資源簡介

(共39張PPT)
綜合實踐：進位制的認識與探究
第二章 有理數的運算
【2024新教材】人教版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
進位制的認識與探究綜合實踐方案
一、活動背景
在日常生活和數學學習中，我們經常接觸到不同的計數方式，從最常用的十進制，到計算機領域廣泛應用的二進制、十六進制，進位制無處不在。開展 “進位制的認識與探究” 綜合實踐活動，旨在引導學生深入理解進位制的原理、特點及應用，提升學生的數學思維能力和實踐探究能力，感受數學與生活、科技的緊密聯系。
二、活動目標
知識與技能目標：學生能夠理解進位制的基本概念，掌握十進制、二進制、八進制、十六進制等常見進位制的計數規則和相互轉換方法；學會運用進位制知識解決實際問題。
過程與方法目標：通過觀察、分析、操作、討論等活動，培養學生自主探究、合作交流的能力；提高學生運用數學知識解決實際問題的能力和邏輯思維能力。
情感態度與價值觀目標：激發學生對數學的好奇心和求知欲，增強學生對數學學習的興趣和信心；讓學生體會數學在生活和科技中的重要應用價值，培養學生用數學眼光觀察世界的意識。
三、活動準備
教師準備：制作關于進位制的多媒體課件，包含豐富的圖片、動畫和實例；準備進位制轉換的相關教具，如計數卡片、計數器等；設計探究活動任務單和評價表；收集與進位制相關的拓展資料，如進位制的歷史發展、在不同領域的應用案例等。
學生準備：復習有理數運算等相關數學知識；準備筆記本、筆等學習用品；以小組為單位（4 - 5 人一組），確定小組組長和分工。
四、活動過程
（一）情境導入（15 分鐘）
展示生活中與進位制相關的現象，如時鐘的六十進制（60 秒為 1 分鐘，60 分鐘為 1 小時）、人民幣的十進制（10 角為 1 元）、計算機存儲容量的二進制（1024KB = 1MB，1024MB = 1GB）等圖片和視頻，引導學生觀察并思考：“這些計數方式有什么特點？為什么會采用不同的計數規則？”
提出問題：“我們平時常用的十進制是如何計數的？除了十進制，還有哪些其他的進位制？它們又有怎樣的奧秘呢？” 引發學生的好奇心和探究欲望，從而導入本次綜合實踐活動主題 —— 進位制的認識與探究。
（二）知識講解（25 分鐘）
進位制的基本概念：通過課件展示，講解進位制的定義，即進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。介紹基數的概念，基數是進位制中數碼的個數，例如十進制的基數是 10，二進制的基數是 2 。
常見進位制介紹：
十進制：詳細講解十進制的計數規則，以數字 325 為例，說明每個數位上的數字所代表的數值，\(325 = 3 10^2 + 2 10^1 + 5 10^0\) ，讓學生回顧并鞏固十進制的運算方法。
二進制：通過動畫演示二進制的計數過程，從 0 開始，依次為 0、1，當達到 2 時就向高位進 1，得到 10，繼續計數為 11，再進 1 得到 100 。介紹二進制在計算機中的重要應用，如計算機存儲數據、處理信息都是以二進制的形式進行的。
八進制和十六進制：簡要介紹八進制（基數為 8，數碼為 0 - 7）和十六進制（基數為 16，數碼為 0 - 9、A - F，其中 A - F 分別代表 10 - 15）的計數規則，對比它們與十進制、二進制的異同。
（三）探究活動（60 分鐘）
小組探究一：進位制的計數規律（20 分鐘）
給每個小組發放不同進位制的計數卡片（如二進制、八進制、十六進制），讓學生按照各自的計數規則進行計數練習，從最小的數開始，逐步遞增，記錄計數過程。
小組內討論并總結不同進位制的計數規律，思考進位的條件和方式，以及與十進制計數規律的聯系和區別。
每個小組選派代表進行匯報，分享小組的探究成果，教師進行點評和補充，引導學生深入理解進位制的計數原理。
小組探究二：進位制的轉換方法（40 分鐘）
教師講解十進制與二進制之間的轉換方法，包括十進制轉二進制的 “除 2 取余法” 和二進制轉十進制的 “按權展開相加法”，并通過實例進行演示。
布置任務：讓各小組分別探究十進制與八進制、十進制與十六進制之間的轉換方法，以及二進制、八進制、十六進制之間的相互轉換方法。提供一些數字作為轉換練習的素材，如將十進制數 25 轉換為二進制、八進制、十六進制，將二進制數 1010 轉換為十進制、八進制、十六進制等。
