資源簡介

(共42張PPT)
2.1.2列代數式
第2章 代數式
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.2 列代數式
幻燈片 1：封面
標題：2.1.2 列代數式
副標題：文字語言到數學符號的轉化
幻燈片 2：引入
上一節課我們學習了代數式的概念，知道代數式是用運算符號把數或字母連接而成的式子。那么，如何根據實際問題中的數量關系列出代數式呢？比如，“比 x 大 5 的數” 可以表示為 x + 5，“y 的 3 倍與 2 的差” 可以表示為 3y - 2。列代數式是解決數學問題和實際問題的重要步驟，它能將復雜的文字描述轉化為簡潔的數學表達式。今天，我們就來學習列代數式的方法和技巧。
幻燈片 3：列代數式的基本方法
理解題意：仔細閱讀題目，明確題目中涉及的數量以及它們之間的關系，找出關鍵詞語，如 “和、差、積、商、倍、分、多、少、大、小” 等。
確定字母：選擇合適的字母表示題目中的未知量，通常用 x、y、a、b 等字母，字母的選擇要簡潔明了，便于表達。
列出式子：根據數量關系，運用相應的運算符號將數和字母連接起來，形成代數式。
示例：
題目：“x 的 2 倍與 3 的和”，關鍵詞是 “倍” 和 “和”，x 的 2 倍是 2x，與 3 的和即 2x + 3，所以代數式為 2x + 3。
題目：“a 與 b 的差的一半”，先找 a 與 b 的差是 a - b，再取一半，即\(\frac{1}{2}(a - b)\)，代數式為\(\frac{1}{2}(a - b)\)。
幻燈片 4：常見數量關系的代數式表示
和差關系：
“A 與 B 的和” 表示為 A + B。
“A 比 B 大 C” 表示為 A = B + C（但列代數式時，若求 A 則為 B + C，求 B 則為 A - C）。
示例：“m 與 n 的差” 表示為 m - n；“比 x 小 4 的數” 表示為 x - 4。
倍分關系：
“A 是 B 的 k 倍” 表示為 A = kB（列代數式時，求 A 為 kB，求 B 為 A÷k）。
“A 的\(\frac{n}{m}\)” 表示為\(\frac{n}{m}A\)。
示例：“y 的 5 倍” 表示為 5y；“a 的\(\frac{2}{3}\)” 表示為\(\frac{2}{3}a\)。
乘積與商關系：
“A 與 B 的積” 表示為 AB。
“A 除以 B 的商” 表示為\(\frac{A}{B}\)（B≠0）。
示例：“p 與 q 的積” 表示為 pq；“x 除以 y 的商” 表示為\(\frac{x}{y}\)（y≠0）。
平方、立方關系：
“x 的平方” 表示為 x ；“y 的立方” 表示為 y 。
“a 與 b 的平方和” 表示為 a + b （注意與 “a 與 b 的和的平方”(a + b) 區分）。
示例：“m 的平方與 n 的 2 倍的差” 表示為 m - 2n。
幻燈片 5：幾何圖形中的列代數式
周長相關：
長方形的長為 a，寬為 b，周長是 2 (a + b)。
正方形的邊長為 x，周長是 4x。
面積相關：
三角形的底為 m，高為 n，面積是\(\frac{1}{2}mn\)。
圓的半徑為 r，面積是 πr （π 是常數）。
體積相關：
正方體的棱長為 a，體積是 a 。
長方體的長、寬、高分別為 x、y、z，體積是 xyz。
示例：一個梯形的上底為 a，下底為 b，高為 h，根據梯形面積公式 “（上底 + 下底）× 高 ÷2”，其面積的代數式為\(\frac{1}{2}(a + b)h\)。
幻燈片 6：實際問題中的列代數式
購物問題：
單價為 p 元的商品，買 n 件的總價是 pn 元。
示例：“一支鋼筆 8 元，買 x 支鋼筆需要多少錢”，總價 = 單價 × 數量，代數式為 8x 元。
行程問題：
速度為 v 千米 / 小時，時間為 t 小時，行駛的路程是 vt 千米。
示例：“一輛汽車的速度是 60 千米 / 小時，行駛 t 小時的路程”，代數式為 60t 千米。
工程問題：
工作效率為 a 個 / 天，工作時間為 b 天，工作總量是 ab 個。
