資源簡介

(共28張PPT)
5.3 實際問題與一元一次方程-第4課時
分段計費問題與方案決策問題
第五章 一元一次方程
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：第 4 課時 分段計費問題與方案決策問題
副標題：用方程權衡生活中的選擇與成本
背景圖：選用水電費賬單、出租車計價器、不同購物優惠方案對比圖等元素，營造生活場景氛圍，激發學生學習興趣
幻燈片 2：目錄
復習回顧
分段計費問題講解
方案決策問題講解
課堂練習與互動
課堂小結
課后作業布置
幻燈片 3：復習回顧
回顧積分問題：簡要回顧上節課積分問題的常見類型（體育賽事積分、競賽活動積分等）、積分規則以及根據等量關系列方程求解的方法，提問學生解決積分問題的關鍵步驟，強化根據實際情況建立方程模型的思維 。
回顧方程知識：快速復習一元一次方程的解法，展示方程\(3(x - 2) + 4x = 15\)，邀請學生簡述求解過程（去括號、移項、合并同類項、系數化為 1），為解決新問題做好知識鋪墊 。
提問引入新課：“在生活中，我們會遇到很多不同的收費方式，比如水電費按用量分段收費，購物時有多種優惠方案可供選擇。這些問題該如何用數學知識解決呢？這節課我們就來學習分段計費問題與方案決策問題。”
幻燈片 4：分段計費問題講解 - 情境引入
問題展示：“某地居民生活用電基本價格為每度\(0.50\)元，若每月用電量超過\(a\)度，超出部分按基本電價的\(80\%\)收費。某戶九月份用電\(100\)度，共交電費\(46\)元，求\(a\)的值。”
引導分析：設每月用電量超過\(a\)度時開始加價收費。不超過\(a\)度的部分電費為\(0.5a\)元，超過\(a\)度部分的用電量為\((100 - a)\)度，這部分電費為\(0.5 80\% (100 - a)\)元。根據 “總電費 = 不超過部分電費 + 超過部分電費” 這一等量關系，列出方程\(0.5a + 0.5 80\% (100 - a) = 46\) 。
幻燈片 5：分段計費問題講解 - 解題過程
解方程：\(
\begin{align*}
0.5a + 0.5 0.8 (100 - a) &= 46\\
0.5a + 0.4 (100 - a) &= 46\\
0.5a + 40 - 0.4a &= 46\\
0.5a - 0.4a &= 46 - 40\\
0.1a &= 6\\
a &= 60
\end{align*}
\)
方法總結：分段計費問題的關鍵是明確各段的計費標準，找出總費用與各段費用之間的關系，以此作為等量關系列出方程 。
幻燈片 6：分段計費問題 - 鞏固練習
題目展示：“某城市按以下規定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過\(60\)立方米，按每立方米\(0.8\)元收費；如果超過\(60\)立方米，超過部分按每立方米\(1.2\)元收費。已知某用戶\(10\)月份的煤氣費平均每立方米\(0.88\)元，求該用戶\(10\)月份應交的煤氣費是多少元？”
互動環節：讓學生獨立思考，嘗試找出等量關系并列出方程，教師巡視指導，選取學生分享解題思路 。
幻燈片 7：方案決策問題講解 - 情境引入
問題展示：“某商場在促銷期間規定：商場內所有商品按標價的\(80\%\)出售；同時，當顧客在該商場內消費滿一定金額后，還可按如下方案獲得相應金額的獎券：
| 消費金額\(a\)（元）|\(200\leq a < 400\)|\(400\leq a < 500\)|\(500\leq a < 700\)|\(700\leq a < 900\)|...|
|----|----|----|----|----|----|
| 獲獎券金額（元）|30|60|100|130|...|
根據上述促銷方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優惠。例如，購買標價為\(400\)元的商品，則消費金額為\(400 80\% = 320\)元，獲得的優惠額為\(400 (1 - 80\%) + 30 = 110\)元。購買一件標價為\(1000\)元的商品，顧客得到的優惠額是多少？對于標價在\(500\)元與\(800\)元之間（含\(500\)元和\(800\)元）的商品，顧客購買標價為多少元的商品，可以得到\(\frac{1}{3}\)的優惠率？”
引導分析：先計算購買標價\(1000\)元商品的消費金額、優惠額。對于求優惠率為\(\frac{1}{3}\)時商品標價，設商品標價為\(x\)元，分\(500\leq x < 700\)和\(700\leq x < 800\)兩種情況，根據 “優惠率 = 優惠額 ÷ 標價” 列出方程 。
幻燈片 8：方案決策問題講解 - 解題過程
計算標價\(1000\)元商品優惠額：消費金額為\(1000 80\% = 800\)元，獎券金額\(130\)元，優惠額為\(1000 (1 - 80\%) + 130 = 330\)元 。
求解優惠率為\(\frac{1}{3}\)時商品標價：
當\(500\leq x < 700\)時，列出方程\([x(1 - 80\%) + 100] ·x = \frac{1}{3}\)，\(
\begin{align*}
(0.2x + 100) ·x &= \frac{1}{3}\\
