資源簡介

(共52張PPT)
章末復習
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第二章 有理數的運算 章末復習
一、知識梳理
（一）有理數的加法
運算法則：
同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。例如，\(3 + 5 = 8\)，\(( - 3)+( - 5)= - 8\) 。
絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得 0。比如，\(3+( - 5)= - 2\) ，\(5+( - 5)=0\) 。
一個數同 0 相加，仍得這個數，如\(0 + 7 = 7\) 。
運算律：
加法交換律：\(a + b = b + a\) 。例如，\(2 + 3 = 3 + 2\) 。
加法結合律：\((a + b)+c = a+(b + c)\) 。像\((1 + 2)+3 = 1+(2 + 3)\) ，通過加法結合律可以使計算更簡便，在多個有理數相加時，可以把互為相反數的數結合在一起，或把同號的數結合在一起先進行計算 。
（二）有理數的減法
運算法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為\(a - b = a+( - b)\) 。例如，\(5 - 3 = 5+( - 3)=2\) ，\(5-( - 3)=5 + 3 = 8\) 。
有理數加減法混合運算：統一成加法運算后，運用加法交換律和結合律進行簡便計算。如計算\(3 - 5 + 7 - 2\) ，可轉化為\(3+( - 5)+7+( - 2)=(3 + 7)+[( - 5)+( - 2)] = 10+( - 7)=3\) 。
（三）有理數的乘法
運算法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。例如，\(3 5 = 15\) ，\(( - 3) ( - 5)=15\) ，\(3 ( - 5)= - 15\) 。
任何數與 0 相乘，都得 0，如\(0 6 = 0\) 。
運算律：
乘法交換律：\(ab = ba\) 。例如，\(2 3 = 3 2\) 。
乘法結合律：\((ab)c = a(bc)\) 。如\((2 3) 4 = 2 (3 4)\) ，在多個有理數相乘時，運用乘法結合律可將便于計算的數結合在一起先算 。
乘法分配律：\(a(b + c)=ab + ac\) 。比如\(2 (3 + 4)=2 3 + 2 4\) ，利用乘法分配律可以簡化一些乘法與加法混合的運算 。
（四）有理數的除法
運算法則：
除以一個不等于 0 的數，等于乘這個數的倒數。用字母表示為\(a ·b = a \frac{1}{b}(b 0)\) 。例如，\(6 ·3 = 6 \frac{1}{3}=2\) ，\(6 ·( - 3)=6 ( - \frac{1}{3})=-2\) 。
兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0 除以任何一個不等于 0 的數，都得 0。如\(0 ·5 = 0\) ，\(( - 6) ·( - 2)=3\) ，\(6 ·( - 2)= - 3\) 。
有理數乘除法混合運算：先將除法轉化為乘法，再按照乘法法則進行計算 。
（五）有理數的乘方
乘方的意義：求\(n\)個相同因數\(a\)的積的運算，叫做乘方，記作\(a^n\) ，其中\(a\)是底數，\(n\)是指數，\(a^n\)的結果叫做冪。例如，\(2^3\)表示 3 個 2 相乘，\(2^3 = 2 2 2 = 8\) ；\(( - 2)^3=( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 8\) 。
乘方運算的符號規律：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0 的任何正整數次冪都是 0 。
（六）有理數的混合運算
運算順序：
先乘方，再乘除，最后加減。例如計算\(2 + 3 2^2\) ，先算\(2^2 = 4\) ，再算\(3 4 = 12\) ，最后算\(2 + 12 = 14\) 。
同級運算，從左到右進行。如計算\(12 ·3 2\) ，先算\(12 ·3 = 4\) ，再算\(4 2 = 8\) 。
如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行 。比如計算\([(2 + 3) 2 - 1] ·3\) ，先算小括號里的\(2 + 3 = 5\) ，再算中括號里的\(5 2 - 1 = 10 - 1 = 9\) ，最后算\(9 ·3 = 3\) 。
運算技巧：在進行有理數混合運算時，要觀察式子的特點，合理運用運算律進行簡便運算 。
（七）近似數與有效數字
準確數與近似數：
準確數是指可以精確表示的數，它與實際完全符合。例如，教室里有 30 張桌子，30 就是準確數 。
近似數是指與準確數相近的一個數，通常是由于測量、計算等原因無法得到精確值，或者不需要精確值時使用。比如，測量一個人的身高約為 1.75 米，1.75 就是近似數 。
