資源簡介

(共42張PPT)
1.5.3 有理數的乘除
第1章 有理數
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
1.5.3 有理數的乘除
幻燈片 1：封面
標題：1.5.3 有理數的乘除
副標題：乘除交織的運算規律
幻燈片 2：引入
我們已經分別學習了有理數的乘法和除法，在實際運算中，常常會遇到既有乘法又有除法的混合運算。比如，計算\((-8)×3÷(-4)\)，這樣的式子該如何計算呢？是先算乘法還是先算除法？運算符號又該如何處理？今天，我們就來學習有理數的乘除混合運算，掌握其中的運算順序和技巧，解決這類復雜的運算問題。
幻燈片 3：有理數乘除混合運算的順序
同級運算順序：有理數的乘法和除法屬于同級運算，在沒有括號的情況下，要從左到右依次進行計算。
示例：
計算\((-12)÷(-3)×2\)，應先算除法：\((-12)÷(-3)=4\)，再算乘法：\(4×2 = 8\)，而不能先算\((-3)×2=-6\)，再算\((-12)÷(-6)=2\)，那樣就會得到錯誤結果。
計算\(6×(-2)÷(-3)\)，先算乘法：\(6×(-2)=-12\)，再算除法：\(-12÷(-3)=4\)。
含括號的運算順序：有括號的要先算括號里面的，再算括號外面的。
示例：計算\((-8)÷[(-2)×4]\)，先算括號里的乘法：\((-2)×4=-8\)，再算括號外的除法：\((-8)÷(-8)=1\)。
幻燈片 4：有理數乘除混合運算的符號法則
多個非 0 數乘除：在有理數乘除混合運算中，積或商的符號由負因數（或負除數）的個數決定。當負因數（或負除數）的個數為奇數時，結果為負；當負因數（或負除數）的個數為偶數時，結果為正。
示例：
計算\((-2)×(-3)÷(-4)\)，負因數和負除數的個數是 2 個（乘法中的 - 2、-3 和除法中的 - 4，共 3 個負數？這里重新算：式子中有 - 2、-3、-4 三個負數，個數為奇數，所以結果為負。計算絕對值：\(2×3÷4 = 6÷4=\frac{3}{2}\)，所以結果為\(-\frac{3}{2}\)。
計算\((-5)÷(-1)×(-2)÷(-3)\)，負數的個數是 4 個（偶數），結果為正。計算絕對值：\(5÷1×2÷3 = 10÷3=\frac{10}{3}\)，所以結果為\(\frac{10}{3}\)。
含 0 的運算：若乘除混合運算中含有 0，且 0 在被除數位置（即 0 參與除法時作為被除數），則結果為 0；若 0 在除數位置，則式子無意義。
示例：\(0×(-5)÷3 = 0\)；\(5÷0×2\)無意義。
幻燈片 5：將除法轉化為乘法簡化運算
轉化方法：根據除法法則，除以一個數等于乘這個數的倒數，因此在乘除混合運算中，可以先將所有的除法轉化為乘法，再按照乘法法則進行計算，這樣便于運用乘法交換律和結合律簡化運算。
示例：計算\((-\frac{3}{4})÷(-\frac{5}{6})×(-\frac{2}{3})\)
轉化為乘法：\((-\frac{3}{4})×(-\frac{6}{5})×(-\frac{2}{3})\)
確定符號：有 3 個負數，結果為負。
計算絕對值：\(\frac{3}{4}×\frac{6}{5}×\frac{2}{3}=\frac{3×6×2}{4×5×3}=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}\)
結果：\(-\frac{3}{5}\)
優勢：轉化為乘法后，可通過約分等方式簡化計算過程，減少計算量。
幻燈片 6：乘除混合運算中的運算律應用
乘法交換律和結合律：在將除法轉化為乘法后，可以運用乘法交換律和結合律，將便于計算的數結合在一起先算。
示例：計算\((-8)×(-3)÷(-4)×\frac{1}{3}\)
轉化為乘法：\((-8)×(-3)×(-\frac{1}{4})×\frac{1}{3}\)
交換結合：\([(-8)×(-\frac{1}{4})]×[(-3)×\frac{1}{3}] = 2×(-1) = -2\)
示例：計算\(\frac{1}{2}÷(-\frac{2}{3})×(-\frac{3}{4})\)
轉化為乘法：\(\frac{1}{2}×(-\frac{3}{2})×(-\frac{3}{4})\)
結合計算：\(\frac{1}{2}×[(-\frac{3}{2})×(-\frac{3}{4})] = \frac{1}{2}×\frac{9}{8}=\frac{9}{16}\)
幻燈片 7：例題講解
例 1：計算 (1) \((-15)÷(-3)×(-2)\)；(2) \((-\frac{1}{4})×(-8)÷(-2)\)；(3) \((-24)÷[(-3)×(-2)×(-4)]\)
解：
