資源簡介

(共46張PPT)
3.1 等量關系和方程
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.1 等量關系和方程
幻燈片 1：封面
標題：3.1 等量關系和方程
副標題：從數量關系到方程的建立
幻燈片 2：引入
在日常生活中，我們經常會遇到各種數量之間的相等關系。比如，小明有 5 個蘋果，小紅比小明多 3 個蘋果，那么小紅有 8 個蘋果，這里 “小紅的蘋果數 = 小明的蘋果數 + 3” 就是一種等量關系；再比如，一個長方形的周長是 20 厘米，長是 6 厘米，寬是多少呢？這里 “長方形的周長 = 2×（長 + 寬）” 也是一種等量關系。這些等量關系如何用數學式子表示呢？當其中的某個數量未知時，我們又該如何描述這種關系？今天，我們就來學習等量關系和方程，掌握用方程表示等量關系的方法。
幻燈片 3：等量關系
定義：數量之間具有的相等關系叫做等量關系。
常見的等量關系類型：
和差關系：如 “A 的數量 + B 的數量 = 總數量”“A 的數量 - B 的數量 = 相差數量”。例如，男生有 20 人，女生有 15 人，總人數為 35 人，等量關系為 “男生人數 + 女生人數 = 總人數”。
倍數關系：如 “A 的數量 = n×B 的數量”（n 為倍數）。例如，蘋果的重量是香蕉重量的 2 倍，若香蕉重量為 x 千克，蘋果重量為 2x 千克，等量關系為 “蘋果重量 = 2× 香蕉重量”。
公式關系：利用學過的公式得到的等量關系，如 “路程 = 速度 × 時間”“長方形面積 = 長 × 寬”“總價 = 單價 × 數量” 等。例如，一輛汽車以 60 千米 / 小時的速度行駛了 3 小時，行駛的路程為 180 千米，等量關系為 “路程 = 速度 × 時間”。
示例：找出下列問題中的等量關系。
（1）一個數的 3 倍加上 5 等于 20。
（2）買 3 支鋼筆和 2 本筆記本共花了 25 元，每支鋼筆 5 元，每本筆記本多少元？
解：
（1）等量關系：這個數 ×3 + 5 = 20。
（2）等量關系：3 支鋼筆的總價 + 2 本筆記本的總價 = 25 元。
幻燈片 4：方程的概念
定義：含有未知數的等式叫做方程。
關鍵詞解析：
“含有未知數”：方程中必須有未知數，未知數通常用 x、y、z 等字母表示。
“等式”：方程是一個等式，即含有等號 “=”，表示左右兩邊的數量相等。
示例：
是方程的式子：3x + 5 = 20（含有未知數 x，是等式）；2y - 1 = y + 3（含有未知數 y，是等式）。
不是方程的式子：3x + 5（不是等式）；2 + 3 = 5（不含未知數）；x - 1＞0（不是等式，是不等式）。
方程與等量關系的聯系：方程是表示等量關系的數學式子，當等量關系中含有未知數時，就可以用方程來表示。
幻燈片 5：根據等量關系列方程
步驟：
步驟一：找出未知數：明確問題中需要求的未知量，用字母表示未知數（通常設為 x、y 等）。
步驟二：找出等量關系：分析題目中的數量關系，確定其中的等量關系。
步驟三：列出方程：根據等量關系，用含未知數的式子表示等式兩邊的數量，列出方程。
示例：
（1）一個數的 5 倍減去 8 等于 12，求這個數。
步驟一：設這個數為 x。
步驟二：等量關系：這個數 ×5 - 8 = 12。
步驟三：列方程：5x - 8 = 12。
（2）長方形的長是寬的 2 倍，周長是 30 厘米，求長方形的寬。
步驟一：設長方形的寬為 x 厘米，則長為 2x 厘米。
步驟二：等量關系：2×（長 + 寬） = 周長。
步驟三：列方程：2×（2x + x） = 30。
幻燈片 6：列方程解決實際問題舉例
例 1：某校七年級學生參加社會實踐活動，原計劃租用 45 座客車若干輛，但有 15 人沒有座位；如果改租同樣數量的 60 座客車，則多出一輛，且其余客車剛好坐滿。原計劃租用 45 座客車多少輛？
分析：兩種租車方式的學生總人數是相等的。
解：設原計劃租用 45 座客車 x 輛。
等量關系：45 座客車坐的人數 + 15 = 60 座客車坐的人數。
列方程：45x + 15 = 60 (x - 1)。
