資源簡介

(共35張PPT)
3.3.2解較復雜的一元一次方程
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.3.2 解較復雜的一元一次方程
副標題：綜合運用變形技巧，攻克復雜方程
背景圖：由多層括號、分數符號和未知數組成的抽象數學圖案，背景色為淺藍色，突出 “復雜” 與 “方程” 的主題。
幻燈片 2：學習目標
熟練掌握解較復雜一元一次方程的完整步驟，能靈活運用去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為 1 等技巧求解方程。
學會分析方程的結構特點，能根據方程形式合理安排步驟順序，提高解題效率。
在解題過程中培養嚴謹的思維習慣，能及時發現并糾正解題中的錯誤，提升解復雜方程的準確性。
幻燈片 3：復習回顧 —— 解簡單方程的步驟
回顧舊知：解簡單一元一次方程的基本步驟為：
移項→合并同類項→系數化為 1（必要時先去括號或去分母）。
舉例鞏固：解方程 \(2x + 5 = 15\)
移項：\(2x = 15 - 5\)
合并同類項：\(2x = 10\)
系數化為 1：\(x = 5\)
引入新問題：當方程中同時出現括號和分母時，如 \(\frac{2x - 1}{3} - 2(x + 1) = 1\)，該如何求解？這就是本節課要學習的 “較復雜的一元一次方程”。
幻燈片 4：解較復雜方程的步驟梳理
完整步驟（按順序選擇使用）：
① 去分母→② 去括號→③ 移項→④ 合并同類項→⑤ 系數化為 1。
步驟依據：
去分母：等式性質 2（兩邊同乘最小公倍數）；
去括號：乘法分配律（注意符號和漏乘）；
移項：等式性質 1（移項要變號）；
合并同類項：整式加減法則；
系數化為 1：等式性質 2（兩邊同除以系數）。
幻燈片 5：示例 1—— 含括號和分母的方程
例題：解方程 \(\frac{2x - 1}{3} - 2(x + 1) = 1\)
分步解析：
步驟 1：去分母（分母為 3，兩邊同乘 3）
得：\(2x - 1 - 6(x + 1) = 3\)（注意：常數項 “1” 也要乘 3，分子多項式不加括號但去括號時需注意）。
步驟 2：去括號（括號前是 - 6，各項變號）
得：\(2x - 1 - 6x - 6 = 3\)。
步驟 3：移項（將含 x 的項移到左邊，常數項移到右邊）
得：\(2x - 6x = 3 + 1 + 6\)。
步驟 4：合并同類項
得：\(-4x = 10\)。
步驟 5：系數化為 1（兩邊同除以 - 4）
得：\(x = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}\)。
檢驗：將\(x = -\frac{5}{2}\)代入原方程，左邊 =\(\frac{2 (-\frac{5}{2}) - 1}{3} - 2 (-\frac{5}{2} + 1) = \frac{-5 - 1}{3} - 2 (-\frac{3}{2}) = -2 + 3 = 1\)，與右邊相等，解正確。
幻燈片 6：示例 2—— 含多層括號的方程
例題：解方程 \(2[3(x - 1) + 1] = 5\)
分步解析：
分析：方程含多層括號，可先去小括號，再去中括號。
步驟 1：去小括號（先算內層）
得：\(2[3x - 3 + 1] = 5\)，化簡括號內：\(2[3x - 2] = 5\)。
步驟 2：去中括號
得：\(6x - 4 = 5\)。
步驟 3：移項
得：\(6x = 5 + 4\)。
步驟 4：合并同類項
得：\(6x = 9\)。
步驟 5：系數化為 1
得：\(x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)。
技巧總結：多層括號從內到外逐層去，每步化簡后再進行下一步，減少計算錯誤。
幻燈片 7：易錯點警示
去分母漏乘項：例如方程 \(\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}\)，兩邊同乘 6 時，常數項 “1” 漏乘，錯得\(3x + 1 = 2x\)（正確應為\(3x + 6 = 2x\)）。
去括號符號錯誤：例如 \(-2(x - 3)\) 錯化為\(-2x - 6\)（正確應為\(-2x + 6\)）。
移項不變號：例如方程\(3x + 5 = 2x - 1\)，移項錯得\(3x + 2x = -1 + 5\)（正確應為\(3x - 2x = -1 - 5\)）。
系數化為 1 時除數錯誤：例如方程\(-3x = 6\)，錯得\(x = 6 ·3 = 2\)（正確應為\(x = 6 ·(-3) = -2\)）。
幻燈片 8：分層練習 —— 基礎題
解方程：
（1）\(\frac{3x - 1}{2} - 1 = \frac{x + 1}{3}\)
（2）\(4(x - 1) - 2(x + 1) = 3\)
參考答案：
（1）去分母得\(3(3x - 1) - 6 = 2(x + 1)\)，解得\(x = 11/7\)；
（2）去括號得\(4x - 4 - 2x - 2 = 3\)，解得\(x = 9/2\)。
學生活動：獨立完成后，同桌交換檢查步驟規范性。
