資源簡介

8.2一元線性回歸模型的應用
8.2.1（2）一元線性回歸模型及其應用
人教A版高中數學選擇性必修三
第一課時
一元線性回歸模型
第二課時
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
第三課時
模型應用
模型假設
模型解釋
單元知識結構
殘差分析
決定系數????????
?
第一課時
一元線性回歸模型
第二課時
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
第三課時
模型應用
模型假設
模型解釋
單元知識結構
殘差分析
決定系數????????
?
第一課時
一元線性回歸模型
第二課時
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
第三課時
模型應用
模型假設
模型解釋
殘差分析
單元知識結構
決定系數????????
?
第一課時
一元線性回歸模型
第二課時
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
第三課時
模型應用
模型假設
模型解釋
殘差分析
單元知識結構
決定系數????????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
一、復習回顧
1. 經驗回歸方程：
我們將 稱為Y關于x的經驗回歸方程，也稱經驗回歸函數或經驗回歸公式，其圖形稱為經驗回歸直線. 這種求經驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.
2. 最小二乘估計：
經驗回歸方程中的參數 計算公式為：
3.殘差分析
殘差是隨機誤差的估計值，通過對殘差的分析可判斷回歸模型刻畫數據的效果，以及判斷原始數據中是否存在可疑數據等，這方面的工作稱為殘差分析.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
在采伐設計、資源評估、森林規劃調查等林業作業中，如何測算出一片森林的蓄積量？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
胸徑
樹高
例1 經驗表明，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高，由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預測樹高. 在研究樹高與胸徑之間的關系時，某林場收集了某種樹的一些數據(如下表)，試根據這些數據建立樹高關于胸徑的經驗回歸方程.
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
胸徑/cm
18.1
20.1
22.2
24.4
26.0
28.3
29.6
32.4
33.7
35.7
38.3
40.2
樹高/m
18.8
19.2
21.0
21.0
22.1
22.1
22.4
22.6
23.0
24.3
23.9
24.7
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
總結：求一元線性回歸方程的步驟
（1）描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數據是否線性相關。
（2）計算樣本相關系數r，判斷兩個變量之間的線性相關關系。(可省)
（3）建立一元線性回歸模型，并用最小二乘法估計參數????和????，得到經驗回歸方程。
?
（4）對回歸方程作殘差分析：殘差表、殘差圖、殘差平方和對模型刻畫數據的效果進行分析。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}學習目標達成（自我評價量表）
目標達成
學習目標
A.很清楚
（能講解）
B.清楚
（能理解）
C.不太清楚（不明白）
1.以成對樣本數據描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數據是否線性相關。
2.計算樣本相關系數r，判斷兩個變量之間的線性相關關系
3.兩個變量線性相關時，建立一元線性回歸模型，
4.根據最小二乘法，估計經驗回歸方程的參數????和????，得到經驗回歸方程。
5.對回歸方程作殘差分析：殘差表、殘差圖對模型刻畫數據的效果進行分析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}學習目標達成（自我評價量表）
目標達成
學習目標
A.很清楚
（能講解）
B.清楚
（能理解）
C.不太清楚（不明白）
1.以成對樣本數據描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數據是否線性相關。
2.計算樣本相關系數r，判斷兩個變量之間的線性相關關系
3.兩個變量線性相關時，建立一元線性回歸模型，
5.對回歸方程作殘差分析：殘差表、殘差圖對模型刻畫數據的效果進行分析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
例2 人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”. 下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產生的年份和世界紀錄的數據. 試依據這些成對數據，建立男子短跑100m世界紀錄關于紀錄產生年份的經驗回歸方程.
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
年份
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
記錄/s
11.80
10.60
10.40
10.30
10.20
10.10
10.00
9.95
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
二、模型應用
將經驗回歸直線疊加到散點圖，得到下圖：
用Y表示男子短跑100m的世界紀錄, t表示紀錄產生的年份, 利用一元線性回歸模型
來刻畫世界紀錄和世界紀錄產生年份之間的關系. 根據最小二乘法, 由表中的數據得到經驗回歸方程為
①
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
問題1 從圖中可以看到,經驗回歸方程較好地刻畫了散點的變化趨勢,請再仔細觀察圖形,你能看出其中存在的問題嗎?
這是否說明用一元線性回歸模型解決這個問題是錯誤的？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
——統計學家 喬治·博克斯
問題2 你能對模型進行修改,以使其更好地反映散點的分布特征嗎？
仔細觀察, 散點更趨向于怎樣的變化趨勢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
三、小組合作 修改模型
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
（1）我們學過的哪些函數具有以上的變化趨勢？嘗試用我們學過的知識構建回歸模型，并利用GGB軟件得出回歸方程.
（2）進行殘差分析（可利用殘差表、殘差圖、殘差平方和等）.