例 2：一件商品按進價提高 40% 后標價，再打八折銷售，售價為 224 元，這件商品的進價是多少元？
分析：進價提高 40% 后的標價，再打八折就是售價。
解：設這件商品的進價是 x 元。
等量關系：（進價 ×(1 + 40%)）×80% = 售價。
列方程：(1 + 40%) x×80% = 224。
幻燈片 7：例題講解
例 1：判斷下列各式是不是方程，是的打 “√”，不是的打 “×”。
（1）3x - 5；（2）2x + 1 = 7；（3）5 + 3 = 8；（4）x - 3x + 2 = 0。
解：（1）×（不是等式）；（2）√（含有未知數，是等式）；（3）×（不含未知數）；（4）√（含有未知數，是等式）。
例 2：根據下列等量關系列出方程。
（1）x 的 2 倍與 7 的和等于 15。
（2）比 y 的 3 倍少 4 的數是 11。
（3）一個數的一半減去 5 等于這個數的\(\frac{1}{3}\)。
解：
（1）2x + 7 = 15。
（2）3y - 4 = 11。
（3）設這個數為 z，則\(\frac{1}{2}\)z - 5 = \(\frac{1}{3}\)z。
例 3：某班有學生 45 人，其中男生人數比女生人數的 2 倍少 6 人，求女生人數。設女生人數為 x 人，列出方程。
解：男生人數為 (2x - 6) 人。
等量關系：男生人數 + 女生人數 = 總人數。
列方程：(2x - 6) + x = 45。
幻燈片 8：易錯點辨析
錯誤一：混淆方程與代數式、等式的概念。例如，認為 “3x + 5” 是方程，實際上它是代數式，不是等式；認為 “5 + 3 = 8” 是方程，它是等式但不含未知數，不是方程。
錯誤二：列方程時等量關系找錯。例如，“一個數的 5 倍比它的 3 倍多 8”，錯誤地列出方程 5x + 3x = 8，正確等量關系是 “5x - 3x = 8”。
錯誤三：設未知數后，用未知數表示其他量時出錯。例如，“甲數比乙數的 2 倍多 3”，設乙數為 x，錯誤地表示甲數為 2x - 3，正確應為 2x + 3。
錯誤四：列方程時單位不統一或未考慮單位。例如，“小明以每分鐘 50 米的速度跑了 x 小時，跑的路程是 1500 米”，未將小時轉化為分鐘，錯誤地列出方程 50x = 1500，正確應為 50×60x = 1500（1 小時 = 60 分鐘）。
幻燈片 9：課堂練習
選擇題：
下列各式中，是方程的是（ ）
A. 3x + 5 B. 2x - 1＞0 C. 5 + 3 = 8 D. 4x - 2 = 6
根據 “x 的 3 倍與 4 的差等于 5” 列出的方程是（ ）
A. 3x - 4 = 5 B. 3 (x - 4) = 5 C. 3x + 4 = 5 D. 3 (x + 4) = 5
填空題：
寫出一個含未知數 y 的方程：______。
某數的 2 倍減去 3 等于 7，設這個數為 x，列出的方程是______。
解答題：
找出下列問題中的等量關系，并列出方程。
（1）一個數與它的\(\frac{1}{2}\)的和是 18，求這個數。
（2）學校買了 4 個籃球和 5 個排球，共用去 490 元，每個籃球 65 元，每個排球多少元？設每個排球 x 元。
用方程表示下列等量關系。
（1）y 的 4 倍減去 9 等于 11。
（2）長方形的長是 10 厘米，寬是 x 厘米，面積是 40 平方厘米。
幻燈片 10：課堂總結
等量關系：數量之間的相等關系，是列方程的基礎，常見類型有和差關系、倍數關系、公式關系等。
方程的概念：含有未知數的等式，必須同時滿足 “含有未知數” 和 “是等式” 兩個條件。
列方程的步驟：找出未知數，確定等量關系，根據等量關系列出方程。
理解等量關系和方程的概念，掌握列方程的方法，是后續學習解方程和用方程解決實際問題的關鍵。在學習過程中，要善于分析問題中的數量關系，準確找出等量關系，規范列出方程，避免常見錯誤。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
《九章算術》是我國現存最古老的數學經典著作之一.
