資源簡介

(共40張PPT)
1.7 有理數的混合運算
第1章 有理數
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
1.7 有理數的混合運算
幻燈片 1：封面
標題：1.7 有理數的混合運算
副標題：多種運算的有序融合
幻燈片 2：引入
在前幾節的學習中，我們分別掌握了有理數的加、減、乘、除、乘方運算。但在實際問題中，往往需要將這些運算結合起來進行計算。例如，計算\(3 + 2×(-5)\)，這里既有加法又有乘法，該先算什么呢？又如，\((-2)^3÷4 + (-1)^2\)，涉及乘方、除法和加法，運算順序又該如何確定？今天，我們就來學習有理數的混合運算，明確不同運算的先后順序，掌握混合運算的方法和技巧。
幻燈片 3：有理數混合運算的順序
基本順序：有理數的混合運算，要先算乘方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，要先算括號里面的。
分級說明：
第一級運算：加法和減法。
第二級運算：乘法和除法。
第三級運算：乘方。
運算順序是從高級到低級，即先算第三級運算，再算第二級運算，最后算第一級運算。
示例：計算\(10 - 2^3×5\)
先算乘方：\(2^3 = 8\)
再算乘法：\(8×5 = 40\)
最后算減法：\(10 - 40 = -30\)
幻燈片 4：含括號的混合運算順序
括號的種類及優先級：
先算小括號（）里面的。
再算中括號 [] 里面的。
最后算大括號 {} 里面的。
示例：計算\([(-3)^2 - 5]÷(-2)\)
先算小括號里的乘方：\((-3)^2 = 9\)
再算小括號里的減法：\(9 - 5 = 4\)
最后算括號外的除法：\(4÷(-2) = -2\)
示例：計算\(\{2 - [(-1)^3 + 4]\}×(-5)\)
先算大括號內的小括號：\((-1)^3 = -1\)，\(-1 + 4 = 3\)
再算中括號：\(2 - 3 = -1\)
最后算大括號外的乘法：\(-1×(-5) = 5\)
幻燈片 5：運用運算律簡化計算
加法交換律和結合律：在進行加減運算時，可以交換加數的位置，將互為相反數、和為整數的數結合在一起。
示例：計算\((-5) + 3 + 5 + (-2)\)
運用交換律和結合律：\([(-5) + 5] + [3 + (-2)] = 0 + 1 = 1\)
乘法交換律、結合律和分配律：在乘除運算中，可交換因數位置，將便于約分的數結合；在有括號的乘法與加法混合運算中，可運用分配律簡化。
示例：計算\((-4)×(-\frac{1}{2})×(-3)\)
運用結合律：\([(-4)×(-\frac{1}{2})]×(-3) = 2×(-3) = -6\)
示例：計算\((-12)×(\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6})\)
運用分配律：\((-12)×\frac{1}{3} + (-12)×(-\frac{1}{4}) + (-12)×\frac{1}{6} = -4 + 3 - 2 = -3\)
幻燈片 6：混合運算的步驟
示例：計算\((-2)^4÷(-8) - (-3)×(-2)\)
步驟一：算乘方：\((-2)^4 = 16\)
步驟二：算乘除：\(16÷(-8) = -2\)；\((-3)×(-2) = 6\)
步驟三：算加減：\(-2 - 6 = -8\)
總結步驟：
先處理所有的乘方運算，得到相應的結果。
按照從左到右的順序，進行乘除運算。
最后按照從左到右的順序，進行加減運算。
若有括號，先完成括號內的運算，括號內也遵循上述順序。
幻燈片 7：例題講解
例 1：計算\(3 + 50÷2^2×(-\frac{1}{5}) - 1\)
解：
先算乘方：\(2^2 = 4\)
再算乘除：\(50÷4 = \frac{25}{2}\)；\(\frac{25}{2}×(-\frac{1}{5}) = -\frac{5}{2}\)
最后算加減：\(3 - \frac{5}{2} - 1 = (3 - 1) - \frac{5}{2} = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}\)
例 2：計算\((-3)^2 - (1\frac{1}{2})^3×\frac{2}{9} - 6÷|-\frac{2}{3}|\)
解：
