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章末復習
第三章 代數式
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第三章 代數式 章末復習
一、知識梳理
（一）代數式的概念
定義：用運算符號（加、減、乘、除、乘方等）把數和表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。單獨的一個數或者一個字母也叫做代數式，如\(5\)，\(x\)，\(a + b\)，\(3x^2\)，\(\frac{m}{n}\)等 。強調代數式中不含有等號、不等號等關系符號，像\(a - 5 = 3\)（等式）、\(x > 2\)（不等式）都不屬于代數式。
書寫規范：
數字與字母相乘時，數字寫在字母前面，乘號可省略或寫成 “\(\cdot\)”，帶分數要化為假分數，如\(4a\)，\(\frac{5}{2}x\) 。
字母與字母相乘，乘號通常省略，按字母表順序書寫，如\(ab\) 。
除法運算寫成分數形式，如\(m\div n\)寫成\(\frac{m}{n}\) 。
代數式是和或差的形式且后面帶單位時，需用括號括起來，如\((a + b)\)米 。
（二）列代數式
一般步驟：
分析數量關系，明確題目中各數量間的運算、大小等關系 。
設未知數，選取合適字母表示關鍵數量，其他數量用含此字母的代數式表示 。
根據數量關系和設出的未知數，運用運算符號列出代數式 。
常見數量關系表示：
和差關系：如 “\(a\)與\(b\)的和的\(3\)倍” 表示為\(3(a + b)\)，“\(m\)比\(n\)的平方小\(5\)” 表示為\(n^2 - m = 5\)（可變形為\(m = n^2 - 5\)） 。
倍數關系：“\(x\)的\(\frac{1}{2}\)與\(y\)的\(3\)倍的差” 表示為\(\frac{1}{2}x - 3y\)，“\(a\)是\(b\)的\(k\)倍多\(c\)” 表示為\(a = kb + c\) 。
實際問題關系：結合生活場景，如購買商品、行程問題等，根據相關公式和數量關系列代數式 。
復雜數量關系分析方法：
分段分析，將復雜關系分成簡單部分分別分析再綜合 。
列表分析，通過列表呈現多個數量及其變化，便于理清關系 。
（三）代數式的值
概念：用數值代替代數式里的字母，按代數式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數式的值。代數式的值由字母取值決定，字母取值要使代數式有意義 。
求值方法：
直接代入求值：明確字母取值，代入代數式，按運算順序計算。代入時注意數字與字母對應，字母值為負數、分數時合理添加括號 。
利用公式列代數式求值：確定問題涉及的公式，將已知量用字母表示并代入公式列代數式，給定字母具體數值時進行計算。要準確理解公式中字母含義，注意運算順序和符號 。
（四）反比例關系（選學內容）
概念：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也變化，若對應兩個數的乘積一定，這兩種量成反比例關系，用字母表示為\(xy = k\)（\(k\)為常數，\(k???0\)） 。
判斷方法：分析兩種量是否相關聯，再看對應乘積是否一定 。
性質：一個量增大，另一個量減小；反之亦然。反比例函數\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數，\(k???0\)）圖像是雙曲線 。
二、典型例題講解
（一）代數式的書寫與判斷
例 1：下列式子中，哪些是代數式？
①\(3x - 1\) ②\(2 + 3 = 5\) ③\(a\) ④\(x \geq 0\) ⑤\(\frac{1}{x + y}\)
分析：根據代數式定義，式子中不能有等號、不等號等關系符號。①③⑤是用運算符號把數和字母連接而成，或單獨的數、字母，屬于代數式；②是等式，④是不等式，不屬于代數式 。
解答：①③⑤是代數式，②④不是代數式 。
例 2：將下列數量關系用代數式正確表示：
\(a\)與\(b\)的\(2\)倍的差的平方
分析：先表示出\(b\)的\(2\)倍為\(2b\)，再求\(a\)與\(2b\)的差為\(a - 2b\)，最后對差求平方 。
解答：\((a - 2b)^2\) 。
比\(m\)的立方少\(\frac{1}{3}\)的數
分析：\(m\)的立方是\(m^3\)，比它少\(\frac{1}{3}\)，用\(m^3\)減去\(\frac{1}{3}\) 。
解答：\(m^3 - \frac{1}{3}\) 。
（二）列代數式
例 3：用代數式表示：
某商店購進一批商品，每件進價為\(a\)元，售價提高\(40\%\)后標價，再打\(8\)折銷售，此時售價是多少元？
分析：售價提高\(40\%\)后的標價為\(a(1 + 40\%)\)元，在此基礎上打\(8\)折，即標價乘以\(0.8\) 。
解答：此時售價為\(a(1 + 40\%)??0.8 = 1.12a\)元 。
一個梯形的上底為\(a\)，下底為\(b\)，高為\(h\)，若上底增加\(2\)，下底減少\(2\)，高不變，梯形面積會發生變化嗎？用代數式表示變化前后的梯形面積。