0.2x + 100 &= \frac{1}{3}x\\
\frac{1}{3}x - 0.2x &= 100\\
\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x &= 100\\
\frac{5 - 3}{15}x &= 100\\
\frac{2}{15}x &= 100\\
x &= 750
\end{align*}
\)
當\(700\leq x < 800\)時，列出方程\([x(1 - 80\%) + 130] ·x = \frac{1}{3}\)，\(
\begin{align*}
(0.2x + 130) ·x &= \frac{1}{3}\\
0.2x + 130 &= \frac{1}{3}x\\
\frac{1}{3}x - 0.2x &= 130\\
\frac{1}{3}x - \frac{1}{5}x &= 130\\
\frac{2}{15}x &= 130\\
x &= 975 è
\end{align*}
\)
方法總結：方案決策問題要分析不同方案的計算方式，根據題目要求（如優惠率、成本比較等）找出等量關系，必要時需分類討論 。
幻燈片 9：方案決策問題 - 鞏固練習
題目展示：“某通訊公司推出了甲、乙兩種收費標準供手機用戶選擇：
甲種收費標準：每月收取月租費\(10\)元，另外每通話\(1\)分鐘加收\(0.2\)元；
乙種收費標準：不收取月租費，每通話\(1\)分鐘收費\(0.3\)元。
（1）若某用戶每月通話時間為\(x\)分鐘，請分別表示出兩種收費標準下該用戶每月應繳的費用；
（2）若某用戶估計每月通話時間為\(100\)分鐘，應選擇哪種收費標準比較合算？”
互動環節：引導學生分析題目，設未知數，列出不同方案的費用表達式，再進行比較，邀請學生上臺板演 。
幻燈片 10：課堂練習與互動
題目展示：
為鼓勵居民節約用水，某城市對居民生活用水實行 “階梯水價”，計費方法如下表：
| 每戶每月用水量\(m\)（立方米）| 水價（元 / 立方米）|
|----|----|
|\(18\)立方米及以下 | 2.5|
|\(18\)立方米以上但不超過\(25\)立方米的部分 | 3.3|
|\(25\)立方米以上的部分 | 6|
若某戶居民本月交水費\(84.2\)元，求該戶居民本月的用水量。
某旅行社組織一批游客外出旅游，原計劃租用\(45\)座客車若干輛，但有\(15\)人沒有座位；若租用同樣數量的\(60\)座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿。已知\(45\)座客車租金為每輛\(220\)元，\(60\)座客車租金為每輛\(300\)元，問：
（1）這批游客的人數是多少？原計劃租用\(45\)座客車多少輛？
（2）若租用同一種車，要使每位游客都有座位，應該怎樣租用才合算？
互動環節：學生獨立完成練習，教師巡視指導，選取學生上臺展示解題過程，組織其他學生進行討論和評價，教師針對學生出現的問題進行集中講解 。
幻燈片 11：課堂小結
知識回顧：總結分段計費問題和方案決策問題的特點及解題方法，回顧如何根據不同情況找出等量關系并列出方程 。
方法總結：強調解決分段計費問題要明確各段計費標準，方案決策問題要分析不同方案的差異，必要時分類討論，建立合適的方程模型求解 。
重點強調：提醒學生在解決實際問題時，要仔細審題，準確理解題意，注意單位統一和取值范圍 。
幻燈片 12：課后作業布置
基礎作業：
某市為更有效地利用水資源，制定了居民用水收費標準：如果一戶每月用水量不超過\(15\)立方米，每立方米按\(1.8\)元收費；如果超過\(15\)立方米，超過部分按每立方米\(2.3\)元收費，其余仍按每立方米\(1.8\)元計算。另外，每立方米加收污水處理費\(1\)元。若某戶一月份共支付水費\(58.5\)元，求該戶一月份用水量。
某牛奶加工廠現有鮮奶\(9\)噸，若在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤\(500\)元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤\(1200\)元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤\(2000\)元。該工廠的生產能力是：如制成酸奶，每天可加工\(3\)噸；制成奶片，每天可加工\(1\)噸。受人員限制，兩種加工方式不可同時進行；受氣溫條件限制，這批牛奶必須在\(4\)天內全部銷售或加工完畢。為此，該廠設計了兩種可行方案：
方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮奶；
方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好\(4\)天完成。
你認為選擇哪種方案獲利最多？為什么？
拓展作業：觀察生活中更多的分段計費和方案決策場景，如快遞收費、旅游出行方案等，選取一個實際問題進行詳細分析，建立數學模型并求解，形成一篇小報告 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1. 會從空調的綜合費用比較計費方式中尋找數量關系，列出方程.