幻燈片 9：分層練習 —— 提高題
解方程：\(\frac{0.1x - 0.2}{0.05} - \frac{x + 1}{0.2} = 3\)
提示：先將分母化為整數（分子分母同乘 100 或 10），原方程可化為\(\frac{10x - 20}{5} - \frac{10x + 10}{2} = 3\)，再化簡求解。
答案：\(x = -3\)。
當\(k\)為何值時，代數式\(2(k - 1)\)的值等于\(1 - (k + 3)\)？
分析：列方程\(2(k - 1) = 1 - (k + 3)\)，解得\(k = 0\)。
幻燈片 10：解題步驟優化技巧
觀察方程結構：若分母為小數，先化為整數；若括號內有同類項，可先化簡再去括號（如\(2(x + 3 - 2x)\)可先化為\(2(-x + 3)\)）。
靈活調整步驟：例如方程\(2(x + 1) = \frac{1}{2}(4x + 6)\)，可先去括號再去分母（或先去分母），根據計算簡便性選擇順序。
每步檢驗：完成一步變形后，快速檢查是否符合規則（如去分母后分母是否全消，去括號后項數是否與原括號內一致）。
幻燈片 11：課堂小結
核心步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數化為 1（按需調整順序）。
關鍵原則：每一步變形都依據等式性質或運算律，確保 “形變值不變”。
易錯點防范：牢記 “去分母乘遍每一項，去括號符號要變全，移項必須要變號，系數化 1 看符號”。
幻燈片 12：課后作業
必做題：解下列方程
（1）\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{5x - 1}{6} = 1\)
（2）\(3[2(x - 1) + 5] = 4x\)
選做題：已知方程\(\frac{x - 1}{2} = 1 + \frac{x}{3}\)的解與關于 x 的方程\(3x - 2a = 0\)的解相同，求 a 的值。
幻燈片 13：結束頁
結束語：解較復雜的一元一次方程如同拆解精密儀器，每一步都需要耐心和規范。掌握這些技巧，你將能解決更復雜的數學問題！
預習提示：下一節課我們將學習用一元一次方程解決實際問題，思考：如何從文字中提煉等量關系？
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
解：去分母，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以7，得
解方程： .
5(3x-1)-2(-x+2)=10x ，
15x-5+2x-4=10x ，
15x+2x-10x=5+4 ，
7x=9，
x= .
課堂導入
例1 解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3).
解 ：去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以 -0.4，得
0.2x-0.4-0.3x-0.4=0.3x+0.9 ，
0.2x-0.3x-0.3x=0.4+0.4+0.9 ，
-0.4x=1.7 ，
還有其他解法嗎？
x= .
新知探究
知識點 解一元一次方程
解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3).
解 ：兩邊同乘以10，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以-4，得
2(x-2)-(3x+4)=3(x+3) ，
2x-4-3x-4=3x+9 ，
2x-3x-3x=9+4+4 ，
-4x=17 ，
x= .
有其他方法.
新知探究
知識點 解一元一次方程
例2 當x用什么數代入時，多項式的 的值與多項式 的值相等？
分析：本題實際是求一個使 與 的值相等的未知數x的值.
=
即要解方程
新知探究
知識點 解一元一次方程
= .
解：由題意可知，要解方程：
去分母，得
去括號，得
移項、合并同類項，得
4(x-10)=3x-8 ，
4x-40=3x-8 ，
x=32 .
故當x用32代入時，多項式的的值與多項式的值相等.
例3 當x用什么數代入時，多項式的 的值與多項式 的值相等？
新知探究
知識點 解一元一次方程
結合上述例題，總結解一元一次方程的基本步驟.
解一元一次方程的基本步驟:
一元一次方程
ax=b(a，b是常數，a≠0)
①去分母
②去括號
③移項
④合并同類項
⑤化系數為1
x=
新知探究
知識點 解一元一次方程
解：(1)去分母，得
去括號，得
移項，得
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
10x-3(3x-1)=6.
10x-9x+3=6.
x=3.
【課本P109 練習 第1題】
隨堂練習
2(2x+1) +7 (x-1)=28.
4x+2+7x-7=28.
x=3.
(2) 去分母，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以11，得
4x+7x=28-2+7.
11x=33.
