)\\
2400x &= 44000 - 2000x\\
2400x + 2000x &= 44000\\
4400x &= 44000\\
x &= 10
\end{align*}
\)
得出答案：生產螺釘的工人為\(10\)名，生產螺母的工人為\(22 - 10 = 12\)名。
方法總結：配套問題的關鍵是找出配套物品之間的數量關系，以此作為等量關系列出方程 。
幻燈片 6：配套問題 - 鞏固練習
題目展示：“一套儀器由一個\(A\)部件和三個\(B\)部件構成。用\(1\)立方米鋼材可做\(40\)個\(A\)部件或\(240\)個\(B\)部件。現要用\(6\)立方米鋼材制作這種儀器，應用多少鋼材做\(A\)部件，多少鋼材做\(B\)部件，才能恰好配成這種儀器？”
互動環節：讓學生獨立思考，嘗試找出等量關系并列出方程，教師巡視指導，選取學生分享解題思路 。
幻燈片 7：調配問題講解 - 情境引入
問題展示：“甲、乙兩倉庫分別存糧\(200\)噸、\(150\)噸，若從甲倉庫調運\(x\)噸到乙倉庫，則兩個倉庫的存糧噸數相等，求\(x\)的值。”
引導分析：甲倉庫調運\(x\)噸后，存糧變為\((200 - x)\)噸；乙倉庫調入\(x\)噸后，存糧變為\((150 + x)\)噸。根據 “調運后兩個倉庫的存糧噸數相等” 這一等量關系，列出方程\(200 - x = 150 + x\) 。
幻燈片 8：調配問題講解 - 解題過程
解方程：\(
\begin{align*}
200 - x &= 150 + x\\
-x - x &= 150 - 200\\
-2x &= -50\\
x &= 25
\end{align*}
\)
方法總結：調配問題要分析調配前后數量的變化情況，根據變化后的等量關系列出方程 。
幻燈片 9：調配問題 - 鞏固練習
題目展示：“某班級開展活動，若將全班同學分成\(4\)個小組，則余\(3\)人；若分成\(5\)個小組，則缺\(2\)人。求該班級的學生人數。”
互動環節：引導學生設未知數，找出人數在不同分組情況下的等量關系，列出方程并求解，邀請學生上臺板演 。
幻燈片 10：工程問題講解 - 情境引入
問題展示：“一項工程，甲單獨做需要\(10\)天完成，乙單獨做需要\(15\)天完成。兩人合作，需要幾天完成這項工程？”
引導分析：把這項工程的工作量看作單位 “\(1\)”。根據工作效率 = 工作量 ÷ 工作時間，可得甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{15}\)。設兩人合作\(x\)天完成，根據 “甲的工作量 + 乙的工作量 = 總工作量”，列出方程\((\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x = 1\) 。
幻燈片 11：工程問題講解 - 解題過程
解方程：\(
\begin{align*}
(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x &= 1\\
(\frac{3}{30} + \frac{2}{30})x &= 1\\
\frac{5}{30}x &= 1\\
x &= 1 \frac{30}{5}\\
x &= 6
\end{align*}
\)
方法總結：工程問題通常把工作量看作單位 “\(1\)”，根據工作效率、工作時間和工作量之間的關系找出等量關系列方程 。
幻燈片 12：工程問題 - 鞏固練習
題目展示：“一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管。單獨開甲管\(6\)小時可注滿水池，單獨開乙管\(8\)小時可注滿水池，單獨開丙管\(9\)小時可將滿池水排空。若先將甲、乙管同時開放\(2\)小時，然后打開丙管，問打開丙管后幾小時可注滿水池？”
互動環節：讓學生思考分析，找出工作量之間的關系，列出方程求解，教師集中講解疑難問題 。
幻燈片 13：課堂練習與互動
題目展示：
