資源簡介

(共40張PPT)
1.5.2 有理數的除法
第1章 有理數
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
1.5.2 有理數的除法
幻燈片 1：封面
標題5.2 有理數的除法
副標題：乘法的逆運算探索
幻燈片 2：引入
我們已經學習了有理數的乘法，那么乘法的逆運算 —— 除法該如何進行呢？比如，6÷2 可以理解為求一個數，使得這個數乘以 2 等于 6，結果是 3。這是正數的除法。但如果是 - 6÷2，或者 6÷(-2)，甚至是 - 6÷(-2)，結果又會是什么呢？在生活中，也有這樣的場景，比如將 - 8 元的債務平均分給 2 個人，每人承擔多少債務？這就需要用到有理數的除法。今天，我們就來學習有理數的除法運算，探究它的法則和計算方法。
幻燈片 3：有理數除法的意義
除法的本質：除法是乘法的逆運算，即已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。
示例：
對于 8÷2，就是求一個數\(x\)，使得\(x×2 = 8\)，由乘法知識可知\(x = 4\)，所以 8÷2 = 4。
對于 (-8)÷2，是求一個數\(x\)，使得\(x×2 = -8\)，因為\((-4)×2 = -8\)，所以 (-8)÷2 = -4。
對于 8÷(-2)，是求一個數\(x\)，使得\(x×(-2) = 8\)，因為\((-4)×(-2) = 8\)，所以 8÷(-2) = -4。
對于 (-8)÷(-2)，是求一個數\(x\)，使得\(x×(-2) = -8\)，因為\(4×(-2) = -8\)，所以 (-8)÷(-2) = 4。
幻燈片 4：有理數除法法則
法則一：除以一個不等于 0 的數，等于乘這個數的倒數。用字母表示為：\(a÷b = a×\frac{1}{b}\)（\(b≠0\)）。
示例：\(6÷(-3) = 6×(-\frac{1}{3}) = -2\)；\((-12)÷(-4) = (-12)×(-\frac{1}{4}) = 3\)。
法則二：兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0 除以任何一個不等于 0 的數，都得 0。
示例：
同號相除：\((-15)÷(-5) = +(15÷5) = 3\)；\(24÷6 = +(24÷6) = 4\)。
異號相除：\((-21)÷3 = -(21÷3) = -7\)；\(36÷(-9) = -(36÷9) = -4\)。
0 參與除法：\(0÷(-8) = 0\)；\(0÷5 = 0\)（注意：0 不能作除數）。
說明：法則一體現了除法與乘法的轉化關系（通過倒數），法則二直接給出了符號和絕對值的計算方法，兩者本質一致，可根據情況選擇使用。
幻燈片 5：有理數除法與倒數的關系
核心聯系：除法法則一明確了除以一個數（非 0）等于乘這個數的倒數，這是將除法轉化為乘法的關鍵。
倒數的應用：在進行除法運算時，先找到除數的倒數，再按照乘法法則計算。
示例：計算\((-\frac{3}{4})÷(-\frac{2}{3})\)，除數\(-\frac{2}{3}\)的倒數是\(-\frac{3}{2}\)，所以\((-\frac{3}{4})÷(-\frac{2}{3}) = (-\frac{3}{4})×(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{8}\)。
注意：0 沒有倒數，所以 0 不能作除數，這是除法運算中必須遵守的規則。
幻燈片 6：有理數除法運算步驟
示例：計算\((-24)÷(-6)\)
方法一（用法則二）：
判斷符號：被除數和除數都是負數，同號，所以商為正。
計算絕對值相除：\(24÷6 = 4\)。
得出結果：\((-24)÷(-6) = 4\)。
方法二（用法則一）：
轉化為乘法：\((-24)÷(-6) = (-24)×(-\frac{1}{6})\)。
按乘法法則計算：同號得正，\(24×\frac{1}{6} = 4\)，結果為 4。
總結步驟：
確定符號（同號得正，異號得負）。
計算絕對值（相除或轉化為乘法后相乘）。
結合符號和絕對值結果，得到最終答案。
幻燈片 7：分數形式的除法
有理數的除法可以表示為分數形式，被除數作為分子，除數作為分母，即\(a÷b = \frac{a}{b}\)（\(b≠0\)）。
化簡分數：分數的分子、分母同時乘以或除以同一個不為 0 的數，分數的值不變，利用這一性質可以化簡分數形式的除法結果。
示例：\(\frac{-12}{3} = -4\)（分子分母異號，結果為負，絕對值 12÷3 = 4）；\(\frac{-18}{-6} = 3\)（分子分母同號，結果為正，絕對值 18÷6 = 3）。
符號法則：分數的符號可以放在分子、分母或分數本身前面，即\(\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\)（\(b≠0\)）。
示例：\(\frac{-5}{2} = \frac{5}{-2} = -\frac{5}{2}\)。
幻燈片 8：例題講解
例 1：計算 (1) \((-18)÷6\)；(2) \((-\frac{3}{5})÷(-\frac{3}{2})\)；(3) \(0÷(-9)\)；(4) \((-2.5)÷0.5\)
解：
(1) \((-18)÷6\)，異號得負，\(18÷6 = 3\)，所以結果為 - 3。