分析：根據梯形面積公式\(S = \frac{(?????? + ??????)??é??}{2}\)，變化前面積為\(\frac{(a + b)h}{2}\)；變化后上底為\(a + 2\)，下底為\(b - 2\)，面積為\(\frac{(a + 2 + b - 2)h}{2}=\frac{(a + b)h}{2}\) 。
解答：變化前梯形面積\(S_1 = \frac{(a + b)h}{2}\)，變化后梯形面積\(S_2 = \frac{(a + b)h}{2}\)，面積不變 。
（三）代數式的值
例 4：當\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)時，求代數式\(\frac{3x - 2y}{xy}\)的值。
分析：將\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)代入代數式，先分別計算分子\(3x - 2y = 3??(-2) - 2??\frac{1}{3}=-6 - \frac{2}{3}=-\frac{20}{3}\)，分母\(xy = (-2)??\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\)，再進行除法運算 。
解答：當\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{3}\)時，\(
\begin{align*}
\frac{3x - 2y}{xy}&=\frac{-\frac{20}{3}}{-\frac{2}{3}}\\
&=-\frac{20}{3}??(-\frac{3}{2})\\
&= 10
\end{align*}
\)
例 5：已知圓的半徑\(r = 5\)厘米，根據圓的面積公式\(S = \pi r^2\)，求圓的面積（\(\pi\)取\(3.14\)）。
分析：將\(r = 5\)，\(\pi = 3.14\)代入圓的面積公式\(S = \pi r^2\)進行計算 。
解答：當\(r = 5\)，\(\pi = 3.14\)時，\(S = 3.14??5^2 = 3.14??25 = 78.5\)平方厘米 。
三、易錯點剖析
（一）代數式書寫易錯點
數字與字母相乘時，數字未寫在字母前面，或帶分數未化為假分數 。如誤將\(3??a\)寫成\(a3\)，\(2\frac{1}{2}x\)未寫成\(\frac{5}{2}x\) 。
除法運算未寫成分數形式，如把\(m\div n\)寫成\(m?·n\) 。
和差形式帶單位時，未加括號，如\(a + b\)米應寫成\((a + b)\)米 。
（二）列代數式易錯點
分析數量關系錯誤，導致代數式列寫錯誤。例如，“\(a\)與\(b\)的和的平方” 誤寫成\(a + b^2\)，正確的是\((a + b)^2\) 。
設未知數不明確，或未根據設出的未知數正確表示其他數量 。
（三）求代數式的值易錯點
代入數值時，數字與字母對應錯誤 。
字母值為負數、分數時，未合理添加括號，導致運算順序錯誤 。如計算\(x^2 - 2y\)，當\(x = -2\)，\(y = \frac{1}{2}\)時，誤算為\(-2^2 - 2??\frac{1}{2}\)，正確的是\((-2)^2 - 2??\frac{1}{2}\) 。
利用公式求值時，對公式中字母含義理解錯誤，或運算順序錯誤 。
四、課堂總結
知識回顧：全面回顧代數式的概念、列代數式的方法、代數式求值的方式以及反比例關系的相關知識，梳理各知識點之間的聯系 。
方法歸納：總結代數式書寫規范、列代數式的步驟和技巧、求代數式的值的注意事項，以及判斷反比例關系的方法，幫助學生形成系統的知識體系 。
學習建議：鼓勵學生在日常學習中多觀察生活中的數量關系，加強列代數式和求代數式的值的練習，注意避免易錯點，提高運用代數式解決實際問題的能力 。
五、作業布置
基礎作業
判斷下列式子是否為代數式：
\(5 - 3x\)
\(a = 2\)
\(\frac{1}{x}\)
\(x > 1\)
用代數式表示：
\(a\)的\(3\)倍與\(b\)的和的一半
比\(m\)的平方小\(3\)的數
某商品原價為\(p\)元，先降價\(10\%\)，再提價\(10\%\)，此時的價格
當\(m = -1\)，\(n = 2\)時，求代數式\(m^2 + 2mn - n^2\)的值。
拓展作業
某工廠生產某種產品，每件產品的成本為\(50\)元，出廠價為\(80\)元。若該廠每月生產\(x\)件產品，用代數式表示每月的利潤（利潤 = 出廠價 × 數量 - 成本 × 數量）；當\(x = 1000\)時，求每月的利潤 。
觀察下列等式：\(1 = 1^2\)，\(1 + 3 = 2^2\)，\(1 + 3 + 5 = 3^2\)，\(1 + 3 + 5 + 7 = 4^2\)，…… ，用含\(n\)（\(n\)為正整數）的代數式表示這一規律，并求\(1 + 3 + 5 + \cdots + 2023\)的值 。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
知識梳理
代數式
代數式的定義
列代數式
代數式的值
本章知識結構圖
知識梳理
代數式：用運算符號把數或表示數的字母連接起來的式子叫作代數式.