某車間生產某種螺栓和螺母，一個螺栓的兩頭各套上一個螺母配成一套。已知每天生產螺母\(1200\)個，生產螺栓\(700\)個，問應使生產螺栓和螺母的工人如何分配，才能使每天生產的產品剛好配套？
甲隊有\(32\)人，乙隊有\(28\)人，現從乙隊抽調\(x\)人到甲隊，使甲隊人數是乙隊人數的\(2\)倍，求\(x\)的值。
一項工作，甲單獨做\(12\)天完成，乙單獨做\(8\)天完成。兩人合作\(4\)天后，剩下的部分由乙單獨做，還需要幾天完成？
課堂互動：學生獨立完成練習，教師巡視批改，針對共性問題集中講解，對個別學生進行輔導 。
幻燈片 14：課堂小結
知識回顧：總結配套問題、調配問題、工程問題的解題思路，回顧如何根據不同問題找出等量關系并列出方程 。
方法總結：強調解決實際問題的關鍵是分析問題中的數量關系，將實際問題轉化為數學模型，用一元一次方程求解 。
重點強調：鼓勵學生在生活中發現數學問題，運用所學知識解決問題，提高數學應用能力 。
幻燈片 15：課后作業布置
基礎作業：
制作一張桌子要用一個桌面和\(4\)條桌腿，\(1\)立方米木材可制作\(20\)個桌面，或者制作\(400\)條桌腿。現有\(12\)立方米木材，應怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？
某班學生去圖書館借書，若借\(40\)本，平均分發給每個學生還差\(2\)本；若借\(65\)本，平均分發給每個學生后還剩\(2\)本；若借\(83\)本，平均分發給每個學生則還差\(1\)本，這個班最多有多少名學生？
一件工作，甲單獨做\(20\)小時完成，乙單獨做\(12\)小時完成。現在先由甲單獨做\(4\)小時，剩下的部分由甲、乙合做，還需要幾小時完成？
拓展作業：觀察生活中與配套、調配、工程相關的實際問題，選擇一個進行詳細分析，嘗試用多種方法解決，并比較不同方法的優缺點 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.會運用一元一次方程解決物品配套問題和工程問題.
2.掌握用一元一次方程解決實際問題的基本思路和步驟.
學習目標
前面我們在學習一元一次方程的解法時，附帶研究了如何列一元一次方程解決實際問題，初步了解方程是分析和解決問題的一種很有用的數學工具，本節我們重點研究如何用一元一次方程解決實際問題，從幾個典型的實際問題入手，教會同學們列方程解決實際問題的具體方法.
課堂導入
知識點1 配套問題
新知探究
例1 某車間有22名工人,每人每天可以生產1 200個螺栓或2 000個螺母.1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產螺栓和螺母的工人各多少名？
螺母數量是螺栓數量的2倍
螺母數量=螺栓數量2
產品類型 生產人數 單人產量 總產量
螺栓 x 1 200
螺母 2 000
1 200 x
2 000(22-x)
22-x
=2×1 200 x
2 000(22-x)
知識點1 配套問題
新知探究
例1 某車間有22名工人,每人每天可以生產1 200個螺栓或2 000個螺母.1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產螺栓和螺母的工人各多少名？
解：設應安排x名工人生產螺栓，(22-x)名工人生產螺母.
根據螺母數量應是螺栓數量的2倍，列得方程
2 000(22-x)=21 200x.
解方程，得
x=10.
進而
22-x=12.
答：應安排10名工人生產螺栓，12名工人生產螺母.
知識點1 配套問題
新知探究
如果設x名工人生產螺母，怎樣列方程？
例1 某車間有22名工人,每人每天可以生產1 200個螺栓或2 000個螺母.1個螺栓需要配2個螺母，為使每天生產的螺栓和螺母剛好配套，應安排生產螺栓和螺母的工人各多少名？
產品類型 生產人數 單人產量 總產量
螺栓 1 200
螺母 x 2 000
1 200(22-x)
2 000x
22-x
2 000x=2×1 200(22-x)
螺母數量=螺栓數量2
這類問題中配套的物品之間具有一定的數量關系，這可以作為列方程的依據.