(2) \((-\frac{3}{5})÷(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{5})×(-\frac{2}{3}) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)（轉化為乘法，約分計算）。
(3) \(0÷(-9) = 0\)（0 除以任何非 0 數都得 0）。
(4) \((-2.5)÷0.5 = - (2.5÷0.5) = -5\)（異號得負，絕對值相除）。
例 2：某商店 5 天內的利潤為 - 300 元，平均每天的利潤是多少元？
分析：平均每天利潤 = 總利潤 ÷ 天數，總利潤是 - 300 元，天數是 5 天。
解：\(-300÷5 = -60\)（元）
答：平均每天的利潤是 - 60 元，即平均每天虧損 60 元。
幻燈片 9：易錯點辨析
錯誤一：0 作除數。例如，計算 5÷0，這是錯誤的，因為 0 不能作除數，這樣的式子無意義。
錯誤二：符號判斷錯誤。例如，計算 (-10)÷(-2) 時，錯誤地得出 - 5，正確應為同號得正，結果是 5。
錯誤三：分數化簡時符號處理錯誤。例如，將\(\frac{-8}{-4}\)化簡為 - 2，正確應為同號得正，結果是 2。
錯誤四：小數除法轉化錯誤。例如，計算 (-1.2)÷0.3 時，忽略符號得出 4，正確應為異號得負，結果是 - 4。
幻燈片 10：課堂練習
選擇題：
計算\((-15)÷(-3)\)的結果是（ ）
A. -5 B. 5 C. -12 D. 12
下列計算正確的是（ ）
A. \(0÷(-5) = -5\) B. \((-6)÷6 = 1\) C. \((-12)÷(-3) = 4\) D. \(8÷(-2) = 4\)
填空題：
\((-24)÷4 =\)；\((-\frac{3}{4})÷\frac{1}{2} =\)；\(\frac{-28}{-7} =\)______。
若\(a÷(-3) = 4\)，則\(a =\)______。
解答題：
計算 (1) \((-\frac{5}{6})÷(-\frac{5}{3})\)；(2) \((-3.6)÷(-0.9)\)；(3) 已知兩個數的積是 - 18，其中一個數是 - 6，求另一個數。
幻燈片 11：課堂總結
有理數除法法則：除以一個非 0 數等于乘它的倒數；兩數相除同號得正、異號得負，絕對值相除；0 除以非 0 數得 0。
運算關鍵：確定符號，轉化為乘法（或直接算絕對值相除），注意 0 不能作除數。
分數形式的除法可利用符號法則化簡，分子分母同號結果為正，異號為負。
有理數除法是乘法的逆運算，掌握除法運算能解決平均分、求單位量等實際問題，為后續學習有理數混合運算打下基礎，計算時要細心處理符號和絕對值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.掌握有理數的除法法則，能將有理數的除法轉化為乘法，能熟練進行有理數的除法運算，提高運算能力.
2.理解有理數的倒數的意義，會求一個非0有理數的倒數.
你能很快說出下列算式的結果嗎？
乘法 除法
2×3=6 6÷2=
6÷3=
0×3=0 0÷3=
3
2
0
在小學，我們就知道除法是乘法的逆運算，
即 a÷b=a× (b≠0 )
那它在有理數的運算中也滿足嗎？
課堂導入
我們知道 2 × 3 = 6， 因此
6 ÷ 3 = 2. ①
那么如何計算(-6)÷ 3,6 ÷(-3),(-6)÷(-3)呢？
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
思考
由于 （-2）×3 = -6 ，
因此， （-6）÷3 = -2 . ②
類似地，由于（-2）×（-3）= 6 ，
由于 2 ×（-3） = -6 ，
因此， 6÷（- 3）= -2 ， ③
因此， （-6）÷（-3）= 2 . ④
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
對于兩個有理數a，b，其中 b不為0，如果有一個有理數c，使得 c b = a，那么規定 a ÷ b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商.
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
抽象
（-6）÷（-3）= 2 . ④
6 ÷ 3 = 2. ①
同號兩數相除得正數，并把它們絕對值相除
（-6）÷3 = -2 . ②
6÷（- 3）= -2 ， ③
異號兩數相除得負數，并把它們絕對值相除
0÷（- 3）= 0.
0除以任何不等于0的數都得0
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，并把它們的絕對值相除；
0除以任何一個不等于0的數都得0.
（+）÷（+）→（+）
（-）÷（-）→（+）
（-）÷（+）→（-）
（+）÷（-）→（-）
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
有理數的除法法則（一）：
例1 計算：
（1）（-24）÷4 ； （2）（-18）÷（-9）；
（3） 10 ÷（-5）； （4） 0 ÷（-10）.
（1）（-24）÷4 = -(24÷4) = -6 .
（2）（-18）÷（-9）= 18÷9= 2 .
（3） 10 ÷（-5）= -（10÷5）= -2 .
解
（4） 0÷（-10）= 0 .
先定符號；
再算絕對值.
新知探究
知識點1 有理數的除法法則（一）
若兩個有理數的乘積等于 1，則把其中一個數叫作另一個數的倒數，也稱它們互為倒數.
