資源簡介

3.2.1 《單調(diào)性與最大（?。?
第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過具體實(shí)例，經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程，能準(zhǔn)確說出單調(diào)遞增，單調(diào)遞減以及增函數(shù)、減函數(shù)的定義,發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
2.能用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性，并總結(jié)歸納出基本步驟,發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
情境導(dǎo)入
心理老師：“單調(diào)是多余、乏味、煩躁的意思?！?
語文老師：“單調(diào)是簡單的意思?！?
音樂老師：“單調(diào)是指一個調(diào)。”
美術(shù)老師：“單調(diào)是指色彩單一?！?
“單調(diào)”在數(shù)學(xué)中又是什么意思呢？
新知探究
問題1 我們知道，先畫出函數(shù)圖象，通過觀察和分析圖象的特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì)．觀察下圖中的各個函數(shù)圖象，你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎？
圖象從左到右保持遞增
圖象從左到右有增有減
圖象關(guān)于y軸對稱
單調(diào)性
奇偶性
定性:圖形語言
定量:符號語言
圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱
新知探究
下面我們將以f(x)=x2為例，進(jìn)一步來探究函數(shù)的單調(diào)性
問題2 請說出f(x)隨x是如何發(fā)生變化的？
思考1 請同學(xué)們思考如何運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述“在區(qū)間(－∞,0]上,????(????)隨著????的增大而減小”？
?
新知探究
新知探究
新知探究
問題3 函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)f(x)=-x2各有怎樣的單調(diào)性？
新知探究
作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象可知：
?
?
?
?
?
?
?
函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào) 的,在[0,+∞)上是單調(diào) 的 .
遞減
遞增
函數(shù)f(x)=-x2在區(qū)間(-∞,0]上是單調(diào)______的,在[0,+∞)上是單調(diào) 的 .
遞減
遞增
f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增
y軸右邊:[0,+∞)
定義域?yàn)镽
?x1，x2∈[0,+∞)
f(x)=x2
一般函數(shù)f(x)
類比
定義域?yàn)镈
區(qū)間I?D
?x1，x2∈I
f(x)在I上單調(diào)遞增
抽象概括：由特殊函數(shù)f(x)=x2到一般函數(shù)的單調(diào)性
新知探究
問題4 由這個結(jié)論你能嘗試寫出單調(diào)遞增的定義嗎?
一般的,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D
如果?x1，x2∈I,當(dāng)x1新知探究
思考2 函數(shù)y=f(x)在定義域的區(qū)間I上存在x1，x2滿足x1x1
x2
f(x2)
f(x1)
注意： ?x1，x2∈I，當(dāng)x1概念辨析
問題5 能否類比單調(diào)遞增的定義來得出單調(diào)遞減的定義？
一般的,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈,區(qū)間I?D
如果?x1，x2∈I,當(dāng)x1 如果?x1，x2∈I,當(dāng)x1f(x2),那么就稱函數(shù)在區(qū)間 I上單調(diào)遞減.
單調(diào)性的定義
?
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
定義
圖示
?x1，x2∈I, 當(dāng)x1f(x2),
則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,
區(qū)間I為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
注：①當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增(減)時，則稱f(x)是增(減)函數(shù).
單調(diào)性是局部性質(zhì)
②若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增(減)，則稱f(x)在區(qū)間I具有嚴(yán)格的單調(diào)性.
常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性.
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，
?x1，x2∈I, 當(dāng)x1則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,
區(qū)間I為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
概念生成
?
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
定義
圖示
?x1，x2∈I, 當(dāng)x1f(x2),
則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減,
區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
②若f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，則稱f(x)在區(qū)間I具有嚴(yán)格的單調(diào)性.
常數(shù)函數(shù)不具有嚴(yán)格的單調(diào)性.
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D，
?x1，x2∈I, 當(dāng)x1則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增,
區(qū)間D為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
注：①當(dāng)函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增(減)時，則稱f(x)是增(減)函數(shù).
????????2?????????1????2?????1>0
?
????????2?????????1????2?????1<0
?