算乘方和絕對值：\((-3)^2 = 9\)；\((1\frac{1}{2})^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}\)；\(|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\)
算乘除：\(\frac{27}{8}×\frac{2}{9} = \frac{3}{4}\)；\(6÷\frac{2}{3} = 6×\frac{3}{2} = 9\)
算加減：\(9 - \frac{3}{4} - 9 = (9 - 9) - \frac{3}{4} = -\frac{3}{4}\)
例 3：某超市一周內的收支情況如下（收入為正）：+520 元、-270 元、+300 元、-150 元、-280 元、+430 元、+190 元，求該超市這一周的總收支情況。
分析：總收支 = 各項收支相加。
解：\(520 - 270 + 300 - 150 - 280 + 430 + 190\)
運用加法交換律和結合律：\((520 + 300 + 430 + 190) + (-270 - 150 - 280) = 1440 - 700 = 740\)（元）
答：該超市這一周總收入 740 元。
幻燈片 8：易錯點辨析
錯誤一：運算順序錯誤，先算加減后算乘除。例如，計算\(10 - 2×3\)時，錯誤地先算\(10 - 2 = 8\)，再算\(8×3 = 24\)，正確應為先算\(2×3 = 6\)，再算\(10 - 6 = 4\)。
錯誤二：乘方運算符號錯誤。例如，計算\((-2)^2\)時，錯誤地得出 - 4，正確應為\((-2)×(-2) = 4\)；計算\(-2^2\)時，錯誤地得出 4，正確應為\(-(2×2) = -4\)。
錯誤三：括號處理錯誤，忽略括號的優先級。例如，計算\(2×(3 + 4)\)時，錯誤地先算\(2×3 = 6\)，再算\(6 + 4 = 10\)，正確應為先算括號里的\(3 + 4 = 7\)，再算\(2×7 = 14\)。
錯誤四：運用運算律時符號出錯。例如，計算\(10 - (3 - 5)\)時，錯誤地去括號為\(10 - 3 - 5 = 2\)，正確應為\(10 - 3 + 5 = 12\)。
幻燈片 9：課堂練習
選擇題：
計算\(3 - 2×(-1)\)的結果是（ ）
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
計算\((-1)^4 - (1 - 0.5)×\frac{1}{3}×[2 - (-3)^2]\)的結果是（ ）
A. \(\frac{1}{6}\) B. \(\frac{5}{6}\) C. 1 D. 0
填空題：
\(-1^4 + (-2)^3÷4 =\)；\(25×\frac{3}{4} - (-25)×\frac{1}{2} + 25×(-\frac{1}{4}) =\)。
若\(a = -1\)，\(b = 2\)，則\(a^2 - b^2÷(-b) =\)______。
解答題：
計算\((-3)^2 - (1\frac{1}{2})^2×\frac{2}{9} - 6÷|-\frac{2}{3}|\)。
某股民上周五以每股 10 元的價格買進某股票 1000 股，本周內每日該股票的漲跌情況如下（單位：元）：+0.3、-0.1、-0.2、-0.5、+0.2，求該股民本周內這只股票的總收益情況（不考慮手續費等其他費用）。
幻燈片 10：課堂總結
有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的（小括號→中括號→大括號）。
運算技巧：合理運用加法和乘法的運算律（交換律、結合律、分配律），可以簡化計算過程，提高計算效率。
易錯點：注意運算順序、乘方符號、括號處理和運算律的正確應用，避免因細節錯誤導致結果出錯。
有理數混合運算綜合了前面所學的各種運算，是對有理數運算知識的全面運用。掌握混合運算不僅能提高計算能力，還能為解決更復雜的數學問題和實際問題打下堅實基礎，在計算過程中要保持細心和耐心。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.口算
(1) -6+(-10) =_______ ; (2) -25 + 13 =_______ ;
(3) 5 + ( -5 ) = _______; (4) 0 - 12 =_______ ;
(5) 5 ×( -3 ) =_______; (6)(-45)×(-)=_______ ;
(7) (-6.75)×0=_______; (8) -56 ÷ 14 =_______ ;
(9) 0÷(-)=_______; (10)(-81)÷(-)=_______ .