知識點1 配套問題
新知探究
跟蹤訓練 一臺儀器由1個A部件和3個B部件構成. 用1 m3鋼材可以做40個A部件或240個B部件.現要用6 m3鋼材制作這種儀器，應用多少立方米鋼材做A部件，多少立方米鋼材做B部件，才能制作盡可能多的儀器？最多能制成多少臺儀器？
解：設應用 x m3鋼材做A部件，(6-x) m3 鋼材做B部件.
依題意,得 3×40 x＝240 (6－x) .
解方程，得 x＝4.
所以6-4=2(m3)，40×4=160(臺).
答：應用4 m3鋼材做A部件，2 m3 鋼材做B部件，配成這種儀器160臺.
知識點1 配套問題
新知探究
配套問題中的基本數量關系：
若m個A和n個B配成一套，則，
可得相等關系：m×B的數量=n×A的數量.
知識點2 工程問題
新知探究
例2 整理一批圖書，由1人整理需要40 h完成.現計劃由一部分人先整理4 h，然后增加2人與他們一起整理8 h，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，應先安排多少人進行整理？
分析：如果把總工作量設為1，則人均效率（一個人1 h完成的工作量）為.
列表分析：
人均效率 人數 時間 工作量
前一部 分工作 4
后一部 分工作 8
x+2
x
1
知識點2 工程問題
新知探究
例2 整理一批圖書，由1人整理需要40 h完成.現計劃由一部分人先整理4 h，然后增加2人與他們一起整理8 h，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，應先安排多少人進行整理？
解：設先安排x人整理4 h.
根據先后兩個時段的工作量之和等于總工作量，列得方程
1
解方程，得
x=2.
答：應先安排2人進行整理.
這類問題中常常把總工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人數×時間”的關系考慮問題.
知識點2 工程問題
新知探究
跟蹤訓練 一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天，如果由這兩支工程隊從兩端同時施工，需要多少天可以鋪好這條管線？
解：設要x天可以鋪好這條管線.
根據題意，得 +=1.
解得x=8.
答：要8天可以鋪好這條管線.
知識點2 工程問題
新知探究
工程問題中的基本數量關系：
工作量=工作效率×工作時間（或人均效率×時間×人數）；
合作的效率=各部分單獨做的效率和；
總工作量=各部分工作量之和.
知識點2 工程問題
新知探究
歸納
用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：
實際問題
實際問題
的答案
一元一次方程
一元一次方程的解（x=m）
設未知數
列方程
解方程
檢 驗
知識點2 工程問題
新知探究
這一過程一般包括以下幾個步驟.
1.審：審題，找相等關系；
2.設：設未知數；
3.列：列方程；
4.解：解方程；
5.檢：檢驗所得結果；
6.答：確定答案.
正確分析問題中的相等關系是列方程的基礎.
歸納
知識點1 配套問題
1.［教材 例1變式］某車間有30名工人，生產某種由一個螺栓套兩個
螺母的產品，每人每天生產螺栓22個或螺母16個.則安排多少名工人生
產螺栓，才能使每天生產的螺栓和螺母配套？
解：設安排 名工人生產螺栓，則生產螺母的工人為_________名，每天
生產螺栓_____個，螺母___________個，則可列方程為______________
_______，解得 ___.
8
2. 汝窯是宋代五大名窯之首，在中國陶瓷史上素有“汝窯
為魁”之稱.某汝窯瓷器工廠燒制茶具，每套茶具由1個茶壺和6只茶杯組
成.用瓷泥可做3個茶壺或9只茶杯，現要用 瓷泥制作茶具，設用
瓷泥做茶壺時，恰好使制作的茶壺和茶杯配套.根據題意，下面所列
方程正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3.（8分）［2025天津月考］某車間有38名工人，每人每天可以生產
1 200個甲型零件或2 000個乙型零件.2個甲型零件要配3個乙型零件，
為使每天生產的兩種型號的零件剛好配套，應安排生產甲型零件和乙型
零件的工人各多少名？
解：設安排名工人生產甲型零件，則安排 名工人生產乙型零件，
由題意得，解得 ，所以
.