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【課本P109 練習 第1題】
隨堂練習
(3) 去分母，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以，得
4(2x-1)-3(5x+1) =24.
8x-4-15x-3 =24.
8x-15x =24+4+3.
-7x =31.
x =.
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【課本P109 練習 第1題】
隨堂練習
15x-5+2x-4=10x.
(4) 去分母，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以7，得
5(3x-1)-2(-x+2)=10x.
15x+2x-10x=4+5.
7x=9.
x =
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【課本P109 練習 第1題】
隨堂練習
2.當x用什么數代入時，多項式
的值與多項式3x-1的值相等？
解：由題意可知，要解方程：
去分母，得
去括號，得
移項，得
合并同類項，得
兩邊都除以11，得
故當用x=代入時，多項式的值與多項式3x-1的值相等.
2(2x-3)+10=5(3x-1).
4x-6+10=15x-5.
15x-4x=5+10-6.
11x=9.
x=
【課本P109 練習 第2題】
隨堂練習
知識點1 解較復雜的一元一次方程
1.解方程： .
解：去括號，得___________________________，
移項，得___________________________，
合并同類項，得____________，
兩邊都除以 ，得__________.
2.（12分）解方程：
（1） ;
解：去括號，得 ，移項、合并同類項,得
，
兩邊都除以4,得 .
（2） ;
解：去分母,得 ,
移項、合并同類項,得 ,
兩邊都除以8,得 .
（3） .
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以3，得 .
知識點2 和解方程相關的計算
3.若與互為相反數，則 的值為( )
C
A. B.4 C. D.
4.如果關于的方程與的解相同，那么 的值
是( )
D
A.1 B. C. D.
5. ［2025益陽期末］定義一種新運算“ ”，規定：
.若，則 的值為__.
6.（12分）已知式子，式子 .
（1）若，則滿足條件的 的值為_ ___.
（2）若比大7，則滿足條件的 的值為__.
（3）若與的和為0，求滿足條件的 的值.
解：因為與 的和為0，
所以，解得 .
（4）定義:若，則稱是的“補足數”.若是 的“補足6數”，
求滿足條件的 的值.
解：因為是 的“補足6數”，
所以，解得 ，
所以當時，是 的“補足6數” .
7. 嘉嘉和琪琪在玩一個圓珠（透明）游戲，如圖，三個
標有不同式子的圓珠可以在槽內左右滾動.當圓珠發生碰撞時，相撞圓
珠上的式子的和為.若三個圓珠同時相撞時，，則 的值為___.
8.［2025湘潭期末］已知關于的一元一次方程 的
解為，那么關于 的一元一次方程
的解為________.
9.（12分）解方程：
（1） ；
解：合并同類項，得 ，
兩邊都除以，得 .
（2） ；
解：去括號，得 ，去分母，得
，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
兩邊都除以，得 .
（3） .
解：原方程可化為 ，去分母，得
，
去括號，得 ，移項，得
，合并同類項，得 ，
兩邊都除以10，得 .
10.（4分）已知關于的方程與關于的方程 的
解互為倒數，求 的值.
解：，去分母，得 ，去括號，得
，移項，得 ，
合并同類項，得 ，
兩邊都除以，得 .
因為關于的方程與關于的方程 的解互為倒數，
所以關于的方程的解為，所以 ，
解得 .
11.（4分）解關于的方程 時，小琪在去分母的過程中，右
邊的“”漏乘了公分母4，因而求得方程的解為 ，則原方程正確
的解是多少？
解：依題意，得是方程 的解，所以
.整理，得，解得 ，所
以原方程為，解得，即原方程正確的解是 .
12.（12分） ［2025長沙期末］定義：如果兩個一元一
次方程的解之和為2，我們就稱這兩個方程互為“成雙方程”，例如：方
程和 互為“成雙方程”.
（1）請判斷方程與方程 是否互為“成
雙方程”，并說明理由；
解：方程與方程 互為“成雙方程”，理
由如下：由方程，可得 ，由方程
，可得，所以方程 與方程
的解的和為，所以方程 與方
程 互為“成雙方程”.
（2）若關于的方程與方程 互為“成雙
方程”，求 的值；
解：由方程，可得 ，由方程
，
可得.因為關于的方程 與方程
互為“成雙方程”，所以 ，解得
.
（3）若關于的方程與 互為“成雙方
程”，求關于的方程 的解.
解：由方程，可得.因為 與
互為“成雙方程”，所以 的解為
.
又因為關于的方程 ，可化為
，所以 ，所以
.
解一元一次方程的基本步驟:
一元一次方程
ax=b(a、b是常數，a≠0)
①去分母
②去括號
③移項
④合并同類項
⑤化系數為1
x=
課堂小結
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