資源簡介

(共23張PPT)
5.3 實際問題與一元一次方程-
第3課時 積分問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 3 課時 積分問題
副標題：用方程破解積分背后的數學邏輯
背景圖：選用籃球比賽計分牌、足球聯賽積分榜等元素，營造充滿競技氛圍的場景，激發學生學習興趣
幻燈片 2：目錄
復習回顧
積分問題相關規則介紹
典型例題講解
課堂練習與互動
課堂小結
課后作業布置
幻燈片 3：復習回顧
回顧銷售問題：簡要回顧上節課銷售問題中的核心概念（進價、售價、利潤、利潤率等）及解題方法，提問學生解決銷售問題的關鍵步驟，強化根據等量關系列方程的思維 。
回顧方程知識：快速復習一元一次方程的解法，展示方程\(2x + 3(x - 1) = 12\)，邀請學生簡述求解過程（去括號、移項、合并同類項、系數化為 1），為解決積分問題做好知識鋪墊 。
提問引入新課：“在體育比賽、知識競賽中，我們常常會關注比賽的積分情況。比如足球比賽的勝平負積分，籃球聯賽的積分排名。這些積分是如何計算的？又怎樣通過積分解決實際問題呢？這節課我們就來學習用一元一次方程解決積分問題。”
幻燈片 4：積分問題相關規則介紹
常見積分規則：
體育賽事積分：以足球比賽為例，通常勝一場得\(3\)分，平一場得\(1\)分，負一場得\(0\)分；籃球比賽中，勝一場積\(2\)分，負一場積\(1\)分 。
競賽活動積分：在知識競賽里，答對一題得一定分數（如\(5\)分），答錯一題扣一定分數（如\(2\)分），不答得\(0\)分 。
等量關系總結：強調積分問題的關鍵在于找出總積分與勝、平、負場次（或答對、答錯題目數量）之間的等量關系。例如，總積分 = 勝場積分 + 平場積分 + 負場積分；總積分 = 答對題目積分 - 答錯題目扣分 。
幻燈片 5：典型例題講解 - 例 1（體育賽事積分問題）
題目：某足球聯賽中，一支球隊踢了\(14\)場比賽，其中負\(5\)場，共得\(19\)分。已知勝一場得\(3\)分，平一場得\(1\)分，負一場得\(0\)分，求該球隊勝了幾場？
分析解答：
設該球隊勝了\(x\)場。
因為一共踢了\(14\)場，負了\(5\)場，所以平的場次為\((14 - 5 - x) = (9 - x)\)場 。
根據總積分 = 勝場積分 + 平場積分 + 負場積分，可列出方程\(3x + 1 (9 - x) + 0 5 = 19\) 。
解方程：\(
\begin{align*}
3x + 9 - x + 0 &= 19\\
3x - x &= 19 - 9\\
2x &= 10\\
x &= 5
\end{align*}
\)
得出該球隊勝了\(5\)場。
幻燈片 6：典型例題講解 - 例 2（競賽活動積分問題）
題目：在一次數學知識競賽中，共有\(20\)道題。規定答對一題得\(5\)分，答錯一題扣\(2\)分，不答得\(0\)分。小明在這次競賽中得了\(79\)分，他說自己有\(3\)道題未答，求小明答對了幾道題？
分析解答：
設小明答對了\(x\)道題。
已知一共有\(20\)道題，\(3\)道題未答，所以答錯的題目數量為\((20 - 3 - x) = (17 - x)\)道 。
根據總積分 = 答對題目積分 - 答錯題目扣分，可列出方程\(5x - 2 (17 - x) = 79\) 。
解方程：\(
\begin{align*}
5x - 34 + 2x &= 79\\
5x + 2x &= 79 + 34\\
7x &= 113\\
x &= 17
\end{align*}
\)
得出小明答對了\(17\)道題。
幻燈片 7：典型例題講解 - 例 3（積分規則推理問題）
題目：某次籃球聯賽積分榜如下表所示：
| 隊名 | 比賽場次 | 勝場 | 負場 | 積分 |
|----|----|----|----|----|
| 前進隊 | 14|10|4|24|
| 東方隊 | 14|10|4|24|
| 光明隊 | 14|9|5|23|
| 藍天隊 | 14|9|5|23|
| 雄鷹隊 | 14|7|7|21|
| 遠大隊 | 14|7|7|21|
| 衛星隊 | 14|4|10|18|
| 鋼鐵隊 | 14|0|14|14|
請你根據表格信息，求出勝一場、負一場各得多少分？
分析解答：
設勝一場得\(x\)分。
觀察鋼鐵隊，負\(14\)場，積\(14\)分，可知負一場得\(1\)分 。
以前進隊為例，根據總積分 = 勝場積分 + 負場積分，可列出方程\(10x + 4 1 = 24\) 。
解方程：\(
\begin{align*}
10x + 4 &= 24\\
10x &= 24 - 4\\
10x &= 20\\
x &= 2
\end{align*}
\)
得出勝一場得\(2\)分，負一場得\(1\)分。
幻燈片 8：課堂練習與互動
題目展示：
某班級組織知識競賽，共\(25\)道題，答對一題得\(4\)分，答錯一題扣\(1\)分，不答得\(0\)分。小偉有\(1\)道題沒答，他的總得分是\(77\)分，問小偉答對了幾道題？