小組內成員分工合作，嘗試運用已學知識和方法進行探究和計算，記錄轉換過程和結果。教師巡視各小組，觀察學生的探究情況，適時給予指導和啟發。
小組完成探究任務后，進行組間交流，分享各自的轉換方法和技巧，互相學習和借鑒。教師對學生的探究成果進行總結和歸納，強調轉換過程中的關鍵步驟和易錯點。
（四）拓展延伸（20 分鐘）
進位制在生活和科技中的應用案例分享：教師通過課件展示進位制在不同領域的應用案例，如古代的十六進制秤（16 兩為 1 斤）、計算機編程中的顏色表示（常用十六進制表示 RGB 顏色值）、密碼學中的數據加密（常涉及多種進位制的運算）等，講解這些應用的原理和意義。
小組討論與分享：組織學生以小組為單位，討論進位制在其他領域可能的應用，并推選代表進行分享。鼓勵學生發揮想象力和創造力，提出獨特的見解和想法。
五、活動總結（15 分鐘）
學生總結：邀請學生代表發言，分享本次綜合實踐活動的收獲和體會，包括對進位制知識的理解、探究過程中的發現和問題解決方法，以及對數學學習的新認識。
教師總結：教師對本次活動進行全面總結，回顧進位制的核心知識和探究過程中的重點內容，強調進位制在數學和實際生活中的重要地位和作用。對學生在活動中的表現進行評價，肯定學生的積極參與和創新思維，指出存在的問題和不足之處，提出改進建議。
六、活動評價
過程性評價：觀察學生在小組討論、探究活動中的參與度、合作能力、問題解決能力等，記錄學生的表現，及時給予反饋和鼓勵。評價學生在活動過程中的學習態度、思維活躍度和創新意識。
成果性評價：對學生的探究成果進行評價，包括進位制計數規律的總結、轉換方法的掌握和應用情況，以及在拓展延伸環節的表現。通過學生提交的活動報告、作業等，檢查學生對進位制知識的理解和運用能力。
自我評價與互評：引導學生進行自我評價和小組互評，讓學生反思自己在活動中的優點和不足，學習他人的長處，促進共同進步。
七、作業布置
整理本次活動中學習到的進位制知識，制作一份手抄報，要求內容豐富、形式美觀，展示進位制的概念、計數規則、轉換方法及應用案例。
思考并探究：如果采用三進制或五進制，它們的計數規則和運算方法會是怎樣的？與我們學習的常見進位制有哪些不同？嘗試解決一些簡單的三進制或五進制的運算問題，并記錄探究過程和結果。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.培養綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力.
2.借助生活實例，感悟數學與現實世界的聯系，培養創新意識、實踐能力等綜合品質.
學習目標
你還記得自己最早學習加法時的情景嗎？是不是把雙手一伸，掰著手指計算的？手指是世界上最古老的“計算器”，這種掰手指算數的方式，與目前使用最廣泛的“十進制記數法”密切相關.
計算機使用的“二進制記數法”，
同樣具有劃時代的意義.
課堂導入
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
你知道什么是“進制”嗎？
進制即進位制，是人們規定的進位方法. 一般逢幾進一便叫做幾進制.
十二進制
六十進制
七進制
一分鐘有多少秒？
一周有幾天？
一年有幾個月？
【發現問題】
進位制是人們為了記數和運算方便而約定的記數系統.中國的甲骨文、算籌、八卦，古巴比倫的楔形數字，古希臘的字母計數等都蘊含著進位制，它們是數學史上的偉大創造.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【提出問題】
不同進位制的數之間能否互相轉換？如何轉換？
讓我們帶著這些問題一起來
探究進位制！
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【算法理解】
無論哪種進位制，都有一種固定的算法.
十進制
逢十進一
2 4 7 8
=2×103+4×102+7×101+8×100.
2表示2個千
4表示4個百
7表示7個十
8表示8個一
可見，一個數可以表示成各數位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式.