示例：“一個工人每天加工 50 個零件，加工 m 天的總零件數”，代數式為 50m 個。
幻燈片 7：例題講解
例 1：用代數式表示下列數量關系。
（1）x 的 3 倍與 y 的\(\frac{1}{4}\)的和；（2）比 a 小 3 的數的 2 倍；（3）m 與 n 的平方差；（4）a、b 兩數的和與它們的差的積。
解：
（1）x 的 3 倍是 3x，y 的\(\frac{1}{4}\)是\(\frac{1}{4}y\)，和為 3x + \(\frac{1}{4}y\)。
（2）比 a 小 3 的數是 a - 3，它的 2 倍是 2 (a - 3)。
（3）m 的平方是 m ，n 的平方是 n ，平方差是 m - n 。
（4）a、b 兩數的和是 a + b，差是 a - b，積是 (a + b)(a - b)。
例 2：如圖，一個長方形的操場，長為 x 米，寬比長少 20 米，用代數式表示這個操場的周長和面積。
解：已知長為 x 米，寬比長少 20 米，則寬為 (x - 20) 米。
周長 = 2×（長 + 寬）= 2 [x + (x - 20)] = 2 (2x - 20) = 4x - 40（米）。
面積 = 長 × 寬 = x (x - 20) = x - 20x（平方米）。
答：操場的周長為 (4x - 40) 米，面積為 (x - 20x) 平方米。
例 3：某班有學生 45 人，其中男生有 m 人，用代數式表示女生的人數。
解：總人數 = 男生人數 + 女生人數，所以女生人數 = 總人數 - 男生人數 = 45 - m（人）。
答：女生的人數為 (45 - m) 人。
幻燈片 8：易錯點辨析
錯誤一：對關鍵詞理解錯誤，混淆 “和的平方” 與 “平方的和”。例如，“a 與 b 的和的平方” 錯誤地表示為 a + b ，正確應為 (a + b) 。
錯誤二：列代數式時忽略運算順序，沒有正確使用括號。例如，“x 除以 y 與 z 的和” 錯誤地表示為\(\frac{x}{y}\) + z，正確應為\(\frac{x}{y + z}\)（y + z≠0）。
錯誤三：在幾何圖形中，記錯公式導致列錯代數式。例如，三角形面積錯誤地表示為底 × 高（即 mn），正確應為\(\frac{1}{2}mn\)。
錯誤四：單位處理不當，當代數式是和或差的形式時，帶單位未加括號。例如，“a 米與 b 米的和” 錯誤地表示為 a + b 米，正確應為 (a + b) 米。
幻燈片 9：課堂練習
選擇題：
“x 的\(\frac{1}{2}\)與 y 的 3 倍的差” 用代數式表示為（ ）
A. \(\frac{1}{2}x - 3y\) B. 3y - \(\frac{1}{2}x\) C. \(\frac{1}{2}(x - 3y)\) D. \(\frac{1}{2}x + 3y\)
一個兩位數，十位數字是 a，個位數字是 b，這個兩位數用代數式表示為（ ）
A. ab B. a + b C. 10a + b D. 10b + a
填空題：
“比 m 的平方大 2 的數” 用代數式表示為______。
一個長方形的長是寬的 2 倍，若寬為 x 厘米，則這個長方形的周長是______厘米。
解答題：
用代數式表示：
（1）a 與 b 的和乘以 a 與 b 的差；
（2）x 的 2 倍與 y 的一半的和的平方。
某工廠第一個月生產零件 a 個，第二個月比第一個月增產 10%，求第二個月生產零件的個數。
一個三角形的底是高的 3 倍，若高為 h 厘米，求這個三角形的面積。
幻燈片 10：課堂總結
列代數式的步驟：理解題意，確定字母，根據數量關系列出式子。
關鍵在于準確把握題目中的關鍵詞（如和、差、倍、分等）和數量關系，區分易混淆的表述（如 “和的平方” 與 “平方的和”）。
在幾何圖形和實際問題中，要結合相關公式和實際背景，正確列出代數式，并注意書寫規范（如括號的使用、單位的處理）。
列代數式是代數學習的基礎，熟練掌握這一技能，能為后續學習代數式求值、方程等知識打下堅實的基礎，提高用數學解決實際問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能根據實際問題中的數量關系，列代數式表示.