單獨的一個數或字母也是代數式，例如，2，t都是代數式.
知識梳理
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}類型
書寫規定
示例
數與字母相乘或字母與字母相乘.
通常將乘號寫作“·”或省略不寫.相同字母寫成冪的形式.
如2×m寫成2·m或2m.
如m×n寫成m·n或mn.
m·m寫成m2.
數字因數是1或-1.
“1”常省略不寫.
如1×a寫成a，-1×a寫成-a.
帶分數與字母相乘.
將帶分數化成假分數.
如1 14t 應寫成54t.
除法運算.
用分數線.
如2÷x（x≠0）應寫成2????.
代數式是和或差的形式且后面有單位.
把式子用括號括起來.
如（a - b）千克.
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}類型
書寫規定
示例
數與字母相乘或字母與字母相乘.
通常將乘號寫作“·”或省略不寫.相同字母寫成冪的形式.
如2×m寫成2·m或2m.
如m×n寫成m·n或mn.
m·m寫成m2.
數字因數是1或-1.
“1”常省略不寫.
如1×a寫成a，-1×a寫成-a.
帶分數與字母相乘.
將帶分數化成假分數.
除法運算.
用分數線.
代數式是和或差的形式且后面有單位.
把式子用括號括起來.
如（a - b）千克.
代數式的書寫要求：
知識梳理
列代數式
在解決一些數學問題與實際問題時，需要先把問題中的數量關系用含有數、字母和運算符號的式子表示出來，也就是列代數式.
列代數式的步驟：
(1)分析條件，找出數量關系.
(2)用含有數、字母和運算符號的式子表示出來.
知識梳理
反比例關系：兩個相關聯的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定，這兩個量就叫作成反比例的量，它們之間的關系叫作反比例關系.
反比例關系的表示方法：如果用字母x和y表示兩個相關聯的量，用k表示它們的積(k是一個確定的值，且k≠0)，反比例關系可以用xy=k或y=????????來表示，其中k叫作比例系數.
兩個量的變化規律：一個量隨著另一個量的增大而減小.
?
知識梳理
代數式的值：一般地，用數值代替代數式中的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果，叫作代數式的值.當字母取不同的數值時，代數式的值一般也不同.
求代數式的值的步驟：
1.代 .
2.算.
3.驗.
隨堂練習
1.用代數式表示：
(1)比a的3倍小4的數.
(2)a的一半與b的和的平方.
(3)我國自主研發的一種近防炮，每分鐘可發射10 000發炮彈.近防炮 t min能發射多少發炮彈？
(4)購買n件單價為c元的商品要花多少元？若支付1000元還有剩余，應找回多少元？
cn元.
3a-4.
(12a+b)2.
?
10 000t 發.
(1000-cn)元.
隨堂練習
解：(1)最高氣溫是（t+15）℃.
（2）第一次降價后的售價是0.8b元.
第二次降價后的售價是（0.8b-10）元.
2.用代數式表示：
（1）某地冬季一天的溫差是15℃，這天的最低氣溫是t℃，最高氣溫是多少？
（2）某種商品原價為每件b元，第一次降價打8折，第二次降價每件又降10元，第一次降價后的售價是多少元?第二次降價后的售價是多少元
隨堂練習
3.說出下列各組代數式的意義有什么不同?
(1)3x-4與3(x-4);
(2)a2-b2與(a-b)2 .
解：(1)3x-4的意義是x的3倍與4的差，3(x-4)的意義是x與4的差的3倍.
(2) a2-b2的意義是a的平方與b的平方的差，或者a與b的平方的差， (a-b)2的意義是a與b的差的平方.