近似數的精確度：
四舍五入法：這是最常用的表示近似數精確度的方法。例如，將 3.14159 精確到百分位（即保留兩位小數），看千分位上的數字 1，因為 1 小于 5，所以舍去千分位及后面的數字，得到 3.14 。
有效數字法：從一個數的左邊第一個非 0 數字起，到末位數字止，所有的數字，包括 0，都是這個數的有效數字。例如，0.025 有兩個有效數字 2 和 5；1.030 有四個有效數字 1、0、3、0 。
二、重點題型講解
（一）有理數的加減運算
例 1：計算\(( - 3)+5+( - 8)+7\) 。
分析：運用加法交換律和結合律，將同號的數分別結合在一起進行計算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 3)+5+( - 8)+7\\
=&[( - 3)+( - 8)]+(5 + 7)\\
=& - 11 + 12\\
=&1
\end{align*}
\)
例 2：計算\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 99 - 100\) 。
分析：可以將相鄰的兩個數看作一組，每組的計算結果都是\(-1\) ，一共有 50 組。
解答：\(
\begin{align*}
&1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 99 - 100\\
=&(1 - 2)+(3 - 4)+(5 - 6)+\cdots+(99 - 100)\\
=&( - 1)+( - 1)+( - 1)+\cdots+( - 1)\\
=& - 1 50\\
=& - 50
\end{align*}
\)
（二）有理數的乘除運算
例 3：計算\(( - \frac{3}{4}) ( - \frac{4}{3}) ·( - 2)\) 。
分析：先計算乘法，再計算除法，注意運算符號的確定。
解答：\(
\begin{align*}
&( - \frac{3}{4}) ( - \frac{4}{3}) ·( - 2)\\
=&1 ·( - 2)\\
=& - \frac{1}{2}
\end{align*}
\)
例 4：計算\(( - 24) ·( - \frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{3})\) 。
分析：先計算括號內的式子，再進行除法運算，括號內通分計算。
解答：\(
\begin{align*}
&( - 24) ·( - \frac{1}{2}+\frac{3}{4}-\frac{1}{3})\\
=&( - 24) ·( - \frac{6}{12}+\frac{9}{12}-\frac{4}{12})\\
=&( - 24) ·( - \frac{1}{12})\\
=&( - 24) ( - 12)\\
=&288
\end{align*}
\)
（三）有理數的乘方運算
例 5：計算\(( - 2)^4\) 。
分析：根據乘方的意義，\(( - 2)^4\)表示 4 個\(-2\)相乘。
解答：\(( - 2)^4=( - 2) ( - 2) ( - 2) ( - 2)=16\) 。
例 6：計算\(-2^4\) 。
分析：這里的負號在乘方運算之前，先算\(2^4\) ，再加上負號。
解答：\(-2^4 = - (2 2 2 2)= - 16\) 。
（四）有理數的混合運算
例 7：計算\( - 3^2 ( - \frac{1}{3})^2 - ( - 2)^3 ·( - \frac{1}{2})^2\) 。
分析：按照先乘方，再乘除，最后加減的順序進行計算。
解答：\(
\begin{align*}
& - 3^2 ( - \frac{1}{3})^2 - ( - 2)^3 ·( - \frac{1}{2})^2\\
=& - 9 \frac{1}{9}-( - 8) ·\frac{1}{4}\\
=& - 1 - ( - 8) 4\\
=& - 1 + 32\\
=&31
\end{align*}
\)
（五）近似數與有效數字
例 8：用四舍五入法，按括號中的要求對下列各數取近似數
0.34482（精確到百分位）
分析：精確到百分位，即保留兩位小數，看千分位上的數字 4，4 小于 5，舍去千分位及后面的數字。
解答：0.34482≈0.34
1.5972（精確到 0.01）
分析：精確到 0.01 也就是精確到百分位，看千分位上的數字 7，7 大于 5，向百分位進 1，9 加上 1 滿十再向十分位進 1。
解答：1.5972≈1.60
47155（精確到千位）
分析：先將原數寫成科學記數法的形式\(4.7155 10^4\) ，精確到千位，就看百位上的數字 1，1 小于 5，舍去百位及后面的數字，所以\(4.7155 10^4 4.7 10^4\) 。
解答：47155≈4.7×10^4
例 9：說出下列近似數的有效數字
0.03080
分析：從左邊第一個非 0 數字 3 起，到末位數字 0 止，所有數字 3、0、8、0 都是有效數字。