答：應安排生產甲型零件的工人20名，生產乙型零件的工人18名.
知識點2 調配問題
4.（8分）［教材練習T 變式］［2025北京期末］在一次勞動課上，
有24名同學在甲處勞動，有18名同學在乙處勞動，現在從乙處調一部分
人去支援甲處，使得在甲處的人數比在乙處人數的2倍多3人，應從乙處
調往甲處多少人？
解：設應從乙處調往甲處人，根據題意得 ，解
得 .
答：應從乙處調往甲處5人.
知識點3 工程問題
5.一段損壞的道路單獨由甲工程隊維修需要 ，單獨由乙工程隊維修需
要 .若這兩個工程隊從道路兩端同時施工，需要多少小時可以維修完？
設需要 可以維修完，則可列方程為____________.
6.一項工程，甲單獨做需10天完成，乙單獨做需6天完成.現由甲先做2天，
乙再加入合做，則完成這項工程共需___天.
5
7.（8分）［2024陜西中考］星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次
家庭衛生大掃除.根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需 ；
若爸爸單獨完成，需 .當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加
籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務.小峰和爸爸這次一共
打掃了 ，求這次小峰打掃了多長時間.
解：設這次小峰打掃了，則爸爸打掃了 ，
由題意，得 ，
解得 .
答：這次小峰打掃了 .
8.一個條件缺失的問題情境：一項工程，甲隊單獨做需要12天完成， ，
還需要幾天完成任務？根據標準答案，老師在黑板上畫出線段示意圖
（如圖），設兩隊一起做還需 天完成任務，并列方程為
.根據上面信息，下面結論不正確的是( )
D
A.乙隊單獨做需要8天完成
B.處代表的代數式為
C. 處代表的實際意義：甲先做2天的工作量
D.甲先做2天，然后兩隊一起做5天完成了整個工程
9.（8分）［教材 例2變式］整理一批圖書，若由一個人單獨做需要
80小時完成，假設每個人的工作效率相同.若限定32小時完成，由一個
人先做8小時，則需要再增加多少人幫忙，才能在規定的時間內完成？
解：設需要再增加 人幫忙，
根據題意，得 ，
解得 .
答：需要再增加2人幫忙，才能在規定的時間內完成.
10.（8分）某加工廠利用如圖①所示的長方形和正方形鐵片（長方形的
寬與正方形的邊長相等）焊接成如圖②所示的型鐵盒與 型鐵盒，兩
種鐵盒均無蓋.
（1）現要制作個型鐵盒和個 型鐵盒，共需要__________張長方形
鐵片，_________張正方形鐵片.
（2）現有正方形鐵片50張，長方形鐵片100張，若這些鐵片恰好用完，
則可制作型、 型兩種鐵盒各多少個？
解：設可制作型鐵盒 個，
則可制作型鐵盒 個.
由題意，得 ，
解得 ，
所以 .
答：可制作型鐵盒10個， 型鐵盒20個.
11.（8分）某工廠一車間有50名工人，某月接到加工兩種轎車零件的任
務.每名工人每天能加工甲種零件30個或加工乙種零件20個.
（1）若一輛轎車只需要甲種零件1個和乙種零件1個，為使每天加工的
零件能配套生產轎車，問應安排多少名工人加工甲種零件？
解：設應安排名工人加工甲種零件，則有 名工人加工乙種零
件，由題意，得 ，
解得 .
答：應安排20名工人加工甲種零件.
（2）若一輛轎車需要甲種零件7個和乙種零件2個，加工一個甲種零件
的加工費為10元，加工一個乙種零件的加工費為12元，若50名工人正好
使得每天加工的零件能配套生產轎車，求一天這50名工人所得的加工費
一共是多少元.
解：設有名工人加工甲種零件，則有 名工人加工乙種零件，
由題意，得 ，
解得，所以 .
（元）.
答：一天這50名工人所得的加工費一共是14 100元.
課堂小結
用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：
實際問題
實際問題
的答案
一元一次方程
一元一次方程的解（x=m）
設未知數
列方程
解方程
檢 驗
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