2.能賦予代數式實際意義，發展應用意識.
學習目標
擺一個三角形至少需要幾根火柴？
四邊形？
五邊形？
課堂導入
擺一擺
觀察下圖，并完成下表：
新知探究
知識點 代數式的應用
說一說
六邊形的個數 圖案 所需火柴（根）
1 6
2 6+5=11
3 6 + 5 × 2=26
4 6 + 5 × ＝______
… … …
m(m為正整數) … 6 + 5 × ＝______
(m-1)
(4-1)
21
新知探究
知識點 代數式的應用
6+5(m-1)
(1) 日平均氣溫可以用一天中2:00，8:00，14: 00，20:00 四個時刻氣溫的平均值來表示，若上述四個時刻的氣溫分別是 a℃， b ℃， c ℃，d ℃，則日平均氣溫是_________ ℃；
(2) 把 a 本科普書、b本作文書、c本文學書分給若干名學生，若每人 5 本，則剩余3 本，由此可知學生人數為_________.
例1 填空：
新知探究
知識點 代數式的應用
列代數式的方法：
①抓關鍵詞
③列代數式
②找運算順序
明確問題中的意義及數量關系
先讀的先算，先算的先讀
注意書寫順序
新知探究
知識點 代數式的應用
1.用代數式填空：
(1) 某階梯教室第一排有8個座位，第二排有10個座位，以后每排都比它前一排多2個座位，那么第n排有___________個座位.
(2) 一批貨物共 x t，第一天售出這批貨物的 ，第二天售出剩下的一半，還剩下貨物________ t.
(3)一件進價為x元的商品，賣出后利潤率為25%，則這件商品的利潤(利潤＝進價×利潤率)為_________.
8+2(n – 1)
x
【課本P69 練習第1題】
25%x
新知探究
知識點 代數式的應用
練一練
2.觀察下列式子：
32－12 ＝ 8×1 ; 52－32 ＝ 8×2 ;
72－52 ＝ 8×3 ; 92－72 ＝ 8×4 ; ···.
探索以上式子的規律，寫出第 n 個等式.
(2n+1)2－ (2n－1)2 ＝8×n
新知探究
知識點 代數式的應用
例2 為了增強公民節水意識，某市鼓勵居民合理利用水資源，對自來水的水費實行階梯水價，并實行“一戶一表”計費．對于5人及以下的家庭，規定如下:
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
新知探究
知識點 代數式的應用
(1) 若某個家庭（5人及以下）一年總用水量為 a m3，其中 a 不超過180，則該家庭一年的水費是多少？
解 (1) 由于一年總用水量為a m3，且 a 不超過180 ，因而其價格為每立方米2.07元，故這樣的家庭一年的水費為 2.07a 元.
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
新知探究
知識點 代數式的應用
(2)若某個家庭（5人及以下）一年中前十個月用水量為180 m3，后兩個月用水量為b m3 ，其中b不超過80，則這樣的家庭一年的水費是多少？
(2) 一年中前十個月的水費為2.07×180=372.6(元).由于后兩個月用水超過80 m3，于是全年用水量不超過260 m3.又后兩個月用水量為b m3，從而后兩個月的水費為4.07b元，因此這樣的家庭一年的水費為(372.6＋4.07b)元，其中b不超過80.