“程，課程也，群物總雜，各列有數，總言其實. 令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程.”
——劉徽
課堂導入
請試著列式解決下列問題：
(1) 為進一步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年9月舉辦了一次中學生籃球聯賽.比賽規則為：勝一場得2分，輸一場得1分. 若某校初中男子籃球隊參加了14場比賽，贏了12場，問籃球隊一共得了多少分？
2×12+1×(14-2)=26(分)
課堂導入
(2) 如圖是一個長方體形狀的包裝盒示意圖，長為1.2 m，寬為1 m，高為1 m，這個長方體的表面積是多少？
長方體的表面積=(長×寬+寬×高+長×高)×2
(1.2×1+1×1+1.2×1)×2=6.8(m )
課堂導入
(1) 為進一步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年9月舉辦了一次中學生籃球聯賽. 比賽規則為：勝一場得2分，輸一場得1分. 若某校初中男子籃球隊參加了14場比賽，共得26分. 問：其中蘊含怎樣的等量關系？
勝的場數得分+輸的場數得分=總得分
勝的場數+輸的場數=總場數
新知探究
思考1：
還有其他的等量關系嗎？
知識點1 等量關系
設該隊勝了x 場，則該隊輸了(14－x )場.
2x + (14－x) = 26
①
如何根據等量關系，列出相應等式？
勝的場數得分+輸的場數得分=總得分
勝的場數+輸的場數=總場數
新知探究
知識點1 等量關系
(2) 如圖是一個長方體形狀的包裝盒示意圖，長為1.2 m，高為1 m，表面積為6.8 m2. 其中蘊含怎樣的等量關系？
(長×寬＋寬×高＋長×高)×2=表面積
如何根據等量關系，列出相應等式？
設包裝盒底面的寬是y m，則
(1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8，
即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8
②
新知探究
知識點1 等量關系
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
②
2 x + (14－ x) = 26
①
含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
未知數
新知探究
知識點1 等量關系
一個未知數，次數是1.
只含有一個未知數，并且未知數的次數是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
②
①
每個方程含有幾個未知數？每個未知數的次數是多少？
2 x + (14－ x) = 26
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
新知探究
知識點2 一元一次方程
有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.
問籠中各有多少只雞和兔？
(1)找出上述趣題中的等量關系；
兔的只數＋雞的只數＝35
兔的腳數＋雞的腳數＝94
新知探究
知識點2 一元一次方程
兔的只數＋雞的只數＝35
兔的腳數＋雞的腳數＝94
(2)適當設未知數，列出一元一次方程.
設兔有x 只，則雞有(35－ x)只.
4x + 2(35－x) = 94
③
從而方程③變成
2x + 70=94
④
將方程③左邊的多項式整理得
4x + (70－2x)=2x+70
新知探究
知識點2 一元一次方程
把方程的左邊和右邊分別看成多項式，找到一個數，將這個數代入方程，能使左、右兩邊的多項式的值相等，則這個數就是方程中未知數的一個值.
新知探究
知識點3 方程的解
如何找到一個數，使得方程 2x + 70=94
左、右兩邊的值相等？
根據方程中x的實際意義可知，這個數一定是正整數.