規定當a≠0時， a0=1.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【算法理解】
二進制
逢二進一
各數位上的數字為0或1.
(1011)2
(1) 請把二進制數 1011 表示成各數位上的數字與基數的冪的乘積之和的形式.
=1×23+0×22+1×21+1×20.
說明：為了區分不同的進位制，常在數的右下角標明基數.
例如，(1011)2就是二進制數1011的簡單寫法. 十進制數一般不標注基數.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【初步應用】
國際數學教育大會是全球數學教育界水平最高、規模最大的學術盛會，每四年一屆，ICME-14于2021年在上海舉辦，這是國際數學教育大會第一次在中國舉辦.大會標識(如圖)中蘊含著很多數學文化元素，以中國傳統文化中“洛書”與“河圖”為原本，并將其與我國古老的八卦進行了融合，體現了我國傳統文化的博大精深.大會標識右下方的“卦”是用我國古代的計數符號寫出的八進制數3 745.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
八進制是以8作為進位基數的數字系統，有0~7共8個基本數字.
八進制
逢八進一
表示ICME-14的舉辦年份.
(3745)8= 3×83+7×82+4×81+5×80
【初步應用】
=2021.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
思考：
八進制數3 756換算成十進制數是__________.
【初步應用】
(3 756)8
= 3×83+7×82+5×81+6×80
=2 030.
2 030
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【實際應用】
(1)二進制在信息技術中具有非常重要的地位，在計算機中，所有的信息如文字、圖片等，都被表示為二進制形式.二維碼工作的原理就是二進制算法，計算機程序根據字符類型所對應的編碼規則先將信息轉換成二進制數0和1，再進行一系列優化算法，得到最終的二進制編碼，在這串編碼中，一個0對應一個白色小方塊，一個 1對應一個黑色小方塊，程序按照填涂規則，將這些小方塊填進大方塊里，得到一個可被識別的二維碼圖案.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【實際應用】
請你根據以下材料，完成十進制數與二進制數的轉換：
將一個十進制的數轉換為二進制的數，只需把該數寫成若干個2的和，依次寫出1或0即可.
例如：十進制數19可以按下述方法轉換為二進制數：19=16+2+1
=1×24+0×23+0× 22+1×21+1×20 =10011.
二進制數110110可以轉換成十進制數：
110110=1×25+1× 24+0×23+1×22+1×21+0×20=54.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【實際應用】
①將十進制數104化成二進制數；
②將二進制數1011101化成十進制數.
解：①104=64+32+8
=1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+0×21+0×20，
則十進制數104化成二進制數為1101000.
②1011101=1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20=93，
則二進制數1011101化成十進制數為93.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
【實際應用】
(2)我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計數”.
①如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩
子上打結，采取滿七進一的方式，用來記錄
孩子自出生后的天數.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
例如圖1表示的是孩子出生后30天時打繩結的情況(4×71+2×70=30)，
那么由圖2可知，孩子自出生后的天數是_________.
【實際應用】
提示：1×73+3×72+2×71+ 6×70=510（天），
故孩子自出生后的天數是510天.
510
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
②數數同學周末去勞動實踐基地采摘果子，準備采用“結繩計數”的方法來記錄采摘果子的數量.已知他采摘的果子有888顆，采取的是滿五進一的方式，請你幫數數計算他需要掛幾根繩子，并畫出此時繩子的打結圖.
【實際應用】
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
解：由題意可知，數數結繩計數中的每一個數，就相當于五進制里每一位里的數，而五進制中每相鄰的兩個計數單位之間的進率都為五，如五進制數12345中的1表示1個54，2表示2個53，3表示3個52，4表示4個51 ，5表示5個50，故可得式子：
12345=1×54+2×53+3×52+ 4×51+5×50.
因為50=1，51=5，52=25，53=125，54=625， 55=3 125,
625<888<3 125,
所以數數只需要掛5根繩子.
知識點 進位制的認識與探究
新知探究
因為888÷625=1263，
263÷125=2 13,
13÷25=0 13,
13÷5=2 3,
3÷1=3,
所以888=1×625+2×125+0×25+2×5+3
=1×54+2×53+0×52+2×51+3×50
=(12023)5.
此時繩子的打結圖如圖所示.