（3）展示交流，小組互評.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
知識與技能
思維與表達
交流與反思
C
能夠選擇合適的數學模型并求解模型
能夠經歷數學建模的過程，運用數學語言表述數學建模過程
能夠借助已有數學建模的結果說明問題
B
能夠選擇合適的數學模型并求解模型；能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型
能夠經歷數學建模的過程，運用數學語言表述數學建模過程，并能用建立的數學模型解決實際問題
能夠借助已有數學建模的結果說明問題；能夠用模型的思想說明問題
A
能夠選擇合適的數學模型并求解模型；能夠根據問題的實際意義檢驗結果，完善模型；能夠運用數學建模的一般方法和相關知識，創造性地建立數學模型，解決問題
能夠經歷數學建模的過程，運用數學語言表述數學建模過程，并能用建立的數學模型解決實際問題；能夠理解數學建模的意義和作用；運用數學語言，清晰、準確地表達數學建模的過程和結果
能夠借助已有數學建模的結果說明問題；能夠用模型的思想說明問題；能夠通過數學建模的結論和思想闡釋科學規律和社會現象
為了利用一元線性回歸模型估計參數c1和c2，我們引進一個中間變量x，
令x=ln(t-1895)，, 則Y=c2 x+c1
通過x=ln(t-1895) ,將年份變量數據進行變換,得到新的成對數據,如下表.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
追問 如何利用一元線性回歸模型估計參數c1和c2？
非線性回歸方程為：
y=f(t)=c1+c2ln(t-1895) （其中c1、c2為未知參數，且c2<0）.
根據最小二乘法，并利用表中數據可得新的經驗回歸方程為
將經驗回歸直線疊加到散點圖，如圖所示：
將x=ln(t-1895)代入 得到由創紀錄年份預報世界紀錄的經驗非線性回歸方程：
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
問題3 對于通過創紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
①
(1) 直接觀察法.
（2) 殘差分析: 殘差平方和越小, 模型擬合效果越好.
模型診斷：
四、模型診斷
（3）用決定系數R2來比較這兩個模型的擬合效果
通過前面的討論我們知道，當殘差的平方和越小，經驗回歸模型的擬合效果就越好，故我們可以用決定系數R2來驗證模型的擬合效果.
決定系數R2的計算公式為
殘差平方和
偏差平方和
R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好
R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.
顯然0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
問題3 對于通過創紀錄時間預報世界紀錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個回歸方程，你能判斷哪個回歸方程擬合的精度更好嗎？
②
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
①
(1) 直接觀察法.
（2) 殘差分析: 殘差平方和越小, 模型擬合效果越好.
（3）用決定系數R2：
0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.
(4) 用新的觀測數據來檢驗模型的擬合效果.
模型診斷方法：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
總結：非線性回歸問題的解決步驟
畫散點圖
函數模型
變換求解
變換還原
根據原始數據(x,y)畫散點圖.
根據散點圖,發現非線性相關特征，選擇恰當的函數模型.
進行恰當的變換，轉化成線性函數，求經驗回歸方程.
通過相應的變換,即可得非線性經驗回歸方程.
模型分析
分析模型的回歸效果.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
問題4 在上述問題情境中，男子短跑100m世界紀錄和紀錄創建年份之間呈現出對數關系，能借助于樣本相關系數刻畫這種關系的強弱嗎?
不能直接刻畫，因樣本相關系數用于衡量線性相關程度，需要先進行對數變換，將對數關系轉換成線性關系之后，再采用樣本相關系數去衡量.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
（1）根據生長在南方多雨地區的樹高與胸徑的數據建立的回歸方程，可以用來描述北方干旱地區的樹高與胸徑之間的關系嗎?
（2）根據20世紀80年代父親身高和兒子身高的數據建立的回歸方程，可以用來描述現在的父親身高與兒子身高的關系嗎?
（3）1968年之前男子短跑100m世界紀錄產生的年份和世界紀錄的數據建立的回歸方程，用來預測2030年的男子短跑100m世界紀錄合理嗎?
（4）根據經驗回歸方程得到的預報值是相應變量的精確值嗎?
問題5
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
在使用經驗回歸方程進行預測時,需注意以下問題:
1.回歸方程只適用于所研究的樣本的總體；
2.我們所建立的回歸方程一般都有時效性；
3.解釋變量的取值不能離樣本數據的范圍太遠；
4.不能期望經驗回歸方程得到的預報值就是響應變量的精確值. 事實上, 它是響應變量的可能取值的平均值.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
參數的最小二乘估計
模型診斷與修正
模型應用
單元知識結構
五、課堂小結
1、本節課用了哪些模型建立回歸方程？
2、對模型進行診斷的方法有哪些？
3、如何對模型進行修正？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元線性回歸模型
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模型應用
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六、課后作業
A層：完成教材 第121頁 習題8.2 第4題
B層：
生活中有許多變量之間的關系是值得我們去研究的．例如，數學成績、物理成績和化學成績兩兩之間是相關的嗎？哪兩個學科成績之間相關性更大，你能解釋其中的原因嗎？語文成績對數學成績有影響嗎？
請用你們班的某次考試成績，研究它們之間的關系如果它們之間有關系，請建立統計模型進行分析．

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