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
新知探究
知識點 代數式的應用
在本節例5中，若某個家庭（5人及以下）一年中前十個月用水量為210 m3，后兩個月用水量為c m3，其中c大于50，則這樣的家庭一年的水費是多少？
解 由于一年總用水量為(210+c) m3，其大于260 m3，不超過260 m3的部分為2.07×180＋4.07×(260－180)＝ 698.2（元），超過260m3的部分為[6.07×(c－260)] 元.因此，這樣的家庭一年的水費為 {698.2+[6.07×(c－260)]} 元.
【課本P70 練習2.1 第6題】
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
每戶每年用水量 水價/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超過180 m 但不超過260 m 的部分 4.07
超過260 m 的部分 6.07
新知探究
知識點 代數式的應用
練一練
①如果蘋果的價格是每千克a元，那么買25kg蘋果需要25a元.
②如果小強跑步的速度是 a m/s，那么他25s所跑的路程為25a m.
結合生活實例說明代數式25a可以表示什么.
小結：代數式在不同情境中表示的意義不同.
新知探究
知識點 代數式的應用
說一說
結合生活實例說明代數式 4a可以表示什么.
正方形的邊長為a，它的周長為4a ；
一種水果單價為a 元/斤，小明買了4斤，一共用了4a 元.
新知探究
知識點 代數式的應用
練一練
1.“x的 與y的和”用代數式表示為（ ）.
A. (x + y) B.x + + y
C. x + y D. x + y
D
隨堂練習
2. 觀察下列圖形的排列規律，你能說出第 n 個圖形的代數式嗎？
①
②
③
……
3+3n
隨堂練習
3.某商店購進每雙m元的旅游鞋100 雙，每雙n元的皮鞋50 雙，那么該商店一共需支付多少元？
該商店一共需支付(100m+50n)元.
后面帶單位的相加或相減的式子要用括號括起來
【課本P69 練習第2題】
隨堂練習
4.如圖，小斌將邊長為10的正方形紙片的4個角各剪去一個邊長為x 的小正方形，其中x<5，求剩余部分的面積.
10
x
分析：
剩余部分面積＝正方形面積－裁剪部分面積＝10×10－4×x × x
剩余部分的面積為100－4x2
【課本P69 練習第3題】
隨堂練習
5.結合生活實例說明代數式 可以表示什么.
解：如果用a km/h表示小明騎自行車的速度，那么 km 表示他騎自行車半小時的路程.
(答案不唯一)
【課本P69 練習第4題】
隨堂練習
知識點1 列代數式
1.用代數式表示：
（1）每包書有10冊，6包書有____冊， 包書有_____冊；
（2）王芳今年 歲，她去年_________歲，6年后_________歲；
（3）將糖裝入 個包裝袋中，每個包裝袋中糖的質量相同，則每個
包裝袋中裝入糖__ ；
（4）底面積為，高為 的圓柱的體積是____.
60
2.［2025湘潭期末］用代數式表示比 的2倍少1的數，正確的是( )
C
A. B. C. D.
3.［2025長沙期中］某學校計劃給每個班配發10套勞動工具，則 個班
需配發勞動工具的總套數為( )
A
A. B. C. D.
4.如圖，邊長為 的正方形中陰影部分的面積為( )
A
A. B.
C. D.
5.為引導居民合理用氣、節約用氣，湖南省居民生活用天然氣實行階梯
收費：年用氣量及以下，用氣價格為2.45元/ ；年用氣量超出
的部分，用氣價格為3.00元/ .某家庭去年前十個月用氣量為
，后兩個月用氣量為 ，則該家庭去年的用氣費用為( )
B
A.元 B. 元
C.元 D. 元
6.某樹苗原始高度為 ，如圖是該樹苗的高度與生長的月數的有關
數據示意圖，假設以后一段時間內，該樹苗高度的變化與月數保持此關
系，那么生長個月時，它的高度單位： 應為( )