2. 體會分類思想和方程思想在解決問題中的作用，能夠根據已知條件選擇分類關鍵點分析問題，選擇最優方案.
學習目標
課堂導入
同學們，你們去過電器商場嗎？
在冰箱、洗衣機、空調等家用電器上，我們常會看到右圖這樣的小標識，你知道這是什么意思嗎？
課堂導入
中國能效標識又稱能源效率標識，是附在耗能產品或其最小包裝物上，表示產品能源效率等級等性能指標的一種信息標簽.
等級越低，表示能耗越低，越節電.
我發現能耗低的電器比能耗高的電器價格貴，但能耗低的電器比較省電，電費低，我該怎么選擇呢？
知識點 方案選擇問題
新知探究
耗能高
中國能效標識
耗能低
12345
探究
不同能效空調的綜合費用比較
購買空調時，需要綜合考慮空調的價格和耗電情況.
某人打算從兩款空調中選購一臺，下表是這兩款空調的部分基本信息. 如果電價是0.5元/(kW·h)，請你分析他購買、使用哪款空調綜合費用較低.
兩款空調的部分基本信息
匹數 能效等級 售價/元 平均每年耗電量/(kW·h)
1.5 1級 3 000 640
1.5 3級 2 600 800
知識點 方案選擇問題
新知探究
綜合費用=空調的售價+電費.
選定一種空調后，售價是確定的，電費則與使用的時間有關.
問題1 如果購買兩款空調，綜合費用有哪些部分組成？
兩款空調的部分基本信息
匹數 能效等級 售價/元 平均每年耗電量/(kW·h)
1.5 1級 3 000 640
1.5 3級 2 600 800
知識點 方案選擇問題
新知探究
問題2 如果空調的使用年數用字母t表示，請用代數式分別表示出兩款空調的綜合費用.
兩款空調的部分基本信息
匹數 能效等級 售價/元 平均每年耗電量/(kW·h)
1.5 1級 3 000 640
1.5 3級 2 600 800
1級能效空調的綜合費用是________________________，
化簡后_________________.
3級能效空調的綜合費用是________________________，
化簡后_________________.
3 000+0.5×640t
3 000+320t
2 600+400t
2 600+0.5×800t
知識點 方案選擇問題
新知探究
兩款空調的部分基本信息
匹數 能效等級 售價/元 平均每年耗電量/(kW·h)
1.5 1級 3000 640
1.5 3級 2600 800
問題3 t 取什么值時，兩款空調的綜合費用相等
3 000+320t=2 600+400t.
t=5.
所以當t=5時，兩款空調的綜合費用相等.
知識點 方案選擇問題
新知探究
問題4 t 取什么值時，1級能效空調的綜合費用較低 t 取什么值時，3級能效空調的綜合費用較低
表示1級能效空調的綜合費用：
3 000+320t.
表示3級能效空調的綜合費用：
2 600+400t.
(3 000+320t)+(80t-400)
變形
3 000+320t+80(t-5).
討論80(t-5)的
正負即可.
當t<5時，80(t-5)是負數，這表明3級能效空調的綜合費用較低；
當t>5時，80(t-5)是正數，這表明1級能效空調的綜合費用較低.
知識點 方案選擇問題
新知探究
為了比較兩款空調的綜合費用，我們把表示3級能效空調的綜合費用的式子2 600+400t變形為1級能效空調的綜合費用3 000+320t與另外一個式子的和，即
(3 000+320t)+(80t-400)，
也就是
3 000+320t +80(t-5).
知識點 方案選擇問題
新知探究
由此可見，同樣是1.5匹的空調，1級能效空調雖然售價高，但由于比較省電，使用年份長（超過5年）時綜合費用反而低.根據相關行業標準，空調的安全使用年限是10年（從生產日期計起），因此購買、使用1級能效空調更劃算.