0 沒有倒數
原數 5 2 0 -1
倒數
說出下列各數的倒數：
無
新知探究
知識點2 倒數
1的倒數為________; －1的倒數為________;
的倒數為________; 的倒數為________;
0.25的倒數為________; 0的倒數________;
的倒數為________.
1
－1
3
4
不存在
總結：
1.求小數的倒數，先把小數化成分數，再求其倒數；
2.求帶分數的倒數，先把帶分數化成假分數，再求其倒數；
3. 0沒有倒數. 倒數等于它本身的數是±1.
新知探究
知識點2 倒數
例2 填空：
分別計算 10÷(-5)與10×(- )，它們的結果相等嗎？
(-10) ÷(-5) 與(-10)×(- )的結果呢？
－2
－2
2
2
相等
相等
新知探究
做一做
知識點3 有理數的除法法則（二）
⑤式表明，10 除以-5 等于10 乘-5 的倒數；
⑤
⑥
⑥式表明，-10 除以-5 等于-10 乘-5 的倒數.
新知探究
知識點3 有理數的除法法則（二）
一般地，有
除以一個不等于0的數等于乘這個數的倒數.
也可以表示成
除法變乘法
互為倒數
新知探究
知識點3 有理數的除法法則（二）
有理數的除法法則（二）：
例3 計算：
（1） ； （2） ；
（3） .
解
新知探究
知識點3 有理數的除法法則（二）
【課本P38 練習 第1題】
1. 計算：
（1）14÷(-7)； （2）(-36)÷(-3)；
（3）0÷(-0.618)； （4）(-48)÷12.
（4） （-48）÷ 12 = -（48÷12）= -4 .
（3） 0÷（-0.618）= 0 .
（1） 14÷(-7)= -(14÷7) = -2 .
（2）（-36）÷（-3）= 36÷3= 12 .
解
隨堂練習
2.填空：
（1）因為 × = 1，所以 的倒數是 ；
（2） 的倒數是 ；-3 的倒數是 .
-6
-6
【課本P38 練習 第2題】
隨堂練習
3. 計算：
（1） (-36)÷(-0.6) ； （2） ；
（3） ； （4） .
【課本P38 練習 第3題】
(1) (-36)÷(-0.6)＝36÷0.6＝ 60.
解：
隨堂練習
.
.
.
4. 已知 a，b，c 是有理數，當 a+b+c=0 ，abc<0 時，
的值為（ ）
A. 1 或 -3
B. 1 或 -1 或 -3
C. -1 或 3
D. 1 或 -1 或 3 或 -3
A
隨堂練習
5.已知 a 與 b互為相反數，c與 d 互為倒數，m 的絕對值為6，求 的值.
解：由題意，得
因為a + b=0 ，cd =1 ，|m|=6，
總結:解題關鍵是先根據題意得出a+b=0，cd=1及|m|=6，再代入所求式子進行計算求值.
隨堂練習
.
知識點1 有理數乘法的運算律
1. 利用運算律有時能進行簡便計算，例如：
，則該式應用了
( )
C
A.乘法交換律 B.乘法結合律
C.乘法交換律和乘法結合律 D.乘法對加法的分配律
2.計算： ( )
D
A. B. C. D.
3.在橫線上寫出所運用的運算律.
（1）
____________；
乘法結合律
（2）
____________________.
乘法對加法的分配律
4.小陽在做一道計算題：- 時，不小心將一滴墨水滴在了本子
上，蓋住了其中一個數，導致他無法計算，在求助老師時，老師告訴他：
“被蓋住的數是4，7，10，11其中的一個，并且這道題直接用乘法結合
律來計算會非常簡便”，則被蓋住的數是___.
7
5.（16分）計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
（4） .
解：原式 .
知識點2 多個有理數相乘
6.下列各式中，積為負數的是( )
D
A. B.
C. D.
7.［教材P35“練習”第3題變式］寫出下列各題結果的符號：
（1） 的積的符號為____；
（2） 的積的符號為____.
正
負
8.計算： ___.
0
9.（4分）計算： .
解： .
10. 觀察下圖，它的計算過程可以解釋的運算規律是
( )
D
A.加法交換律 B.乘法結合律
C.乘法交換律 D.乘法對加法的分配律
11.若，則 可以表示為( )
B
A. B. C. D.
12.如圖，小明有5張寫著以下數的卡片，從中取出3張卡片，把這3張卡
片上的數相乘，最大的積是_____.
125
13.（12分）用簡便方法計算：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
14.（6分） 小華是一個愛思考的七年級學生：在一次
計算時他發現，， ，通過歸
納推理，他得到了一個很有用的公式，這類運算變得簡單了.請你通過
歸納推理完成下面的問題.
（1）用你發現的規律表示： __________；
（2）計算： .
解： .
有理數的
除法
法則（一）
同號兩數相除得正數，異號兩數相除得負數，并把它們的絕對值相除.
除以一個不等于0的數等于乘這個數的倒數.
0除以任何一個不等于0的數都得0.
課堂小結
法則（二）
謝謝觀看！

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