(1) \((-15)÷(-3)×(-2) = 5×(-2) = -10\)（先算除法，再算乘法）。
(2) \((-\frac{1}{4})×(-8)÷(-2) = 2÷(-2) = -1\)（先算乘法，再算除法）。
(3) 先算括號里的：\((-3)×(-2)×(-4)=6×(-4)=-24\)，再算括號外：\((-24)÷(-24)=1\)。
例 2：計算\((-\frac{3}{5})÷(-\frac{3}{2})×(-\frac{5}{6})\)
解：轉化為乘法：\((-\frac{3}{5})×(-\frac{2}{3})×(-\frac{5}{6})\)
約分計算：\([(-\frac{3}{5})×(-\frac{2}{3})]×(-\frac{5}{6}) = \frac{2}{5}×(-\frac{5}{6})=-\frac{1}{3}\)
例 3：某工廠生產一批零件，每小時生產 - 5 個（表示每小時虧損 5 個零件），生產了 2 小時后，又以每小時 10 個的速度生產了 3 小時，求這 5 小時內共生產了多少個零件？
分析：總生產零件數 = 前 2 小時生產數 + 后 3 小時生產數，每小時生產數 × 時間 = 該時間段生產數。
解：前 2 小時生產數：\((-5)×2 = -10\)（個）；后 3 小時生產數：\(10×3 = 30\)（個）；總生產數：\(-10 + 30 = 20\)（個）。
答：這 5 小時內共生產了 20 個零件。
幻燈片 8：易錯點辨析
錯誤一：運算順序錯誤，不是從左到右依次計算。例如，計算\(8÷(-2)×(-4)\)時，錯誤地先算\((-2)×(-4)=8\)，再算\(8÷8 = 1\)，正確應先算\(8÷(-2)=-4\)，再算\(-4×(-4)=16\)。
錯誤二：符號判斷錯誤，忽略負因數（或負除數）的個數。例如，計算\((-2)×(-3)÷(-6)\)時，錯誤地得出 1，實際有 3 個負數（奇數），結果應為負，正確結果是\(-1\)。
錯誤三：轉化除法為乘法時，忘記將除數變為倒數。例如，計算\((-3)÷(-\frac{1}{2})×2\)時，錯誤地寫成\((-3)×(-\frac{1}{2})×2\)，正確應轉化為\((-3)×(-2)×2 = 12\)。
幻燈片 9：課堂練習
選擇題：
計算\((-6)÷(-2)×(-\frac{1}{3})\)的結果是（ ）
A. 1 B. -1 C. 3 D. -3
下列計算正確的是（ ）
A. \((-4)×(-5)÷(-2) = 10\) B. \((-8)÷2×(-4) = 16\)
C. \((-3)÷(-3)×3 = -3\) D. \(6÷(-3)×(-\frac{1}{3}) = -6\)
填空題：
\((-18)÷(-3)×2 =\)；\((-\frac{1}{2})×(-4)÷(-\frac{1}{3}) =\)。
計算\((-2)×(-5)÷(-\frac{1}{2}) =\)______。
解答題：
計算 (1) \((-\frac{3}{4})×(-\frac{8}{9})÷(-\frac{2}{3})\)；(2) \((-16)÷[(-4)×2]÷(-1)\)；(3) 一艘潛水艇從海拔 - 50 米處先下潛 20 米，再上升 30 米，最后又下潛 10 米，求此時潛水艇的海拔高度。
幻燈片 10：課堂總結
有理數乘除混合運算順序：沒有括號時從左到右依次計算；有括號時先算括號里面的。
符號法則：由負因數（或負除數）的個數決定，奇數個為負，偶數個為正；含 0 且 0 為被除數時結果為 0，0 為除數時無意義。
簡化技巧：將除法轉化為乘法，再運用乘法交換律和結合律簡化計算，注意約分。
有理數的乘除混合運算在實際生活中有著廣泛應用，如計算產量變化、海拔變化等。掌握運算順序和符號法則是正確計算的關鍵，要避免運算順序錯誤和符號判斷錯誤，通過多練習提高運算的準確性和速度。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
學習目標
1.能熟練地進行有理數的乘除混合運算，提高運算能力.
2.能運用有理數的乘法和除法解決簡單的實際問題.
填空：
同號兩數相除得_____，異號兩數相除得_____，并把它們的_______相除；
0除以任何一個_________的數都得0；
除以一個不等于0的數等于乘這個數的______.
正數
負數
絕對值
不等于0
倒數
課堂導入
在只有有理數的乘法和除法運算時，如果沒有括號，則按照從左到右的順序依次計算，并可以把除法轉化為乘法，然后再按照乘法法則進行計算；如果有括號，就先做括號內的運算.
(6×7+10)+18÷3=_____
58
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
(1) (-5)×6÷(-3) ；
例1 計算：
(2) (-56) ÷(-2)÷(-8) .
