資源簡介

(共39張PPT)
3.2.1 等式的基本性質
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.1 等量關系和方程
幻燈片 1：封面
標題：3.1 等量關系和方程
副標題：從數量關系到方程的建立
幻燈片 2：引入
在日常生活中，我們經常會遇到各種數量之間的相等關系。比如，小明有 5 個蘋果，小紅比小明多 3 個蘋果，那么小紅有 8 個蘋果，這里 “小紅的蘋果數 = 小明的蘋果數 + 3” 就是一種等量關系；再比如，一個長方形的周長是 20 厘米，長是 6 厘米，寬是多少呢？這里 “長方形的周長 = 2×（長 + 寬）” 也是一種等量關系。這些等量關系如何用數學式子表示呢？當其中的某個數量未知時，我們又該如何描述這種關系？今天，我們就來學習等量關系和方程，掌握用方程表示等量關系的方法。
幻燈片 3：等量關系
定義：數量之間具有的相等關系叫做等量關系。
常見的等量關系類型：
和差關系：如 “A 的數量 + B 的數量 = 總數量”“A 的數量 - B 的數量 = 相差數量”。例如，男生有 20 人，女生有 15 人，總人數為 35 人，等量關系為 “男生人數 + 女生人數 = 總人數”。
倍數關系：如 “A 的數量 = n×B 的數量”（n 為倍數）。例如，蘋果的重量是香蕉重量的 2 倍，若香蕉重量為 x 千克，蘋果重量為 2x 千克，等量關系為 “蘋果重量 = 2× 香蕉重量”。
公式關系：利用學過的公式得到的等量關系，如 “路程 = 速度 × 時間”“長方形面積 = 長 × 寬”“總價 = 單價 × 數量” 等。例如，一輛汽車以 60 千米 / 小時的速度行駛了 3 小時，行駛的路程為 180 千米，等量關系為 “路程 = 速度 × 時間”。
示例：找出下列問題中的等量關系。
（1）一個數的 3 倍加上 5 等于 20。
（2）買 3 支鋼筆和 2 本筆記本共花了 25 元，每支鋼筆 5 元，每本筆記本多少元？
解：
（1）等量關系：這個數 ×3 + 5 = 20。
（2）等量關系：3 支鋼筆的總價 + 2 本筆記本的總價 = 25 元。
幻燈片 4：方程的概念
定義：含有未知數的等式叫做方程。
關鍵詞解析：
“含有未知數”：方程中必須有未知數，未知數通常用 x、y、z 等字母表示。
“等式”：方程是一個等式，即含有等號 “=”，表示左右兩邊的數量相等。
示例：
是方程的式子：3x + 5 = 20（含有未知數 x，是等式）；2y - 1 = y + 3（含有未知數 y，是等式）。
不是方程的式子：3x + 5（不是等式）；2 + 3 = 5（不含未知數）；x - 1＞0（不是等式，是不等式）。
方程與等量關系的聯系：方程是表示等量關系的數學式子，當等量關系中含有未知數時，就可以用方程來表示。
幻燈片 5：根據等量關系列方程
步驟：
步驟一：找出未知數：明確問題中需要求的未知量，用字母表示未知數（通常設為 x、y 等）。
步驟二：找出等量關系：分析題目中的數量關系，確定其中的等量關系。
步驟三：列出方程：根據等量關系，用含未知數的式子表示等式兩邊的數量，列出方程。
示例：
（1）一個數的 5 倍減去 8 等于 12，求這個數。
步驟一：設這個數為 x。
步驟二：等量關系：這個數 ×5 - 8 = 12。
步驟三：列方程：5x - 8 = 12。
（2）長方形的長是寬的 2 倍，周長是 30 厘米，求長方形的寬。
步驟一：設長方形的寬為 x 厘米，則長為 2x 厘米。
步驟二：等量關系：2×（長 + 寬） = 周長。
步驟三：列方程：2×（2x + x） = 30。
幻燈片 6：列方程解決實際問題舉例
例 1：某校七年級學生參加社會實踐活動，原計劃租用 45 座客車若干輛，但有 15 人沒有座位；如果改租同樣數量的 60 座客車，則多出一輛，且其余客車剛好坐滿。原計劃租用 45 座客車多少輛？
分析：兩種租車方式的學生總人數是相等的。
解：設原計劃租用 45 座客車 x 輛。
等量關系：45 座客車坐的人數 + 15 = 60 座客車坐的人數。
列方程：45x + 15 = 60 (x - 1)。
例 2：一件商品按進價提高 40% 后標價，再打八折銷售，售價為 224 元，這件商品的進價是多少元？
分析：進價提高 40% 后的標價，再打八折就是售價。