-12
0
-12
-15
10
0
-4
0
36
-16
課堂導入
2.填空
（1） (-3)3 =_____×_____×_____=_____ ，其中底數是_____，指數是_____，冪是_____.
（2） -33 =_______________=_____ ，其中底數是
_____，指數是_____，冪是_____.
(-3)
(-3)
(-3)
-27
(-3)
3
(-3)3
-(3×3×3)
-27
3
3
33
課堂導入
思 考
計算32×5時，先算乘方還是先算乘法？
先算乘方：32×5＝9×5＝45，
先算乘法：32×5＝3×(3×5)＝3×15＝45，
一般地，當只含有乘方和乘法運算時，先算乘方比先算乘法要簡便一些.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
下列各式分別含有哪幾種運算？結合小學學過的四則混合運算順序，你認為下列各式應按怎樣的順序進行運算？
（1）-3+[-5×(1-0.6)]；
（2）17-16÷(-2)3×3.
以上兩個算式，含有有理數的加、減、乘、除、乘方多種運算，稱為有理數的混合運算.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
議一議
（1）-3+[-5×(1-0.6)]
（2）17-16÷(-2)3×3
①
②
③
①
②
③
有理數的混合運算順序是:先算乘方,再算乘除,最后算加減;如果有括號,就先進行括號里面的運算
(先小括號,再中括號，最后大括號).
新知探究
知識點 有理數的混合運算
解:
例1 計算：
（1） -3+[-5×(1-0.6)]； （2）17-16÷(-2)3×3.
（1） -3+[-5×(1-0.6)]
= -3+[-5×0.4]
先計算小括號里面的數
再計算中括號里面的數
= -3+(-2)
= -5.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
（2） 17-16÷(-2)3×3
= 17-16 ÷(-8)×3
-2 的三次方是 3 個 (-2) 相乘
先算乘除再算加減
= 17-(-6)
= 23.
= 17-(-2)×3
知識點 有理數的混合運算
例1 計算：
（1） -3+[-5×(1-0.6)]； （2）17-16÷(-2)3×3.
跟蹤訓練 計算：
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15 ；
(2) (-2)3+(-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2) .
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15
＝2×(-27) -(-12)+15
＝-54 +12+15
＝-27.
解：
新知探究
知識點 有理數的混合運算
(2) (-2)3 + (-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2)
＝ -8 + (-3)×(16+2) - 9÷(-2)
＝ -8 + (-54) - (-4.5)
＝ -8 + (-54) +4.5
＝ -57.5.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
跟蹤訓練 計算：
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15 ；
(2) (-2)3+(-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2) .
有理數的混合運算，通常先轉化為加、減、乘、除混合運算，再把除法轉化為乘法，把減法轉化為加法，最后運用加法運算律和乘法運算律進行計算.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
例2 計算：
解：
新知探究
知識點 有理數的混合運算
= 81÷9-2
= 9-2
= 7 .
(2) (-3)4÷[2-(-7)] + 4 ×( - 1)
= (-3)4÷9 + 4 ×
新知探究
知識點 有理數的混合運算
例2 計算：
跟蹤訓練 計算：
(1) -14-4×[2 + (-3)] 2；
(2) 4-[(-5-3)÷23].
解：
(1) -14-4×[2 + (-3)] 2
＝-1-4×(-1)2
＝-1-4×1
＝-1-4
＝-5.
(2) 4-[(-5-3)÷23]
＝ 4-[(-8)÷23]
＝ 4-[(-8)÷8]
＝ 4- (-1)
＝ 5.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
例3 計算： .