解答：有效數字為 3、0、8、0 。
2.4 萬
分析：先將 2.4 萬還原為 24000，從左邊第一個非 0 數字 2 起，到末位數字 4 止，有效數字是 2、4 。
解答：有效數字為 2、4 。
三、易錯點剖析
（一）符號問題
在有理數的加減法運算中，容易忽略符號的變化。例如，計算\(3 - 5\) ，錯誤地寫成\(3 - 5 = 2\) ，忽略了減去一個數等于加上它的相反數，正確結果應該是\(3+( - 5)= - 2\) 。
在有理數的乘除法運算中，也容易出現符號錯誤。比如，計算\(( - 3) ( - 4) ·( - 2)\) ，有些同學會先算\(3 4 = 12\) ，再算\(12 ·( - 2)= - 6\) ，忽略了負負得正，正確的計算應該是\(( - 3) ( - 4)=12\) ，\(12 ·( - 2)= - 6\) 。
在乘方運算中，底數為負數時，要注意指數的奇偶性對結果符號的影響。如\(( - 2)^3\)和\(-2^3\) ，\(( - 2)^3=( - 2) ( - 2) ( - 2)= - 8\) ，而\(-2^3 = - (2 2 2)= - 8\) ，雖然結果相同，但意義不同 。
（二）運算順序問題
在有理數的混合運算中，一定要嚴格按照先乘方，再乘除，最后加減的順序進行計算。如果有括號，先算括號內的。例如，計算\(2 + 3 2^2\) ，有些同學會先算\(2 + 3 = 5\) ，再算\(5 2^2 = 5 4 = 20\) ，這是錯誤的，應該先算\(2^2 = 4\) ，再算\(3 4 = 12\) ，最后算\(2 + 12 = 14\) 。
對于同級運算，要從左到右依次進行。如計算\(12 ·3 2\) ，不能先算\(3 2 = 6\) ，再算\(12 ·6 = 2\) ，而應該先算\(12 ·3 = 4\) ，再算\(4 2 = 8\) 。
（三）近似數與有效數字問題
在確定近似數的有效數字時，容易忽略從左邊第一個非 0 數字起這一條件。例如，對于近似數 0.0250，有些同學會認為有效數字是 2、5，而忽略了后面的 0，正確的有效數字是 2、5、0 。
在將一個數用四舍五入法取近似數時，要注意看清精確到的數位。如將 3.14159 精確到千分位，應該是 3.142，而不是 3.141 。
四、課堂總結
回顧運算規則：全面回顧有理數的加、減、乘、除、乘方運算的法則和運算律，強調運算順序以及在運算過程中符號的確定方法。
** 總結解題
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
本章知識結構圖
知識梳理
有理數的運算
加法
乘法
減法
乘方
除法
交換律、結合律
交換律、結合律、分配律
知識梳理
有理數加法法則：
同號兩數相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值的和．
絕對值不相等的異號兩數相加，和取絕對值較大的加數的符號，且和的絕對值等于加數的絕對值中較大者與較小者的差．
互為相反數的兩個數相加得0．
一個數與0相加，仍得這個數.
有理數減法法則：
減去一個數，等于加這個數的相反數．
有理數乘法法則：
兩數相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數的絕對值的積.
任何數與0相乘，都得0.
知識梳理
有理數除法法則：
除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數.
兩數相除，同號得正，異號得負，且商的絕對值等于被除數的絕對值除以除數的絕對值的商.
0除以任何一個不等于0的數，都得0.
知識梳理
1.計算.
(1)150+250 =_____; (2)－15+(－23) =_____; (3)－5－65=_____;
(4)－26－(－15) =______; (5)(－6)×(－16) =______;
(6)(－ )×27=_______;(7)8÷(－16) =_______;
(8)(－25)÷(－) =_______; (9)(－)÷(－) =_______.
400
－38
－70
－11
96
－9
－
隨堂練習
2.五袋白糖以每袋50干克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱量記錄如下：
+4.5，－4，+2.3，－3.5，+2.5
(1)這五袋白糖共超過標準多少干克？
(2)這五袋白糖的總質量是多少千克？
解：(1)+4.5－4+2.3－3.5+2.5=1.8(千克).
(2)50×5+1.8=251.8(千克).
隨堂練習
數軸上表示兩點間的距離
數軸上兩點A，B的距離| AB | 與這兩點所對應的數a，b的關系為：| AB | ＝ | a－b |.
知識梳理
隨堂練習
3. 分別求出數軸上兩點間的距離：
（1）表示 2的點與表示－7的點；
（2）表示－3的點與表示－1的點.
解：（1）2－(－7)=2+7=9；
（2）－1－(－3)=－1+3=2.
有理數加減乘除混合運算順序：
1.先算乘除，再算加減；
2.同級運算從左往右依次計算；
3.如有括號，先算括號內的；
4.能用運算律的，應利用運算律.