解：設這件商品的進價是 x 元。
等量關系：（進價 ×(1 + 40%)）×80% = 售價。
列方程：(1 + 40%) x×80% = 224。
幻燈片 7：例題講解
例 1：判斷下列各式是不是方程，是的打 “√”，不是的打 “×”。
（1）3x - 5；（2）2x + 1 = 7；（3）5 + 3 = 8；（4）x - 3x + 2 = 0。
解：（1）×（不是等式）；（2）√（含有未知數，是等式）；（3）×（不含未知數）；（4）√（含有未知數，是等式）。
例 2：根據下列等量關系列出方程。
（1）x 的 2 倍與 7 的和等于 15。
（2）比 y 的 3 倍少 4 的數是 11。
（3）一個數的一半減去 5 等于這個數的\(\frac{1}{3}\)。
解：
（1）2x + 7 = 15。
（2）3y - 4 = 11。
（3）設這個數為 z，則\(\frac{1}{2}\)z - 5 = \(\frac{1}{3}\)z。
例 3：某班有學生 45 人，其中男生人數比女生人數的 2 倍少 6 人，求女生人數。設女生人數為 x 人，列出方程。
解：男生人數為 (2x - 6) 人。
等量關系：男生人數 + 女生人數 = 總人數。
列方程：(2x - 6) + x = 45。
幻燈片 8：易錯點辨析
錯誤一：混淆方程與代數式、等式的概念。例如，認為 “3x + 5” 是方程，實際上它是代數式，不是等式；認為 “5 + 3 = 8” 是方程，它是等式但不含未知數，不是方程。
錯誤二：列方程時等量關系找錯。例如，“一個數的 5 倍比它的 3 倍多 8”，錯誤地列出方程 5x + 3x = 8，正確等量關系是 “5x - 3x = 8”。
錯誤三：設未知數后，用未知數表示其他量時出錯。例如，“甲數比乙數的 2 倍多 3”，設乙數為 x，錯誤地表示甲數為 2x - 3，正確應為 2x + 3。
錯誤四：列方程時單位不統一或未考慮單位。例如，“小明以每分鐘 50 米的速度跑了 x 小時，跑的路程是 1500 米”，未將小時轉化為分鐘，錯誤地列出方程 50x = 1500，正確應為 50×60x = 1500（1 小時 = 60 分鐘）。
幻燈片 9：課堂練習
選擇題：
下列各式中，是方程的是（ ）
A. 3x + 5 B. 2x - 1＞0 C. 5 + 3 = 8 D. 4x - 2 = 6
根據 “x 的 3 倍與 4 的差等于 5” 列出的方程是（ ）
A. 3x - 4 = 5 B. 3 (x - 4) = 5 C. 3x + 4 = 5 D. 3 (x + 4) = 5
填空題：
寫出一個含未知數 y 的方程：______。
某數的 2 倍減去 3 等于 7，設這個數為 x，列出的方程是______。
解答題：
找出下列問題中的等量關系，并列出方程。
（1）一個數與它的\(\frac{1}{2}\)的和是 18，求這個數。
（2）學校買了 4 個籃球和 5 個排球，共用去 490 元，每個籃球 65 元，每個排球多少元？設每個排球 x 元。
用方程表示下列等量關系。
（1）y 的 4 倍減去 9 等于 11。
（2）長方形的長是 10 厘米，寬是 x 厘米，面積是 40 平方厘米。
幻燈片 10：課堂總結
等量關系：數量之間的相等關系，是列方程的基礎，常見類型有和差關系、倍數關系、公式關系等。
方程的概念：含有未知數的等式，必須同時滿足 “含有未知數” 和 “是等式” 兩個條件。
列方程的步驟：找出未知數，確定等量關系，根據等量關系列出方程。
理解等量關系和方程的概念，掌握列方程的方法，是后續學習解方程和用方程解決實際問題的關鍵。在學習過程中，要善于分析問題中的數量關系，準確找出等量關系，規范列出方程，避免常見錯誤。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
性質Ⅱ 等式兩邊都乘同一個數，或除以
同一個不為0的數，等式兩邊仍然相等
（1）如果 a + 2 = b + 7 ，那么 a =________；
b + 5
（2）如果 3x = 9y，那么 x =_____；
3y
在小學，已經學習了等式的基本性質，即：
性質Ⅰ 等式兩邊都加上或減去同一個數，
等式兩邊仍然相等
課堂導入
（1）方程 5x=4x+2的解是多少？
設數a是方程 5x=4x+2的解，則5a=4a+2.