單調(diào)性的定義
單調(diào)性是局部性質(zhì)
概念生成
追問1 設(shè)A是區(qū)間I上某些自變量的值組成的集合，而且?x1, x2∈A，當(dāng)x1< x2時，都有f(x1)f(x)=|x|
概念辨析
追問2 函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，你能舉出在整個定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)某些區(qū)間上單調(diào)遞增但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎？
新知探究
追問3 函數(shù)????=????2是增函數(shù)嗎？是減函數(shù)嗎？
?
x
y
0
既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)
概念辨析
注意：增函數(shù)、減函數(shù)是針對的是函數(shù)的整個定義域，是函數(shù)的整體性質(zhì)，而函數(shù)的單調(diào)性是對定義域下的某個區(qū)間，是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個函數(shù)在定義域下的某個區(qū)間具有單調(diào)性，但在整個定義域上不一定具有單調(diào)性。
追問4 定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是？函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是？
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是：
[-2,1]和[3,5]
注意:一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或兩個以上的單調(diào)區(qū)間時,不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“,”連接
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：
[-5,-2]和[1,3]
概念辨析
新知探究
小試牛刀 反比例函數(shù)f(x)=1????是減函數(shù)嗎？我們該怎么描述它的單調(diào)性？
?
先畫圖
·
·
分段描述！
_____________
？
和
例1 根據(jù)定義，研究函數(shù)f (x)=kx +b(k≠0)的單調(diào)性.
定號
作差，變形
結(jié)論
取值
典例解析
在初中，我們利用函數(shù)圖象得到了上述結(jié)論， 這里用嚴(yán)格的推理運(yùn)算得到了函數(shù) f（x）＝k x＋b的單調(diào)性．
用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:
(1)取值：設(shè)x1，x2是某個區(qū)間上任意兩個值，且x1＜ x2;
(2)作差、變形：作差f(x1)-f(x2)，向有利于判斷差的符號的方向變形，一般化為積或商的形式 ;
(3)定號：確定 f(x1)-f(x2)的符號；
(4)結(jié)論：確定函數(shù)的增減性.
方法小結(jié)
典例解析
例2 物理學(xué)中的玻意耳定律 告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強(qiáng)p將增大,試用函數(shù)單調(diào)性證明之.
追問1 “體積減少時，壓強(qiáng)增大”的數(shù)學(xué)意義是什么？
且 ，有：
證明：
?
?
由 得 ；由 得
?
?
?
?
又 ，所以 即
?
?
?
所以函數(shù) 是減函數(shù).問題得證.
?
典例解析
例3 根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+1???? 在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.
?
證明：
函數(shù)的
單調(diào)性
核心知識
方法總結(jié)
易錯提醒
核心素養(yǎng)
用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:
(1)取值：設(shè)x1，x2是某個區(qū)間上任意兩個值，且x1＜ x2;
(2)作差、變形：作差f(x1)-f(x2)，向有利于判斷差的符號的方向變形，一般化為積或商的形式 ;
(3)定號：確定 f(x1)-f(x2)的符號；
(4)結(jié)論：確定函數(shù)的增減性.
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)區(qū)間
圖象
單調(diào)性的判斷
（1）單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集
（2）若函數(shù)f(x)在其定義城內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增函數(shù)(或減函數(shù))。一般不能簡單認(rèn)為f(x)在A∪B上是增函數(shù)
（3）函數(shù)單調(diào)區(qū)間的書寫若在區(qū)間端點(diǎn)處有定義，則寫成開區(qū)間或閉區(qū)間都可
數(shù)學(xué)抽象：通過具體函數(shù)圖象抽象出定義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)
邏輯推理：通過具體函數(shù)單調(diào)性的證明，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)
課堂小結(jié)
課后作業(yè)
課本85頁的1.2.3.8題
能力提升：單調(diào)性的應(yīng)用
能力提升：利用單調(diào)性解不等式
A. 13,+∞ B. ?∞,13 C. 13,1 D. ?1,13
?
例題1 已知函數(shù) f(x)對任意 ????1,????2∈????,都有 ，且f(2-2m)>f(1+m),則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是( )
?
例題2 已知 f(x) 是定義在 [?1,1] 上的增函數(shù)，且 f(x-2)?
“多功能”函數(shù)
自我評價
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}
掌握較好
還需進(jìn)一步深化理解
仍有疑惑
疑惑點(diǎn)
函數(shù)單調(diào)性的定義
用定義法證明單調(diào)性

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