解：
若先進行括號里的運算，比較哪種方法更簡便.
新知探究
知識點 有理數的混合運算
.
另解：
新知探究
知識點 有理數的混合運算
例3 計算： .
.
跟蹤訓練 計算：( +)÷()3
解：
( +)÷()3
＝( +)÷()
＝( +)×()
＝×()
＝
新知探究
知識點 有理數的混合運算
.
1. 計算：
（1）2×(-5)-(-2)2÷(-4)； （2）4×(-2)3-8×(-3)+ 9 ；
（3）-2+(-2)4-24÷(-8) ； （4）(-1)10×(-5)+(-2)3÷2 .
-9
1
16
-9
【課本P53 練習第1題】
隨堂練習
2. 計算：
（2） (-27)-[(-2)2×(- ) +(-2)2]3
（1）-14 - ×[2 +(-3)]2；
-
-
【課本P49 練習第2題】
隨堂練習
3.如圖是一個有理數混合運算程序的流程圖，請根據這個程序回答問題： 當輸入的 x 為－16 時，最后輸出的結果 y 是多少？ （寫出計算過程）
隨堂練習
解：根據流程圖，當 x = -16 時，
當 x = -1 時，
當 x = 4 時，
隨堂練習
.
.
.
，
知識點1 有理數的混合運算
1.計算 時，應( )
B
A.先算乘法，再算除法 B.先算乘方，再算除法
C.先算乘方，再算乘法 D.先算除法，再算減法
2.［2025長沙期末］下列計算正確的是( )
D
A. B. C. D.
3.下列四個式子計算結果最大的是( )
A
A. B. C. D.
4.下面是小剛同學做的一道題： .解：原式
.四名同學看了小剛的解答，給出了四個看法：①運算順
序錯了；②計算時符號錯了，應為；③計算結果是 ；④原式
應該等于 .其中正確的是________（填序號）.
①②④
5.（8分）計算：
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
知識點2 簡便運算
6.下列運算中，錯誤的是( )
A
A.
B.
C.
D.
7.（12分）計算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
8.在計算 時，有四名同學給出了以
下四種計算步驟，其中正確的是( )
C
A.原式
B.原式
C.原式
D.原式
9. ［2025邵陽期末］定義新運算： ,
.例如：,.若 ，
則稱有理數，為“隔一數對”.例如： ,
, ，所以2，3就是一對“隔一數對”.下列各
組數是“隔一數對”的是____（請填序號）.
,；， .
①
10.（10分） 老師設計
了接力游戲，用合作的方式完成有理
數運算，規則是：每人只能看到前一
人給的式子，并進行一步計算，再將
結果傳遞給下一人，最后完成計算.過
程如圖所示.
（1）接力中，計算錯誤的學生是____________；
小明和小強
（2）請正確計算老師給出的算式；
解：原式
.
（3）計算： .
解：原式 .
11.（4分）［2025長沙期末］請你認真閱讀材料：
計算： .
解：原式的倒數是
，
故原式 .
根據你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算：
.
解：原式的倒數是，故原式 .
12.（8分） 有一種“24點”游戲，其游戲規則是：將4個
之間的有理數進行加減乘除四則運算（每個數只能用一次），使
其結果為24，例如1，2，3，4可進行運算： .
（1）現在有4個有理數：3，4，6，10，運用上述規則，寫出兩個不同
的算式，使其結果為24；
解：， .（答案不唯一）
（2）對于4個有理數：1，2，4，8，再多給你一種乘方運算，請你寫出
一個含乘方的算式，使其結果為24.
解： .（答案不唯一）
有理數的混合運算
順序
定義
含有有理數的加、減、乘、除、乘方多種運算，稱為有理數的混合運算.
先算乘方，再算乘除，最后算加減；
如果有括號，就先進行括號里面的運算(先小括號，再中括號，最后大括號) .
同級運算，從左往右計算；
課堂小結
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