5a=4a+2
a= 2
兩邊同時減去4a
因此，2是方程5x=4x+2的唯一解.
新知探究
知識點 等式的基本性質
5x=4x+2
x=2
兩邊都減去4x
等式的基本性質1：
等式兩邊都加上或減去同一個數（或整式），等式兩邊仍然相等.
符號語言：
∵a=b
∴a±c=b±c
(c可以為一個數或整式)
新知探究
知識點 等式的基本性質
（2）方程的解是多少？
設數b是方程 的解，則 .
兩邊都乘3
因此，15是方程的唯一解.
新知探究
知識點 等式的基本性質
x=15
兩邊同乘3或除以
等式的基本性質2：
等式兩邊都乘同一個數，或除以同一個不為0的數，等式兩邊仍然相等.
符號語言：
∵a=b
∴ac=bc 或
(其中d≠0)
新知探究
知識點 等式的基本性質
例1 填空，并說明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =______；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
(1) 由等式的基本性質1可知，等式兩邊都減去2，
y+5
得 x+2-2=y+7-2
即 x = y+5 .
解：
新知探究
知識點 等式的基本性質
(2) 由等式的基本性質2可知，等式兩邊都除以3，
y+5
即 x = 3y .
3y
得 =
例1 填空，并說明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =_____；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
新知探究
知識點 等式的基本性質
(3) 由等式的基本性質2可知，等式兩邊都乘 -6，
y+5
即 3x = -2y .
-2y
3y
得 -
新知探究
知識點 等式的基本性質
例1 填空，并說明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =_____；
(2)如果3x=9y，那么 x =_____；
(3)如果-x= y，那么3x =_____.
請在括號中寫出下列等式變形的理由.
(1)如果 x+y=2y+7，那么 x=y+7 ；
(2)如果 3x=2y，那么 x= y；
(3)如果，那么 x=2y；
(4)如果2x+3=3y -1，那么2x-6=3y-10.
【課本P102 練習 第1題】
（性質1）
（性質2）
（性質2）
（性質1）
新知探究
知識點 等式的基本性質
做一做
(1) 錯誤.
解：
由等式的基本性質1可知，
2m-3n+3n=7+3n，
即 2m=7+3n .
等式兩邊都加上3n，得
新知探究
知識點 等式的基本性質
例2 判斷下列等式變形是否正確，并說明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
(2) 正確.
由等式的基本性質2可知，
即 5(2x-1)= 4(4x-2) .
×20 = ×20，
等式兩邊都乘20，得
新知探究
知識點 等式的基本性質
例2 判斷下列等式變形是否正確，并說明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
【課本P102 練習 第2題】
判斷下列等式變形是否正確，并說明理由.
(1)若 x+3=y-1，則 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，則-x+3=-2y+2.
(1)錯誤.
解：
由等式的基本性質2可知，
即 x+9=3y-3.
(x+3)×3=(y-1)×3，
新知探究
知識點 等式的基本性質
做一做
(2)錯誤.
由等式的基本性質2可知，
即 -x+3=-2y+1.
(2x-6)×(-)=(4y-2)×(-),
新知探究
知識點 等式的基本性質
【課本P102 練習 第2題】
判斷下列等式變形是否正確，并說明理由.
(1)若 x+3=y-1，則 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，則-x+3=-2y+2.