在某足球聯賽中，一支球隊踢了\(16\)場比賽，負了\(6\)場，共積\(26\)分。已知勝一場得\(3\)分，平一場得\(1\)分，負一場得\(0\)分，求該球隊勝、平各多少場？
下表是某校七 - 九年級某月課外興趣小組活動時間統計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同。
| 年級 | 課外小組活動總時間（單位：h）| 文藝小組活動次數 | 科技小組活動次數 |
|----|----|----|----|
| 七年級 | 12.5|4|3|
| 八年級 | 10.5|3|3|
| 九年級 | 7|？|？|
請通過計算求出文藝小組、科技小組每次活動的時間分別是多少小時？
互動環節：學生獨立完成練習，教師巡視指導，選取學生上臺展示解題過程，組織其他學生進行討論和評價，教師針對學生出現的問題進行集中講解 。
幻燈片 9：課堂小結
知識回顧：總結積分問題的常見類型（體育賽事積分、競賽活動積分等）及相應的積分規則，回顧根據積分規則找出等量關系列方程的方法 。
方法總結：強調解決積分問題的關鍵是準確分析題目中的積分規則，確定總積分與各部分積分之間的關系，合理設未知數列出方程 。
重點強調：提醒學生注意題目中的特殊條件（如未答題情況），仔細審題，避免遺漏信息導致錯誤 。
幻燈片 10：課后作業布置
基礎作業：
某次數學競賽共有\(15\)道題，答對一題得\(8\)分，答錯一題扣\(4\)分，不答得\(0\)分。小華做了所有的題，得了\(72\)分，問小華答對了幾道題？
某足球比賽的積分規則為：勝一場得\(3\)分，平一場得\(1\)分，負一場得\(0\)分。一個隊踢了\(14\)場球，負\(5\)場，共得\(19\)分，問這個隊勝了幾場？
下表是某賽季全國男籃甲\(A\)聯賽常規賽部分隊最終積分榜：
| 隊名 | 比賽場次 | 勝場 | 負場 | 積分 |
|----|----|----|----|----|
| 八一雙鹿 | 22|18|4|40|
| 上海東方 | 22|18|4|40|
| 北京首鋼 | 22|14|8|36|
| 吉林恒和 | 22|14|8|36|
| 遼寧盼盼 | 22|12|10|34|
| 廣東宏遠 | 22|12|10|34|
| 前衛奧神 | 22|11|11|33|
| 江蘇南鋼 | 22|10|12|32|
| 山東潤潔 | 22|10|12|32|
| 浙江萬馬 | 22|7|15|29|
| 雙星濟軍 | 22|6|16|28|
|22|0|22|22|
請你根據表格求出勝一場、負一場各得多少分？
拓展作業：調查一項自己感興趣的體育賽事或競賽活動的積分規則，結合實際數據，自己設計一道積分問題，并嘗試用一元一次方程求解，然后與同學交流分享 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1. 會從表格中獲取信息，尋找等量關系列方程.
2.知道列方程解應用題時，為什么要檢驗方程的解是否符合題意.
學習目標
喜歡體育的同學經常觀看各種不同類別的球賽，如：足球賽、籃球賽、排球賽等，但是你們了解它們的計分規則和如何計算積分嗎？這節課我們將學習如何用方程解決球賽積分問題.
課堂導入
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
探究 球賽積分表問題
某次籃球聯賽積分表
隊名 比賽場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
問題 1 你從表格中得到什么信息？
這次球賽共有8支隊伍參賽.
每隊都打了14場比賽.
積分按由高到低的順序排列.
每隊的勝場數、負場數和積分.
籃球比賽沒有平局.
......
隊名 比賽 場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
某次籃球聯賽積分表
隊名 比賽 場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
問題 2 勝一場和負一場各積多少分？
觀察表中的最后一行：
負14場得14分
觀察表中的第一行：
設勝一場得x分，則
10x+4=24.
解這個方程，得x=2.
→負一場得1分.
→勝一場得2分.
某次籃球聯賽積分表
問題 3 各數據之間的數量關系是什么？
隊名 比賽 場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
每隊的勝場數+負場數=比賽場次14.
每隊勝場總積分=勝1場得分2×勝場數.
每隊負場總積分=負1場得分1×負場數.
每隊勝場總積分+負場總積分=總積分.
某次籃球聯賽積分表
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
問題 4 一個隊勝m場，則總積分為多少？
隊名 比賽 場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
某次籃球聯賽積分表
一個隊勝m場，則負________場，則勝場積分為________,
負場積分為_________,
總積分為_________.