新知探究
知識點3 方程的解
如何找到一個數，使得方程 2x + 70=94
左、右兩邊的值相等？
估計x的值 方程左邊的值 與方程右邊的值94比較
第1次估算
第2次估算
10
90
小了
15
100
大了
第3次估算
13
96
大了
第4次估算
12
94
相等
第5次估算
11
92
小了
新知探究
知識點3 方程的解
如何找到一個數，使得方程 2x + 70=94
左、右兩邊的值相等？
經過估計并代入，只有一個數12符合條件.
對于含有一個未知數 x 的方程，若 x 用一個數 c 代入能使方程左、右兩邊的值相等，這個數c就是這個方程的一個解.
記作 x=c .
新知探究
知識點3 方程的解
如何找到一個數，使得方程 2x + 70=94
左、右兩邊的值相等？
由上可知，12 是方程的唯一解，于是上述趣題中兔有12只，雞有23只.
新知探究
知識點3 方程的解
例1 分別檢驗x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
（1）x=300； （2）x=330.
解（1）把x用300代入原方程得，
左邊=2.5×300+318=1 068，
左邊=右邊，
所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解.
新知探究
知識點3 方程的解
（2）把x用330代入原方程得，
左邊=2.5×330+318=1 143，
左邊≠右邊，
所以x=330不是方程2.5x+318=1068的解.
新知探究
知識點3 方程的解
例1 分別檢驗x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
（1）x=300； （2）x=330.
對于方程 2x - 6 = 7x + 4，分別檢驗 x = 2 和 x = -2 是不是它的解.
【課本P98 練習 第3題】
解：(1) 把x用2代入原方程得，
左邊= 2×2 - 6 = -2 ，右邊=7×2+4=18，
左邊 ≠ 右邊，
所以x =2不是方程2x - 6 = 7x + 4的解.
新知探究
知識點3 方程的解
解：（2）把x =-2代入原方程得，
左邊=2×(-2)-6 = -10 ，
右邊=7×(-2)+4 = -10 ，
左邊=右邊，
所以x = -2是方程2x - 6 = 7x + 4的解.
【課本P98 練習 第3題】
對于方程 2x - 6 = 7x + 4，分別檢驗 x = 2 和 x = -2 是不是它的解.
新知探究
知識點3 方程的解
1. 一種商品打八折后售價為208元，問該商品原價是多少？設原價為x元 ，可列出方程__________.
2.小青比她媽媽小27歲，今年她媽媽的年齡正好是小青的4倍，小青今年幾歲？設小青今年x歲，可列出方程_____________.
0.8x=208
x＋27=4x
隨堂練習
① 2x+2=18
⑦ 4x-3=7
3.判斷下列各式是不是方程，如果不是，請說明理由.
② 3y-1
③ 3x2-3x-1=0
④ -2x＜0
⑤ x-2y=6
⑥ a
⑧ -3=4
⑨
隨堂練習
4.排球場的長比寬多9 m，周長是54 m，排球場的
寬為多少？列出方程.
【課本P98 練習 第1題】
解：設排球場的寬為 x m.
(9+x +x)×2=54.
隨堂練習
5.估計方程4x+1=61的解.
【課本P98 練習 第2題】
估計x的值 方程左邊的值 與方程右邊的值61比較
第1次估算
第2次估算
10
41
小了
20
81
大了
第3次估算
15
61
相等
解：經過估計和代入，x=15 是方程 4x+1=61的解.