做一做
1.若x=y，則下列各式不一定成立的是( )
(A) x-2=y-2
(B) 2-x=2-y
(C)
(D) -2x+1=-1+2y
D
隨堂練習
【課本P102 練習 第3題】
2.下列說法中正確的是( )
(A) 若 ac=bc，則 a=b
(B) 若 ，則 a=-b
(C) 若 x-3=4，則 x=3-4
(D) 若-x=6，則 x=-2
B
隨堂練習
3.下列等式變形正確的是 ( )
(A) xz=yz，則x=y
(B) (m-3)a=(m-3)b，則a=b
(C) 2mx=3my，則2x=3y
(D) (a2+1)x=(a2+1)y，則x=y
D
隨堂練習
4.已知 x(m-1)= 2(m-1),其中x≠2,則m的值
為_____ .
1
隨堂練習
知識點1 等式的基本性質1
1. 圖①中的天平處于平衡狀態，用等式表示是_______；如圖②，
在天平兩邊的托盤中同時加入砝碼 ，天平仍然處于平衡狀態，用等式
表示是_____________.
2.下列不屬于等式的基本性質1的應用的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C. D.由，得
3.運用等式的基本性質進行變形，正確的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
4.已知，根據等式的基本性質變形為，那么， 必
須符合的條件是( )
C
A. B.
C. D.， 為任意有理數
5.（1）已知等式 ，根據等式的基本性質1，等式兩邊________，
得 ___；
（2）已知等式 ，根據等式的基本性質1，等式兩邊_______
_____，得 ___.
同時減2
2
同時
減
7
知識點2 等式的基本性質2
6. 圖①中的天平處于平衡狀態，用等式表示是_______；如圖②，
在天平兩邊的托盤中同時加入相同數量的物體，天平仍然處于平衡狀態，
用等式表示為_________.
7.要得到方程 的解，最簡便的方法是在方程兩邊( )
C
A.同時乘0.7 B.同時乘0.1 C.同時乘10 D.同時加上0.9
8.下列說法正確的是( )
C
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
9.先將方程 的兩邊都除以___，再將方程兩邊同時減去___，
可以得到方程的解是 ___.
3
2
10.［2025株洲期末］若 ，則下列等式不一定成立的是( )
C
A. B.
C. D.
11.整式的值隨取值的變化而變化，下表是當 取不同值時對應
的整式的值：
1
9 6 3 0
則關于的方程 的解為( )
D
A. B. C. D.
12.求下列代數式的值.
（1）若，則 ___；
（2）若，則 ____.
2
13. ［2025長沙期中］“九宮圖”傳說是遠古
時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中
國古代數學史上經常研究這一神話.數學上的“九宮圖”所體
現的是一個 表格，每行的三個數、每列的三個數、斜
對角的三個數之和都相等，也稱為三階幻方.如將，， ，1，3，5，
7，9，11填入下圖，使其構成一個三階幻方，則圖中 的值為___.
2
14.（10分）閱讀材料：
下面是小明利用等式的基本性質將等式 進行變形的過程：
，①
，②
.③
（1）小明得出①的依據是_______________________________________
___________________；
（2）小明開始出錯的步驟是____（填序號），錯誤的原因是_________
____________________；
等式兩邊都加上或減去同一個數（或整式），
等式兩邊仍然相等
③
等式兩邊
都除以，而可能為0
（3）寫出正確的解題過程.
解：，兩邊同時加上4，得 ，即
，兩邊同時減去，得，即 ，兩邊同時除以
，得 .
15.（8分） “*”是規定的一種運算法則： .
（1）求 的值；
解：由題意，得原式 .
（2）若，請運用等式的基本性質求 的值.
解：由題意，得 ，
兩邊同時加上，得 ，
兩邊同時減去2，得 ，
兩邊同時除以2，得，即 .
16.（4分）［教材P106“習題3.2”第6題變式］已知 ,
，請利用等式的基本性質求 的值.
解：
，
由題可知， ，
所以， ，
代入原式，則原式 .
等式基本性質2 等式兩邊都乘同一個數，或除以同一個不為0的數，等式兩邊仍然相等.
等式基本性質1 等式兩邊都加上或減去同一個數（或整式），等式兩邊仍然相等.
課堂小結
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