知識梳理
4.計算：
(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5;
解：(1)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5
=－0.02×20×5×4.5
=－9;
隨堂練習
4.計算：
(2) (－6.5) ×(－2)÷(－) ÷(－5);
解：(2)(－6.5)×(－2)÷(－)÷(－5)
=6.5×2×3×
=7.8;
隨堂練習
4.計算：
(3) 0+(－ )－2－(－1.5); (4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1).
解：(3) 0+(－ )－2－(－1.5)
=0－ －2+1.5
=(0+1.5)+(－0.2－2)
=1.5－2.2
=－0.7;
(4)(－66)×4－(－2.5)÷(－0.1)
=－264－25
=－289.
隨堂練習
乘方
一般地，n個相同的乘數a相乘，記作 an，讀作“a的n次方”.求n個相同乘數的積的運算，叫作乘方，乘方的結果叫作冪.
根據有理數的乘法法則可以得出：
1.負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；
2.正數的任何次冪都是正數；
3.0的任何正整數次冪都是0.
知識梳理
5.計算：
(1) (－3)3=_____; (2) (－2)4 =_____;
(3) (－1.7)2=_____; (4) (－)3 =_____;
(5) －(－2)2 =_____; (6) (－2)2(－3)2=_____.
－27
16
2.89
－
－4
36
隨堂練習
知識梳理
有理數的混合運算順序：
1.先乘方，再乘除，最后加減；
2.同級運算，從左到右進行；
3.如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.
6.計算：
(1)(－2)2×5－(－2)3÷4; (2)－(3－5)+32×(1－3).
解：(1)原式=4×5－(－8)÷4
=20+2
=22;
解：(2)原式=－(－2)+9×(－2)
=2－18
=－16.
隨堂練習
7.計算：
(1) －22×(－ )+8(－2)2; (2) (－3)2 2×(－) 2+4－22×(－);
隨堂練習
解：(1)原式=2+8÷4
=4.
解：(2)原式=9×+4+
= +4+
= .
隨堂練習
7.計算：
(3) {1+[()3] ×(－2)4 } ( );
解：(3)原式=[1+() ×16] ( )
= (1+1) ()
=
=
= .
知識梳理
科學記數法.
把一個大于10的數表示成 a×10n 的形式(其中a 大于或等于1且小于10，n是正整數)，這種記法是科學記數法.
用科學記數法表示一個n位整數(n ≥2)，其中10的指數是
n－1.
隨堂練習
8.一只蒼蠅的腹內細菌多達2 800萬個，用科學記數法表示為____________個.
9. 新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系.其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%.將數據13.6億用科學記數法表示為1.36×10n”的形式，則n的值是_____(備注：1億=100 000 000).
9
2.8×107
隨堂練習
10. 用科學記數法表示下列各數：
(1) 100 000 000;
(2) 4 500 000;
(3) 692 400 000 000.
1×108 .
4.5×106.
6.924×1011 .
近似數：是指與準確數相近的一個數.
精確度：近似數與準確數的接近程度可以用精確度表示.
知識梳理
11.用四舍五入法對下列各數取近似數：
(1)0.004 57（精確到0.000 1)；
(2)566.123 5(精確到個位)；
(3)3.896 3(精確到0.01)：
(4)0.057 1(精確到千分位)
隨堂練習
(1)0.004 57≈0.004 6.
(2)566.123 5≈566.
(4)0.057 1≈0.057.
(3)3.896 3≈3.90.
隨堂練習
12. 近似數1.20是由數a四舍五入得到的，那么數a的取值范圍是（ ）
A.1.15C.1.195分析：近似數1.20精確到百分位，它是將數a的千分位上的數字四舍五入得到的.
對于數a ，若千分位上的數字大于或等于5，則百分位上的數字應是“9”，十分位上的數字應是“1”；
若千分位上的數字小于5，則百分位上的數字應是“0”，十分位上的數字應是“2”.
故1.195≤a<1.205.
D
一、核心考點鞏固
考點1 有理數的運算
1.如圖，比數軸上點 表示的數大1的數是( )
B
A. B.0 C.1 D.2
2.［2025寧波期中］要使算式的運算結果最小，則“ ”內應填入
的運算符號是( )
C
A. B.- C.× D.
3.［2025上海期中］一個數的相反數的倒數是 ，那么這個數是( )
B
A. B. C. D.
4.［2025泰安期末］下列計算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
5. 可化為( )
D
A. B.
C. D.
6.甲、乙、丙、丁4位同學，學了有理數的乘方之后，發表了以下見解，
觀點正確的有( )
甲： 是2個5相加；
乙：與 是不同的結果；
丙：中底數是 ，指數是4；
丁：是 個4相乘.