(14-m)
2m
14-m
m+14
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
問題5 一個隊負n場，則總積分為多少？
隊名 比賽 場次 勝場 負場 積分
前進 14 10 4 24
東方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
藍天 14 9 5 23
雄鷹 14 7 7 21
遠大 14 7 7 21
衛星 14 4 10 18
鋼鐵 14 0 14 14
某次籃球聯賽積分表
一個隊負n場，則勝________場，則勝場積分為________,
負場積分為_________,
總積分為_________.
(14-n)
2(14-n)
n
28-n
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
(3)設一支球隊勝了y場，則負了(14-y)場.
若這支球隊的勝場總積分等于負場總積分，則得方程
2y=14-y.
解得
y=.
問題6 某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？
想一想，y表示什么量？它可以不取整數嗎？由此你能得出什么結論？
因為y(所勝的場數)的值必須是整數，所以y= 不符合實際，由此可以判定沒有哪支球隊的勝場總積分等于負場總積分.
這個問題說明：利用方程不僅能求具體數值，而且可以進行推理判斷.
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
1.解決有關表格的問題時，首先要根據表格中給出的相關信息，找出數量間的關系，然后再運用數學知識解決問題.
2. 用方程解決實際問題時，不僅要注意解方程的過程是否正確，還要檢驗方程的解是否符合問題的實際意義.
比賽積分問題中，常見的相等關系：
某個隊的參賽場數=該隊的勝場數+該隊的負場數+該隊的平場數；
某個隊的總積分=該隊的勝場積分+該隊的負場積分+該隊的平場積分.
注意：
(1) 并不是每種比賽都按勝、平、負情況積分，有的只按勝、平兩種情況積分，所以解題時一定要認真理解比賽的積分規則.
(2) 比賽中的積分與勝、負場數有關，同時也與比賽積分規則有關，需先弄清“勝一場積幾分，平一場積幾分，負一場積幾分”.
知識點 比賽中的積分問題
新知探究
知識點 積分問題
1.足球比賽記分規則為：勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分，某隊
進行了14場比賽，其中負5場，共得分19分，若設勝場次數為 ，則可列
方程為( )
B
A.
B.
C.
D.
2.為了增強學生的安全防范意識，某校九年級（1）班班委舉行了一次
安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規則如下：每答對一個得5分，
每答錯或不答一個扣1分，小紅一共得70分，則小紅答對的個數為
( )
B
A.14 B.15 C.16 D.17
3.（8分）［2025石家莊長安區期末］某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖.珍珍
玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數，需重新投.計
分規則如下：
投中位置 A區 B區 脫靶
一次計分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中區4次， 區2次，脫靶4次.
（1）求珍珍第一局的得分；
解： （分）.
答：珍珍第一局的得分為6分.
（2）第二局，珍珍投中區次， 區3次，其余全部脫靶.若本局得分
比第一局提高了13分，求 的值.
解：由題意可得， ，解得
.
所以 的值為6.
4.某中學組織七年級學生參加數學知識競賽活動，活動共設有20道選擇
題，各題分值相同，每題必答.下表記錄了小徐、小張、小高三名學生
的得分情況，則另一名學生小李的得分可能是( )
學生 答對題數 答錯題數 得分
小徐 20 0 120
小張 18 2 106
小高 15 5 85
B
A.40 B.50 C.60 D.70
5.（12分）［教材 探究2變式］下表為某籃球比賽部分球隊的積分榜
（籃球比賽沒有平局）.
球隊 比賽場次 勝場 負場 積分
12 10 2 22
12 9 3 21
12 7 5 19
11 6 5 17
11 … … 15
11 0 11 11
（1）球隊勝一場積___分，負一場積___分.
2
1
（2）求 隊已經比完的11場比賽中的勝場數.
解：設隊已經比完的11場比賽中勝了 場.
由題意得，解得 .
答： 隊已經比完的11場比賽中勝了4場.
（3）分析表中信息可知， 隊已經賽了11場，積17分，若此次籃球比賽
共賽18輪（每個球隊各有18場比賽）， 隊希望最終積分達到32分，你
認為有可能實現嗎？請說明理由.
解：不可能實現.理由：設隊在18場比賽中勝了 場.
若最終積分為32分，則，解得 .
即 隊在18場比賽中需勝14場，最終積分才能達到32分.
由于 隊已經勝了6場，故后面還需勝8場，
由表中數據可知 隊已經比了11場，若全部賽完還需再比7場.
而，因此 隊積分不可能達到32分.故不可能實現.
課堂小結
某個隊的總積分=
該隊的勝場積分+該隊的負場積分+該隊的平場積分.
某個隊的參賽場數=
該隊的勝場數+該隊的負場數+該隊的平場數；
比賽積分問題中，常見的相等關系
謝謝觀看！

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