通常，1級能效空調既節能又省錢！
審題
更優惠
費用相同
列方程
用未知數表示費用
設未知數
選擇最優方案問題的一般步驟：
知識點 方案選擇問題
新知探究
知識點1 分段計費問題
1. 石家莊出租車收費標準如下：起步價8元（即行駛路程不超過
，付車費8元），每增加 ，加收1.6元.小軒從家到河北博物院
的路程為 ，乘出租車需付車費27.2元，則可列方程為( )
C
A. B.
C. D.
2.［2025重慶綦江區期末］某航空公司規定：乘坐飛機普通艙的旅客每
人最多只能免費托運的行李，超過部分每千克按機票價格的
購買行李票，一位旅客托運了 的行李，這樣，機票和行李票共付
了1 339元，則該旅客的機票價格是( )
B
A.1 020元 B.1 030元 C.1 040元 D.1 050元
3.（8分）［2025煙臺期末］“水是生命之源”，某自來水公司為鼓勵用
戶節約用水，按以下規定收取水費：
月用水量/噸 單價/（元/噸）
不超過20噸的部分 2
超過20噸的部分 2.5
另：每噸水加收0.3元的城市污水處理費 （1）若某用戶11月份共用水25噸，則他應繳水費____元.
60
（2）若某用戶12月份應繳水費為74元，則該用戶12月份用水多少噸？
解：因為（元） 元，
所以該用戶12月份用水量超過20噸，
設該用戶12月份用水 噸，
由題意，得，解得 .
答：該用戶12月份用水30噸.
知識點2 方案決策問題
4.某服裝商店出售一種優惠購物卡，花200元買這種卡后，憑卡可在這
家商店按八折購物，下列情況買卡購物合算的是( )
C
A.購物900元 B.購物500元 C.購物1 200元 D.購物1 000元
5.元旦期間，某超市推出如下優惠方案：（1）一次性購物超過100元但
不超過300元，在原價基礎上一律打九折；（2）一次性購物超過300元，
在原價基礎上一律打八折，王老師購物后付款252元，則他所購物品的
原價是______________.
280元或315元
6.（8分）［2025洛陽期末］“天下無雙圣境，世界第一仙山”的老君山，
是河南洛陽 級著名旅游景區.原門票價格為130元/張，某旅行社推出
一種團隊票（人數 ），團隊票可選擇兩種購票優惠方案：
方案一：全體人員打八折.
方案二：有5人可以免票，剩下的人員打九折.
設某團隊有 人.
（1）該團隊選擇方案一的費用為______元，選擇方案二的費用為
____________元.（用含 的代數式表示）
（2）若該團隊無論選擇哪種方案購票，費用恰好一樣，則該團隊共多
少人？
解：由題意得 ，
解得 .
答：該團隊共45人.
7.［2025唐山豐南區期末］甲、乙兩店以同樣價格出售一種商品，并推
出不同的優惠方案，在甲店累計購物超過100元后，超出100元的部分打
九折；在乙店累計購物超過50元后，超出50元的部分打九五折，則顧客
到兩店購物花費一樣時( )
D
A.累計購物不超過50元
B.累計購物超過50元不超過100元
C.累計購物超過100元
D.累計購物不超過50元或剛好為150元
8.（12分）［2025鄭州期末］某市對居民生活用電實行階梯電價，具體
收費標準如下表：
檔次 月用電量 電價/（元/千瓦時）
第1檔 不超過240千瓦時的部分
第2檔 超過240千瓦時但不超過400千瓦時的部分 0.65
第3檔 超過400千瓦時的部分
已知10月份該市居民老李家用電200千瓦時，交電費120元；9月份老李
家交電費157元.
（1）表中 的值為____；
0.6
（2）老李家9月份的用電量為___________；
260千瓦時
（3）若8月份老李家用電的平均電價為0.7元/千瓦時，求老李家8月份的
用電量.
解：因為 ，
所以老李家8月份的用電量超過400千瓦時.
設老李家8月份的用電量為 千瓦時.
由題意，得，解得 .
答：老李家8月份的用電量為560千瓦時.
9.（12分）［2025杭州上城區期末］紅領巾球館計劃購買某品牌的乒乓
球拍和乒乓球，已知該品牌的乒乓球拍每副定價150元，乒乓球每盒定
價15元.元旦期間該品牌決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種
優惠方案，即
方案一：買一副乒乓球拍送兩盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定價的 付款.
該球館計劃購買乒乓球拍10副，乒乓球盒（， 為整數）.
（1）當 時，若該球館按方案一購買，需付款_______元；若該球
館按方案二購買，需付款_______元.
1 800
1 890
（2）當 為何值時，分別按兩種方案購買所需費用一樣？
解：由題意得 ，
解得，所以當 時，分別按兩種方案購買所需費用一樣.
（3）若 ，能否找到一種更為省錢的購買方案？如果能，請你寫
出購買方案，并計算出此方案所需費用；如果不能，請說明理由.
解：先按方案一購買10副乒乓球拍可得20盒乒乓球，再按方案二購買20
盒乒乓球，需付款 （元）.
課堂小結
選擇最優方案問題的一般步驟：
審題
更優惠
費用相同
列方程
用未知數表示費用
設未知數
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