隨堂練習
4.(1)若一個長方形的長為p，寬為q，則2(p+q)表示什么？
(2)舉兩個例子說明代數式3a+2b表示的實際問題中的數量關系.
解：(1) 2(p+q)表示長方形的周長，
(2)例：①筆的單價是a元，筆記本的單價是b元，買3支筆，2個筆記本的花費是(3a+2b)元.
②蘋果的單價是3 元/kg,香蕉的單價是2 元/kg,買a kg蘋果，b kg香蕉共花費(3a+2b)元.
③甲、乙兩個工程隊共修一條路，甲工程隊每天修a km,乙工程隊每天修b km,甲工程隊工作3天，乙工程隊工作 2天共修了(3a+2b) km.
隨堂練習
5.用一根繩子圍成一個長方形，相鄰兩邊的長分別為x m和y m.
(1)當繩子的長為12 m時，用式子表示y與x的關系；
(2)當長方形的面積為12 m2時，用式子表示y與x的關系；
解：(1)2(x+y)=12.
(2) xy=12.
隨堂練習
5.用一根繩子圍成一個長方形，相鄰兩邊的長分別為x m和y m.
(3)當長方形的周長一定時，相鄰兩邊的長成反比例關系嗎？當長方形的面積一定時呢？為什么？
解：(3)當周長一定時，x與y的和一定，x與y不成反比例關系.
當面積一定時，x與y的積一定，x與y成反比例關系.
隨堂練習
6.若2b-a=5，求代數式5(a﹣2b)2﹣3(a﹣2b)﹣60的值.
解：因為2b﹣a=5，所以a﹣2b=﹣5，
所以原式=5×(﹣5)2﹣3×(﹣5)﹣60
=125+15﹣60
=80.
隨堂練習
7.根據下列a,b的值，分別求代數式a2-b2與(a-b)2的值：
(1)a=-1,b=-3；(2)a=2,b=-12.
?
解：(1)當a=-1,b=-3時，
a2-b2=(-1) 2 -(-3) 2 =1-9=-8.
(a-b)2 =[-1- (-3)] 2 =4.
(2)當a=2,b=-12時，a2-b2=22 -(-12) 2 = 154;
(a-b)2 =[2- (-12)] 2 = 254.
?
隨堂練習
8.用含字母的式子填空：
(1)長方形的寬為4，長比寬多a，則長方形的長為______，面積為_________；
(2)一件襯衣的進價為a 元，售價為2a 元，則每件襯衣的利潤為_______元；
(3)一個數的倒數為a，則這個數是_____.
4＋a
4(4＋a)
(2a-a)
1a
?
隨堂練習
9.如圖，正方形ABCD的邊長為a.
(1)根據圖中數據，用含a,b的代數式表示陰影部分的面積S;
(2)當a=6,b=2時，求陰影部分的面積.
解：(1)S= 12?a2- 12×4b= 12?a2-2b.
(2)當a=6,b=2時， S= 12×62- 2×2
=18-4
=14.
?
4
b
a
A
B
C
D
隨堂練習
10.如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去，擺第n個圖形需要多少枚棋子？
第1個
第2個
第3個
解：第1個圖形共有4枚棋子；
第2個圖形共有8枚棋子；
第3個圖形共有12枚棋子；
......
第n個圖形共有4n枚棋子.
一、核心考點鞏固
考點1 代數式的書寫規范及意義
1.下列各代數式符合書寫規范的是( )
B
A.????×???????? B.???????????????????? C.????÷???? D.????????????????????
?
2.下列不能表示“???????? ”的意義的是( )
?
D
A.3的????倍 B.????的3倍 C.3個????相加 D.3個???? 相乘
?
3.下列代數式的意義表述錯誤的是( )
B
A.????????+????????表示????????與????????的和 B.????????+????????表示????與???? 和的平方
C.?????????????????表示9減去????的????????所得的差 D.????????????????表示????????除以???????? 所得的商
?
考點2 列代數式
4. 為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為
“書香滿校園”的讀書活動.現需購買甲、乙兩種讀本共100本供學生閱讀，
其中甲種讀本的單價為10元，乙種讀本的單價為8元，設購買甲種讀本????
本，則購買乙種讀本的費用為( )
?
C
A.????????元 B.?????????????????????????元 C.?????????????????????元 D.????????????????????? 元
?
