資源簡介

10.2事件的相互獨立性
第十章 概率
復習回顧
復習回顧
事件的關系或運算
事件的關系或運算
含義
符號表示
包含
????發生導致????發生
?????????或?????????
并事件(和事件)
????與????至少一個發生
????∪????或????＋????
交事件(積事件)
????與????同時發生
????∩????或????????
互斥(互不相容)
????與????不能同時發生
????∩????=?
互為對立
????與????有且只有一個發生
????∩????=?且????∪????=????
事件的關系或運算
含義
符號表示
包含
并事件(和事件)
交事件(積事件)
互斥(互不相容)
互為對立
復習回顧
復習回顧
性 質 1
性 質 2
性 質 3
性 質 4
性 質 5
性 質 6
對任意的事件A，都有P(A)≥0.
必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.
若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B).
若事件A與事件B互為對立事件，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，P(B)=1-P(A).
若A?B，則P(A)≤P(B).
設A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(A∩B).
(概率的單調性)
(互斥事件的概率加法公式)
(一般事件的概率加法公式)
概率的性質：

新知探究

環節1
環節4
環節3
環節2
和事件A+B發生的概率事和件A、B發生的概率有關，當隨機事件A、B互斥的時候，有????(????+????)=????(????)+????(????)，那么積事件AB發生的概率是否也與事件A、B發生的概率有關呢？這種關系會是怎樣的呢?
?

環節1
環節4
環節3
環節2
環節一：新知探究

試驗1 分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.
試驗2 一個袋子中裝有標號分別是1, 2, 3, 4的4個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球. 設A=“第一次摸到球的標號小于3”, B=“第二次摸到球的標號小于3”.
問題1：在兩個試驗中，事件A的發生影響事件B發生的概率嗎？
問題2：分小組計算????(????)、????(????)、????(????????),你有什么發現？
?

環節1
環節4
環節3
環節2
環節一：新知探究

相互獨立事件：
對任意兩個事件A與B，如果
P(AB) = P(A) P(B)
成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
問題3：請你舉出相互獨立事件的例子

環節1
環節4
環節3
環節2
環節一：新知探究

概念深化：
1.如果將試驗2改成“不放回”，兩個事件還是相互獨立的嗎？
2.將一枚質地均勻的骰子拋擲一次，事件A=“得到偶數點”，事件B=“得到3的倍數點”，這兩個事件是相互獨立的嗎？

環節1
環節4
環節3
環節2
環節一：新知探究

1. 直接法：直接判斷一個事件發生與否是否影響另一事件發生的概率.
2. 定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.
兩個事件是否相互獨立的判斷方法

環節1
環節4
環節3
環節2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}評價指標
優秀（4 分）
良好（3 分）
一般（2 分）
需改進（1 分）
試驗獨立性判斷
能準確判斷事件相互獨立，解釋 “事件發生互不影響” 的本質
能判斷獨立性，但解釋時需借助 “試驗結果無關” 等生活語言，未完全關聯概率公式。
僅能憑直覺判斷 “拋硬幣獨立”，無法說明 “有放回摸球” 的獨立性依據。
認為 “摸球試驗中第一次結果影響第二次”，混淆有放回與不放回的區別。
定義與公式應用
能完整表述定義
能寫出公式但表述不完整（如遺漏 “對任意事件”），需提示后完成概率計算。
記憶公式錯誤，無法關聯試驗結果計算
不理解公式含義，無法將試驗結果與概率公式建立聯系。
?試驗數據計算準確性
小組合作正確計算試驗
計算結果正確，但需小組討論后完成，未主動發現 “積事件概率等于概率乘積” 的規律。
計算過程出錯，需教師逐一步驟指導。
無法完成概率計算，混淆樣本點個數與概率值。
概念深化問題解決
能獨立解決 “不放回摸球” 問題
能計算概率但判斷獨立性時猶豫，需提示 。
無法區分有放回與不放回的樣本空間差異，直接認為 “不放回也獨立”。
不理解 “不放回” 對概率的影響，無解題思路。
舉例與反例構建
能舉出多個以上相互獨立事件例子，并說明 “事件互不影響” 的理由。
能舉出例子（如 “拋兩枚硬幣”），但例子重復或解釋不清晰。
舉例混淆獨立與互斥（如 “擲骰子得到 1 點和 2 點”），需糾正。
無法舉例，或舉例與獨立事件無關（如 “天氣與心情”）。
數學語言規范性
用 “樣本空間”“積事件”“概率乘積” 等術語清晰闡述獨立性判斷過程，邏輯連貫
能用術語表達但語句不夠連貫
用生活語言描述（如 “第一次不影響第二次，所以獨立”），缺乏數學術語。
表達混亂，無法傳遞有效信息。

環節1
環節4
環節3
環節2
環節二：課堂探究
問題4：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？
必然事件與任意事件相互獨立，不可能事件與任意事件相互獨立

環節1
環節4
環節3
環節2
環節二：課堂探究
問題5：若事件A與B相互獨立，那么????和????，????和????，????和
???? 是否也相互獨立?
?
若事件????與????相互獨立，
則????與????，????與????，????與???? 也相互獨立 .
?