隨堂練習
6.判斷下列方程是不是一元一次方程：
（1）23 – x = –7
（2）2a – b =3
（3）y+3=6y – 9
（4）0.32m – （3+0.02m）=0.7
（5）x2 = 1
（6）
√
×
√
√
×
√
隨堂練習
知識點1 方程與一元一次方程的概念
1.下列各式中，屬于方程的是( )
C
A. B. C. D.
2.在下列各式：；； ；
；； 中，__________是方程，____是一
元一次方程.（填序號）
②③⑤⑥
⑤
3. 請寫出一個含有未知數 的一元一次方程：
_________________________.
（答案不唯一）
4. 等式、方程、一元一次方程，它們之間有著密切的聯系.下列包
含圖能正確表示它們之間關系的是____.（填序號）
④
①
②
③
④
知識點2 建立一元一次方程模型
5.有甲、乙兩個水池共貯水.若甲水池再注入 水，乙水池放出
水，則甲、乙兩水池的貯水量相等.設甲水池原來貯水 ，則乙
水池原來貯水_________，甲水池現貯水________ ，乙水池現貯
水_____________ ，根據題意可列方程為__________________.
6. 《九章算術》是我國古代數學名著，卷七“盈不足”中
有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，
會差3錢.問合伙人數、羊價各是多少？設合伙人數為 ，所列方程正確
的是( )
B
A. B.
C. D.
7.一個長方形的周長為，若這個長方形的長減少 ，寬增加
，則可成為一個正方形，設該長方形的長為 ，則可列方程為
( )
B
A. B.
C. D.
知識點3 方程的解
8.［教材P97“議一議”變式］按照下面表格中的步驟，估算方程
的解，第3次估算時 可以取的值是( )
方程左邊的值 與方程右邊的值2.2比較
第1次估算 0 3 大了
第2次估算 1 小了
第3次估算
C
A. B.2 C.0.3 D.
9.（4分）［教材P98“練習”第3題變式］檢驗括號中的未知數的值是不
是方程的解.
解：將代入，左邊，右邊，左邊右邊，所以 是
方程的解.將代入，左邊，右邊，左邊右邊，所以
不是方程的解.將代入，左邊，右邊，左邊 右邊，所以
是方程的解.
10.小明在編寫數學謎題時，列出式子：，“ ”內要求
填寫同一個數字，若設“”內的數字為 ，則下面列出的方程正確的是
( )
D
A. B.
C. D.
11.小明用“嘗試檢驗法”解關于的方程，， 均為不等于0
的常數.他通過估計，依次取 的值為11，12，13，14，15，16，17，代
入方程左邊的代數式 ，求出代數式的值，如下表：
11 12 13 14 15 16 17
？ 12 ？
那么該方程的解可能為( )
C
A. B. C. D.
12.［2025湘潭期末］已知是方程的解，則 的值是
( )
A
A. B.1 C. D.3
13.［2025岳陽期末］已知是關于 的一元一次
方程，則 的值為( )
A
A. B.0 C.1 D.
14.若單項式與是同類項，則可列出關于 的方程
是__________________.
15.（8分）根據條件，設出未知數 ，列出方程：
（1）小華的年齡是14歲，小華的年齡比小強年齡的2倍小4歲，求小強
的年齡；
解：設小強的年齡為歲，則列出方程為 .
（2）某商場促銷，把原價2 000元的冰箱以九折出售，仍可獲利300元，
求這款冰箱的進價.
解：設這款冰箱的進價為元，則可列方程為 .
16.（4分）已知是方程的解，檢驗 是不是方程
的解.
解：因為是方程的解，所以把 代入，得
，解得 .
將代入方程 ，
得 .①
將代入方程①左邊，得左邊 ，
代入方程①右邊，得右邊.因為左邊右邊，所以 不是方程
的解.
17. 下面是學習等量關系和方程時老師板書的問題和兩
名同學所列的方程：
（1）小明所列的方程中的 表示__________________，并嘗試描述等量
關系：___________________；
（2）小紅所列的方程中的 表示__________________，并嘗試描述等量
關系:_______________________.
體育室里的排球數
籃球數-排球數
體育室里的籃球數
排球數的2倍籃球數
實際問題
一元一次方程
找等量關系
設未知數列方程
只含有一個未知數，并且未知數的次數是1的方程叫做一元一次方程.
能使方程左、右兩邊相等的未知數的值，是這個方程的一個解.
課堂小結
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