5.驢肉火燒為河北省著名小吃，驢肉醇香，火燒酥脆.某店銷售兩種口味
的火燒，驢肉火燒12元一個，燜子火燒5元一個.為增加銷量，該店推出
優惠活動，買一個驢肉火燒贈送一個燜子火燒.若嘉琪需購買???? 個驢肉火
燒和????個燜子火燒?????
C
A.????????+????????????元 B.????????+????????????元 C.????????+????????????+????元 D.????????+????????????+???? 元
?
6.［2025杭州期末］一件衣服的進價為????元，商家按進價提高????????% 標價，
則這件衣服的標價是______元.
?
????.????????
?
考點3 反比例關系
7.［2025福州期中］下列說法錯誤的是( )
A
A.正方形的面積與邊長成反比例
B.如果????????=????，那么????和???? 成反比例
C.路程一定，時間與速度成反比例
D.分數值一定，分子和分母成正比例
?
8.當三角形的面積為?????????????????時，它的底邊長????????????與底邊上的高???????????? 之
間的關系式為_______，底邊長????????????與底邊上的高???????????? 之間為____比
例關系（填“正”或“反”）.
?
????=????????????
?
反
9.（8分）［2025渭南期中］某運輸隊要為災區運送一批救災物資.如果
要一次把所有的物資全部送到，每輛車的載質量與所需車的數量見下表：
載質量/噸
2.5
4
5
10
數量/輛
40
25
20
10
（1）這批救災物資共有_____噸；
100
（2）每輛車的載質量與所需車的數量成反比例關系嗎？為什么？
解：成反比例關系.因為每輛車的載質量與所需車的數量的乘積等于100，
為定值.
考點4 求代數式的值
10.若????=????，????=????????，則代數式?????????????????+???? 的值為( )
?
D
A.????? B.1 C.7 D.13
?
11.［2025安慶期中］已知有理數????，????滿足(?????????)????+????+????=???? ，則
????????= ___.
?
9
12.（8分）已知????與????????的積為1，????和????的和為?????，???? 的絕對值為4.
?
（1）求????，????，???? 的值；
?
解：依題意，得????????????=????，????+????=?????，????=???? ，
所以????=????，????=?????，????=????或?????
?
（2）求?????????+????????????? 的值.
?
解：當????=????，????=?????，????=???? 時，
?????????+?????????????=?????????+????×??????????=??????????????????=????????? ；
當????=????，????=?????，????=????? 時，
?????????+?????????????=?????????+????×?????+????=?????????????+????=????? .
?
13.（8分）［2025廣州期末］如圖，某長方形廣場的四角
都有一塊半徑相同的????????圓形的草地，已知圓形的半徑為???? 米，
長方形的長為????米，寬為???? 米.
?
（1）請列式表示廣場空地的面積；
解：由圖可得，廣場空地的面積為????????????????????? 平方米.
?
（2）若長方形的長為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米，計算廣
場空地的面積（計算結果保留???? ）.
?
解：當長方形的長為300米，寬為200米，圓形的半徑為10米時，
廣場空地的面積為????????????×?????????????????×????????????=?????????????????????????????????????? 平方米.
?
14.（8分）某公司用????，????兩種型號的車運輸某種砂石料，其中???? 型車一
車能運輸15噸這種砂石料，????型車一車能運輸12噸這種砂石料.其中???? 型
車運輸了????車，????型車運輸了???? 車.
?
（1）若共運輸了????噸這種砂石料，用含????，????的代數式表示???? ；
?
解：????=????????????+???????????? .
?
（2）若這種砂石料每噸80元，當????=????????，????=???????? 時，此公司購買砂石
料應該付款多少元？
?
解：當????=????????，????=????????時，????????????+????????????=????????×????????+????????×????????=????????????
（噸），
????????????×????????=????????????????????? （元）.
答：此公司購買砂石料應該付款26 400元.
?
二、思想方法演練
思想1 數形結合思想
15.為開展勞動教育，某校想把一塊周長為????????????? 的長方
形荒地按如圖所示等距外擴????????? ，改造成一個長方形勞
動基地，并且用柵欄圍起來，則需要柵欄( )
?
B
A.????????+???????????? B.????????+???????????? C.????????????? D.?????????????
?
思想2 從特殊到一般的思想
16.下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規律組成的，其中圖①中
一共有6個小圓圈，圖②中一共有9個小圓圈，圖③中一共有12個小圓
圈，? ，按此規律排列下去，則圖 中小圓圈的個數為( )
?
C
A.????????????? B.????????+???? C.????????+???? D.?????????????
?
謝謝觀看！

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