環節1
環節4
環節3
環節2
環節二：課堂探究
問題6. 分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？
追問：是否有 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 成立？

環節1
環節4
環節3
環節2
環節二：課堂探究
博羅梅奧環

環節1
環節4
環節3
環節2
環節三：課堂練習
例甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，
乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:
(1)兩人都中靶； (2)恰好有一人中靶；
(3)兩人都脫靶； (4)至少有一人中靶.

環節1
環節4
環節3
環節2
假設三個臭皮匠分別解出題目的概率是0.45、0.55和0.6，他們解出題目是相互獨立的，只要有一人解出題目就算成功，諸葛亮解出題目的概率是0.9，三個臭皮匠真的能抵過諸葛亮嗎？
我們無法事先保證很多事情的結果，但是我們可以努力改變結果發生的概率，這就是概率的魅力。

環節1
環節4
環節3
環節2
課堂小結
1.這節課你學習了哪些知識？
2.這節課你用到了哪些數學思想方法？

環節1
環節4
環節3
環節2
作業布置
1.必做：課本本節課后習題
選做：同步的拓展提升題
2.撰寫一篇論文：三個以上事件相互獨立的條件

環節1
環節4
環節3
環節2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}評價指標
優秀（4 分）
良好（3 分）
一般（2 分）
需改進（1 分）
必然事件與不可能事件的獨立性判斷
能嚴格證明 “必然事件與任意事件獨立”，同理證明 “不可能事件與任意事件獨立”，邏輯鏈條完整。
能說明 “必然事件與任意事件獨立” 的結論，但證明時需提示
僅記住 “必然事件與任意事件獨立” 的結論，無法用概率公式推導，混淆 “必然事件” 與 “確定事件” 的數學定義。
認為 “必然事件與任意事件不獨立”（如 “必然事件發生則其他事件必受影響”），或無法理解不可能事件獨立性的數學意義。
對立事件的獨立性推理
能通過定義完整推導，同理推導其他補事件組合。
能理解對立事件獨立性的結論，但推導過程需教師引導
知道 “獨立事件的對立事件也獨立”，但無法寫出推導過程
無法建立補事件與原事件的概率聯系，對 “A與B是否獨立” 無解題思路。
三事件兩兩獨立性判斷
在問題 6 中，正確計算得出 兩兩獨立，并說明判斷依據。
能計算P(A)、P(B)、P(C)及兩兩積事件概率，但判斷獨立性時遺漏某一組，需提示 “檢查所有兩兩組合”。
計算概率時出錯或混淆 “兩兩獨立”與“相互獨立”，直接認為 “三事件獨立”。
無法列出三事件的樣本空間，或錯誤認為 “C與A、B都相關”，無計算過程。
三事件相互獨立性的辨析
能得出 “雖然兩兩獨立，但三事件不相互獨立”，并理解 “兩兩獨立是相互獨立的必要不充分條件”。
能計算P(ABC)與P(A)P(B)P(C)的值相等，但不理解 “相互獨立” 與 “兩兩獨立” 的區別，需教師解釋概念差異。
認為 “兩兩獨立即三事件獨立”，或無法計算P(ABC)
對三事件積事件概率無計算思路，無法關聯獨立事件的概率乘法公式。
射擊例題的綜合計算
能正確解答例題：
能完成計算但部分步驟需提示
無法分解復雜事件，直接套用公式導致錯誤。
無法完成
數學語言的規范性表達
用 “相互獨立”“積事件概率”“對立事件” 等術語規范表達
能用術語表達但存在口誤或公式書寫遺漏
用生活語言描述（如 “兩個事件沒關系就是獨立”），缺乏數學術語，或無法準確使用符號
表達混亂，無法傳遞 “獨立性判斷” 的關鍵信息，如 “因為不影響，所以可以乘起來”。
結語
親愛的同學們，概率是命運的詩篇，數學是解讀它的語言，希望你們用理性之眼洞察偶然中的必然，在不確定性中發現永恒的美。

展開更多......

收起↑