資源簡介

(共39張PPT)
3.4.1一元一次方程的應用（1）
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.4.1 一元一次方程的應用（1）
副標題：從實際問題到方程求解
背景圖：日常生活中的場景，如購物算賬、分配物品等，體現數學與生活的聯系，背景色為暖色調，營造輕松的學習氛圍。
幻燈片 2：學習目標
學會分析實際問題中的數量關系，能找出問題中的等量關系。
掌握列一元一次方程解決實際問題的基本步驟，能根據等量關系列出方程并求解。
感受數學在解決實際問題中的作用，提高運用數學知識解決實際問題的能力，培養數學應用意識。
幻燈片 3：情境引入 —— 生活中的數學問題
問題呈現：學校圖書館計劃購買一批新書，若買 20 本故事書和 15 本科技書，共需花費 840 元；已知每本故事書 21 元，那么每本科技書多少元？
引導思考：這個問題中涉及哪些量？它們之間有什么關系？如何用數學方法解決這個問題？
引入主題：在生活中，像這樣的實際問題還有很多，我們可以通過列一元一次方程來解決，這就是本節課要學習的內容 —— 一元一次方程的應用。
幻燈片 4：列一元一次方程解應用題的基本步驟
審：認真審題，理解題意，明確問題中的已知量、未知量以及它們之間的關系。
設：設未知數，一般設要求的未知量為 x，也可以設與未知量相關的其他量為 x（設元時要寫明單位）。
列：根據題目中的等量關系，列出一元一次方程。
解：解所列的方程，求出未知數的值。
驗：檢驗所求的解是否符合題意（既要檢驗是否是方程的解，也要檢驗是否符合實際情況）。
答：寫出答案（要注明單位）。
口訣總結：審清題意設未知，找出等量列方程，求解檢驗再作答，步驟完整要牢記。
幻燈片 5：示例 1—— 購物問題
例題：某商店賣出兩雙運動鞋，售價都是 120 元，其中一雙盈利 20%，另一雙虧損 20%。在這次買賣中，這家商店是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？
分步解析：
審：已知兩雙鞋售價都是 120 元，一雙盈利 20%，一雙虧損 20%，求總的盈利或虧損情況。這里的盈利和虧損是相對于成本價而言的。
設：設盈利 20% 的那雙鞋的成本價為 x 元，虧損 20% 的那雙鞋的成本價為 y 元。
列：根據 “售價 = 成本價 ×（1 + 利潤率）”，對于盈利的鞋，可列方程：x + 20% x = 120，即 1.2x = 120；對于虧損的鞋，可列方程：y - 20% y = 120，即 0.8y = 120。
解：解第一個方程，得 x = 120÷1.2 = 100；解第二個方程，得 y = 120÷0.8 = 150。
驗：兩雙鞋的總成本為 100 + 150 = 250 元，總售價為 120 + 120 = 240 元。因為 250 > 240，所以虧損了，虧損金額為 250 - 240 = 10 元，符合實際情況。
答：這家商店虧損了，虧損了 10 元。
幻燈片 6：示例 2—— 行程問題（相遇問題）
例題：A、B 兩地相距 480 千米，甲、乙兩車分別從 A、B 兩地同時出發，相向而行。甲車的速度是每小時 65 千米，乙車的速度是每小時 55 千米，經過幾小時兩車相遇？
分步解析：
審：已知 A、B 兩地距離，甲、乙兩車的速度以及行駛方向（相向而行），求相遇時間。
設：設經過 x 小時兩車相遇。
列：根據 “甲車行駛的路程 + 乙車行駛的路程 = A、B 兩地的距離”，可列方程：65x + 55x = 480。
解：合并同類項得 120x = 480，系數化為 1 得 x = 4。
驗：經過 4 小時，甲車行駛的路程為 65×4 = 260 千米，乙車行駛的路程為 55×4 = 220 千米，兩車行駛路程之和為 260 + 220 = 480 千米，與 A、B 兩地距離相等，符合題意。
答：經過 4 小時兩車相遇。
幻燈片 7：常見等量關系梳理
購物問題：總價 = 單價 × 數量；利潤 = 售價 - 成本價；利潤率 = 利潤 ÷ 成本價 ×100%。
行程問題：路程 = 速度 × 時間；相遇問題：甲路程 + 乙路程 = 總路程；追及問題：快者路程 - 慢者路程 = 初始距離。
工程問題：工作量 = 工作效率 × 工作時間；總工作量 = 各部分工作量之和（通常把總工作量看作 1）。
和差倍分問題：較大量 = 較小量 + 多余量；總量 = 倍數 × 倍量。
幻燈片 8：課堂練習 —— 基礎題
某班為獎勵在數學競賽中獲獎的同學，買了若干本課外讀物，如果每人送 3 本，還余 8 本；如果每人送 5 本，則最后一人得到的課外讀物不足 3 本。求該班獲獎人數及所買課外讀物的本數。
答案及解析：設獲獎人數為 x 人，則所買課外讀物有（3x + 8）本。根據題意得：0 ≤ 3x + 8 - 5 (x - 1) < 3，解得 5 < x ≤ 6.5，因為 x 為正整數，所以 x = 6，3x + 8 = 26。即獲獎人數為 6 人，所買課外讀物為 26 本。
學生活動：獨立完成后，小組內交流解題思路和過程，教師巡視指導。
幻燈片 9：課堂練習 —— 提高題
一艘船從甲碼頭順流而下到乙碼頭，再從乙碼頭逆流返回甲碼頭，共用去 9 小時。已知船在靜水中的速度是每小時 25 千米，水流速度是每小時 5 千米，求甲、乙兩碼頭之間的距離。