B
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
7.［2025成都期末］有理數， 在數軸上對應點的位置如圖所示，則下
列結論正確的是( )
A
A. B. C. D.
8.（16分）計算：
（1） ；
解：原式
.
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式 .
9.（8分） 對于有理數， ，定義一種新運算“@”，規定
.
（1）計算@ 的值；
解：因為 ，
所以@ .
（2）計算 的值.
解：因為 ，
所以 .
考點2 有理數的運算的應用
10.［2025長沙調研］火星赤道夏季白天最高溫度可達 ，晚上最低
溫度可達 ，則火星赤道夏季晝夜溫差最大為( )
C
A. B. C. D.
11.手機移動收付款給生活帶來便捷.如圖是小華某天手機移動收付款賬
單的明細（正數表示收入，負數表示支出，單位：元），小華這天使用
手機移動收付款的最終結果是( )
C
A.收入19元 B.支出8元 C.收入6元 D.支出5元
12.將0，， ，1，2這五個數分別填在如圖所示的五個
小正方形內，使橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，
則填入中間位置的小正方形內的數不可以是( )
A
A.1 B. C.2 D.0
13.（8分）某摩托車廠家計劃本周每天生產250輛摩托車，由于工廠實
行輪休，每天上班人數不一定相等，故實際每天生產的摩托車數量也不
一樣.實際每天生產的摩托車數量與計劃相比情況如下表（超產為正，
減產為負，單位：輛）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增減
（1）星期六生產了多少輛摩托車？
解： （輛）.
答:星期六生產了241輛摩托車.
（2）本周實際總產量與計劃相比是增加了還是減少了？增加或減少了
多少？產量最多的一天比產量最少的一天多生產了多少輛？
解： （輛），所以本周實際總產
量與計劃相比減少了，減少了21輛.
產量最多的一天為星期五，產量最少的一天為星期日，
產量最多的一天比產量最少的一天多生產了 （輛）.
14.（12分）某糧食倉庫一周7天內進出糧食的噸數如下（“ ”表示進庫，
“-”表示出庫）：，，，，，， .
（1）經過這7天，倉庫里的糧食是增多了還是減少了？增多或減少了多
少噸？
解：因為 .
所以經過這7天，倉庫里的糧食減少了，減少了9噸.
（2）經過這7天，倉庫管理員結算發現倉庫里還存有100噸糧食，那么7
天前，倉庫里存有糧食多少噸？
解：因為 .
所以7天前，倉庫里存有糧食109噸.
（3）如果進倉庫的糧食裝卸費是每噸2元，出倉庫的糧食裝卸費是每噸
3元，求這7天要付多少元裝卸費.
解：由題意得，進倉庫的裝卸費為
（元），
出倉庫的裝卸費為
（元），
（元），
所以這7天要付407元裝卸費.
考點3 科學記數法
15. 是一款先進的人工智能助手，可提供高效、
精準的信息檢索和智能對話服務.其活躍用戶數在上線21天后達到了
3 370萬.將3 370萬用科學記數法表示為( )
C
A. B. C. D.
16. 下面是琳琳作業中的一道題目：
“ ”處都是0但發生破損，琳琳查閱后發現本題答案為1，則破損處“0”
的個數為( )
B
A.5 B.4 C.3 D.2
考點4 近似數
17.下列說法中正確的有( )
①近似數2.75精確到0.01；
②由四舍五入得到的近似數 精確到百分位；
③近似數6.9和6.90表示的意義是一樣的；
④將30 491按四舍五入精確到千位得到的近似數是3.1萬.
D
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
二、思想方法演練
思想1 分類討論思想
18.若,則 的值不可能是 ( )
D
A.2 B.0 C. D.1
19.已知，，若，則 _________.
10或
思想2 數形結合思想
20.（12分）【問題探索】將一根木棒放在數軸（單位長度為 ）上，
如圖，木棒左端與數軸上的點重合，右端與數軸上的點 重合.
（1）若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點 時，它的
右端在數軸上所對應的數為30；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它
的右端移動到點 時，它的左端在數軸上所對應的數為6，由此可得這根
木棒的長為___ .
8
（2）圖中點所表示的數是____，點 所表示的數是____.
14
22
【實際應用】由 的啟發，請借助“數軸”這個工具解決下面問題：
（3）一天，妙妙去問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現在這么大，你
還要35年才出生；你若是我現在這么大，我就115歲啦!”請問妙妙現在
多少歲了？
解：當奶奶像妙妙這么大時，妙妙為“ 歲”，
所以奶奶與妙妙的年齡差為 （歲），
所以妙妙現在的年齡為 （歲）.
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