B
A. B. C. D.
知識點2 代數式的意義
7.代數式 的意義可以是( )
C
A.與的和 B.與的差 C.與的積 D.與 的商
8.若表示某件物品的原價，則代數式 表示的意義是( )
B
A.該物品打八折后的價格
B.該物品價格上漲 后的售價
C.該物品價格下降 后的售價
D.該物品價格上漲 時，上漲的價格
9. 小詠用現金買了8支相同的簽字筆，找回了
元，有下列兩種說法：說法Ⅰ：若小詠原有現金50元，則每支簽字筆 元；
說法Ⅱ：若每支簽字筆元，則小詠原有現金 元.
則下面判斷正確的是( )
C
A.Ⅰ對Ⅱ錯 B.Ⅰ錯Ⅱ對 C.Ⅰ與Ⅱ都對 D.Ⅰ與Ⅱ都錯
10.（4分）聯系實際背景，對 賦予一個實際意義.
解：一支筆3元，表示 支筆的總價錢（答案不唯一）.
11.對于代數式 的意義，下列表述不正確的是( )
C
A.比的倒數少2的數 B.比的倒數大 的數
C.的倒數與的差 D.1除以 的商與2的差
12. ［2025岳陽期中］某商品原價為 元，因銷量下滑，
經營者連續兩次降價，每次降價 ，后因供不應求，又一次提高
，則現在這種商品的價格是( )
C
A.元 B. 元
C.元 D. 元
13.觀察下面三行數：
4 16 64 …①
2 14 62 …②
3 9 33 …③
（1）第①行第7個數是_______，第①行第 個數是_______；
（2）第②行第個數是__________，第③行第 個數是____________.
14.（6分）隨著我國汽車保有量日益增長，城市停車位愈發緊張.某停車
場晚上的收費標準如下：中型汽車每晚的停車費為30元/輛，小型汽車
每晚的停車費為20元/輛.某天晚上該停車場內共有60輛中、小型汽車，
其中小型汽車有 輛.
（1）代數式 表示的實際意義為_______________________________
_________；
這一晚該停車場內所有小型汽車的
總停車費
（2）這一晚該停車場共可收繳停車費多少元？
解：由題意得，這一晚該停車場共可收繳停車費 元.
15.（8分）某市為了鼓勵市民節約用電，實行階梯電價制，“一戶一表”
的居民用電具體收費標準如下：
一戶居民一個月的用電量 電價（單位：元/千瓦時） 第1檔 不超過180千瓦時的部分 0.5
第2檔 超過180千瓦時但不超過280 千瓦時的部分 0.7
第3檔 超過280千瓦時的部分 0.8
（1）若某戶12月份用電量為220千瓦時，則該戶12月份應交電費多少元？
解： （元）.
答：該戶12月份應交電費118元.
（2）若某戶12月份前20天的用電量是180千瓦時，后10天的用電量是
千瓦時，其中 不超過100，則該戶12月份應交電費多少元？
解： 元.
所以該戶12月份應交電費 元.
16.（8分）一張長方形餐桌的四周可坐6人，現把若干張這樣的餐桌按
如圖所示的方式拼接.
（1）若把4張、8張這樣的餐桌拼接起來，四周分別可坐多少人？
解：1張長方形餐桌的四周可坐 （人），拼接后，2張長方
形餐桌的四周可坐 （人），3張長方形餐桌的四周可坐
人 所以拼接后，4張長方形餐桌的四周可坐
（人），8張長方形餐桌的四周可坐
（人）.
（2）若把 張這樣的餐桌拼接起來，四周可坐多少人？
解：由（1）易知，張這樣的餐桌的四周可坐 人.
代數式的應用
根據實際問題列代數式
解釋代數式所表示的實際意義
課堂小結
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