解：(1) (-5)×6÷(-3)
＝(-30) ÷(-3)
＝10 .
(2) (-56) ÷(-2)÷(-8)
＝28÷(-8)
＝- .
按照從左到右的順序依次計算
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
例2 計算：
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
解：(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]＝(-10)÷10
＝-1 .
(2) (-24)÷×(-) ＝ (-24)×(-)
＝8 .
有括號，先算括號內的.
除法可以轉化成乘法，再計算.
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
(3) (-)÷(-) ÷(-)
＝(-)×(-) ×(-)
＝-(××)
＝- .
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
例2 計算：
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
(4) (-)×(-)÷ ×(-)
＝(-)×(-)× ×(-)
＝-(×××)
＝- .
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
例2 計算：
有理數的乘除混合運算往往先把除法轉化為乘法，然后確定積的符號，最后可以利用乘法運算律簡化運算.
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
下面是小楠同學做的一道計算題，他的計算是否正確？如果不正確，說說他錯在哪里.
不正確，應該依次計算
新知探究
知識點 有理數的乘除混合運算
議一議
【課本P40 練習 第1題】
1. 計算：
（1）24÷(-3)÷(-4) ； （2）(-6)÷(-2)÷3；
（3）2÷(-7)×(-4)； （4） 18÷6×(-2).
解：
（1）24÷(-3)÷(-4)= -8 ÷(-4)= 2 .
（2）(-6)÷(-2)÷3 = 3÷3 = 1 .
（3）2÷(-7)×(-4) = ×(-4) = .
（4）18 ÷6×(-2) = 3×(-2)= -6 .
隨堂練習
2.計算：
【課本P40 練習 第2題】
隨堂練習
.
.
.
2.計算：
隨堂練習
【課本P40 練習 第2題】
.
3. 計算：
隨堂練習
思路引導：
.
3. 計算：
解：原式的值的倒數為
所以原式的值為 .
隨堂練習
.
.
4. 科學研究發現，一般情況下，海拔每增加 1 km，氣溫大約降低 6 ℃. 某登山運動員在攀登某山峰的途中發出信息，報告他所在位置的氣溫為 －15 ℃，如果當時山腳氣溫為 3 ℃，那么此時該登山運動員所在位置比山腳高多少千米？
解： (-15-3)÷(-6)
= (-18)÷(-6)
= 3( km ).
答：此時該登山運動員所在位置比山腳高 3 km.
隨堂練習
知識點1 有理數的除法法則
1.計算 的結果等于( )
A
A.3 B. C.2 D.
2.下列計算錯誤的是( )
B
A. B.
C. D.
3.如果 的商是負數，那么( )
A
A.，異號 B.，同為正數 C.，同為負數 D.， 同號
4.兩個非零有理數的商是 ，則它們的和為___.
0
5.（16分）計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
知識點2 倒數
6.［2024宿遷中考］6的倒數是( )
D
A.6 B. C. D.
7.［2024包頭中考改編］若,互為倒數，且滿足，則 的
值為( )
C
A. B. C.2 D.4
8.一個數的倒數等于這個數本身，這個數是_______.
1或
9.（20分）求下列各數的倒數：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3）0.125；
解：8
（4） ；
解： .
（5） .
解： .
知識點3 利用倒數將除法運算轉化為乘法運算
10.計算 時，除法變為乘法正確的是( )
D
A. B. C. D.
11.（16分）計算：
（1） ；
[答案] 原式 .
（2） ；
[答案] 原式 .
（3） ；
[答案] 原式 .
（4） .
[答案] 原式 .
12.［2025石家莊期中］某同學在計算時，誤將“ ”看成“ ”，
得到的結果是，則 的正確結果是( )
B
A.2 B. C. D.
13.如圖，在數軸上點，對應的有理數分別為， ，則下列結論：
；；； .其中正確的有( )
B
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
14.下面是小胡同學做過的一道題目，請先閱讀解題過程，然后回答所
提出的問題.
（1）上述解題過程中，從第____步開始出錯（填序號），錯因是
___________________________；
（2）正確的結果是___.
①
沒有按從左到右的順序計算
15. 如圖，現有5張寫著不同數字的卡片，請你從中取出2張卡片，
則這2張卡片上數字的商最小是____.
16.已知，，則 的值為_______.
6或
17.（8分）計算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
18.（4分） 若規定： ，例如：
，試求 的值.
解： .
.
所以的值為 .
19.（4分） 比較兩個同號的有理數和 的大小，可以
按照如下方法進行：
若，，且，則 ；
若，，且，則 .
以上這種比較大小的方法叫作作商比較法.
試用作商比較法比較與 的大小.
解：，即 ，因
為， ，
所以 .
有理數的乘除
有括號
無括號
注意
先做括號內的運算
方法1：從左到右依次計算
方法2：將除法轉化為乘法，
再按照乘法法則進行計算.
結果的符號和運算順序
課堂小結
謝謝觀看！

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