（第1題）
1. 我國古代《易經》一書中記載，遠古
時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計
數”.如圖，一位漁夫從右往左打結，滿五進一，用來記
錄捕到的魚的數量.由圖可知，他一共捕到的魚有( )
B
A.34條 B.194條 C.1 234條 D.6 154條
（第2題）
2.不同于十進制，古巴比倫使用的是60進制.這與他們
獨特的計數方式有關，如圖，右手4根手指的12個指
關節表示，另一只手用五根手指表示 倍.
如當古巴比倫人左手伸出1根手指，右手大拇指掐住
第八指關節時，表示的十進制數是 .若當
D
A.7 B.25 C.21 D.29
其左手伸出兩根手指，右手大拇指掐住第五指關節時，表示的十進制數
是( )
3.在日常生活中，我們用十進制來表示數，如
.計算機中采用的是二進
制，即只需要0和1兩個數字就可以表示數，如二進制中的
，可以表示十進制中的10，那
么二進制中的110101表示十進制中的____.
53
4.上海舉辦過第十四屆國際數學教育大會（簡稱
），會徽的主題圖案（如圖）有著豐富的
數學元素，展現了中國古代數學的燦爛文明.圖案中右
2 021
下方的圖形是用中國古代的計數符號寫出的八進制數3745.我們常用的
數是十進制數，如 ，在電
子計算機中用的是二進制，如二進制中
等于十進制的數6，八進制數3745換算成十進制數是_______.
5. 某 將用戶的使用等級用四個標識圖展示，從低到
高分別為星星、月亮、太陽、皇冠，采用“滿四進一”制，一開始是星星，
一個星星為1級，4個星星等于一個月亮，4個月亮等于一個太陽，4個太
陽等于一個皇冠，某用戶的使用等級標識圖為兩個皇冠，則其使用等級
為( )
B
A. B. C. D.
6.計算機利用的是二進制數，它共有兩個數碼0，1.將一個十進制數轉化
為二進制數，只需把該數寫成若干個（注： ）的數的和，依次
寫出1或0即可.如
B
A.十位數 B.十一位數 C.十二位數 D.十三位數
，為二進制下的五位數，則十進制1 025是二進制下的( )
7.計算機中常用的十六進制是一種逢16進1的計數制，采用數字 和
字母 共16個計數符號，這些符號與十進制的數的對應關系如下表：
十六進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D
十進制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六進制表示 ，用十進制表示也就是
，則用十六進制表示 ____.
8.（12分） 綜合與實踐：
我們通常學習的數都是十進制數，使用的數碼共有10個：0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9，表示具體數時采用“逢十進一”的原則，而現代的計
算機和依賴計算機的設備都使用二進制數，用到的數碼只有兩個：0和1，
表示具體數時“逢二進一”.二進制數和十進制數可以互相轉化，二進制
數的運算也和十進制數的運算類似.
【任務一】
問：如何把十進制數103轉化成二進制整數？
答：
，
所以103用二進制數表示是1100111，記為 .
【任務二】
問：如何把十進制數0.125轉化為二進制小數？
答： ，所以0.125可以表示成二進制小數
.
，這里還可以把分子1和分母8都轉化為二進制數，在二進制
下用分子除以分母得到 的二進制小數：
由于，，所以，而
，可以類比十進制數作除法，只是商和余數都只能是0或1：
，所以 .
【任務三】
問：二進制是否也有循環小數？
答：有，如 ，由
，可知 .
綜合以上探究，我們可得下表：
十進制轉 二進制 整數 小數 分數
方法 除以2取余，倒 序排列，高位 補零 乘2取整，順序排列 將分子、分母分
別轉換成二進制
數，用除法
十進制轉 二進制 整數 小數 分數
舉例 ______________________________
續表
【反思評價】
（1）將十進制數35化成二進制數為___________，二進制小數
化為十進制分數是__.
（2）將十進制分數化成二進制小數：（________）, （
_________） .
0.00101
（3）在十進制中，循環小數都可以化為分數，例如：將 化為分數形式.
設 ,
則 .
,得,即，于是得到 .
同樣，二進制中的循環小數也可以用類似的方法化為十進制分數.
請將二進制循環小數 化成十進制分數，保留計算過程.
解：設，則 .
所以 ，
所以，所以 .
所以 .
課堂小結
提出問題
發現問題
實際生活
解決問題
謝謝觀看！

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