答案及解析：設甲、乙兩碼頭之間的距離為 x 千米。順流速度為 25 + 5 = 30 千米 / 小時，逆流速度為 25 - 5 = 20 千米 / 小時。根據時間 = 路程 ÷ 速度，可列方程：x÷30 + x÷20 = 9，解得 x = 108。即甲、乙兩碼頭之間的距離為 108 千米。
學生活動：嘗試獨立完成，教師選取典型解法進行展示和講解。
幻燈片 10：易錯點警示
設未知數不寫單位：在設未知數時，忘記注明單位，導致后續計算和作答單位混亂。
等量關系找錯：這是列方程解應用題的關鍵，若等量關系錯誤，整個解題過程都會出錯。例如在相遇問題中，錯誤地將甲速度 + 乙速度 = 總路程作為等量關系。
檢驗環節缺失：求出未知數的值后，沒有檢驗是否符合實際情況，導致出現不合理的答案。
作答不完整：忘記寫單位或答案表述不完整，不符合規范。
幻燈片 11：課堂小結
基本步驟：審、設、列、解、驗、答。
關鍵環節：準確找出等量關系，這是列方程的基礎。
常見等量關系：掌握購物、行程、工程等問題中的基本等量關系，靈活運用。
注意事項：設未知數要寫單位，檢驗要兼顧方程解和實際意義，作答要完整規范。
幻燈片 12：課后作業
基礎題：某工廠計劃生產一批零件，原計劃每天生產 40 個，15 天完成任務。實際每天比原計劃多生產 10 個，實際多少天完成任務？
提高題：甲、乙兩人分別從相距 100 千米的 A、B 兩地同時出發，相向而行，甲的速度是每小時 6 千米，乙的速度是每小時 4 千米。甲帶了一只狗，狗的速度是每小時 10 千米，狗與甲同時出發，碰到乙時就掉頭往甲這邊跑，碰到甲時又掉頭往乙這邊跑，直到甲、乙兩人相遇。這只狗一共跑了多少千米？
拓展題：請你結合生活實際，編一道可以用一元一次方程解決的應用題，并解答。
幻燈片 13：結束頁
結束語：通過本節課的學習，我們知道了如何用一元一次方程解決生活中的實際問題，希望同學們在今后的生活中，能多觀察、多思考，用數學知識解決更多的實際問題！
預習提示：下一節課我們將學習更復雜的一元一次方程應用問題，敬請期待！
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能結合不同的情境找出相等的數量關系，引入適當的未知數列一元一次方程，解決實際問題，建立模型觀念.
2.體驗建立方程模型解決問題的一般過程，體會方程思想.
學習目標
一元一次方程是一種重要的數學模型. 利用等量關系建立一元一次方程，可以幫助我們解決一些實際問題.
課堂導入
一艘輪船在甲、乙兩個碼頭之間航行，順水航行時需4h，逆水航行時需5h. 已知水流速度為2km/h，則輪船在靜水中的航行速度是多少？
新知探究
知識點1 行程問題
思考
輪船順水航行的速度=輪船在靜水中的航行速度+水流速度；
輪船逆水航行的速度=輪船在靜水中的航行速度 – 水流速度.
設輪船在靜水中的航行速度為x km/h ，
則
輪船順水航行的速度為_______ km/h，
逆水航行的速度為_______ km/h.
(x+2)
(x-2)
新知探究
知識點1 行程問題
輪船順水航行的路程=輪船逆水航行的路程
在航行過程中，你還能找到什么等量關系？
設輪船在靜水中的航行速度為x km/h ，則
輪船順水航行的速度為(x+2)km/h，
逆水航行的速度為(x-2) km/h.
甲
乙
順水航行
逆水航行
新知探究
知識點1 行程問題
甲
乙
順水航行
逆水航行
輪船順水航行的路程=輪船逆水航行的路程
4h
5h
(x+2)km/h
(x-2)km/h
4(x+2)
5(x-2)
=
解得
x=18 .
因此，輪船在靜水中的航行速度為18 km/h .
新知探究
知識點1 行程問題
解:設經過 x min，兩人首次相遇.
根據題意，得 350x+250x=400.
解得 x=.
答:經過 min，兩人首次相遇.
運動場的跑道一圈長400 m. 小健練習騎自行車，平均每分鐘騎350 m；小康練習跑步，平均每分鐘跑250 m.兩人從同一處同時反向出發，經過多少時間首次相遇
知識點1 行程問題
新知探究
做一做
某房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16把，如果椅子腿數與凳子腿數的和為60，試問：有幾張椅子和幾把凳子？
分析：題目中的等量關系：
椅子數＋凳子數＝16，
椅子腿數＋凳子腿數＝60 .
新知探究
知識點2 和、差、倍、分問題
解：設有x張椅子，則有(16-x)把凳子.
根據題意，得 4x+3(16-x)=60 .
解得 x=12 .
因此，凳子有 16-12=4 (把) .
答：有12張椅子，4把凳子.
新知探究
知識點2 和、差、倍、分問題
某房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16把，如果椅子腿數與凳子腿數的和為60，試問：有幾張椅子和幾把凳子？
1.兒子今年13歲，父親今年40歲，是否有哪一年父親的年齡恰好是兒子年齡的四倍？為什么？
解：設 x 年后父親的年齡恰好是兒子年齡的4倍.
根據題意，得 4（13 + x）= 40 + x.
解得 x = – 4.
答： 4 年前父親的年齡恰好是兒子年齡的4倍.
新知探究
知識點2 和、差、倍、分問題
做一做
刺繡是我國民間傳統手工藝之一. 我國刺繡主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類. 若刺繡一件作品，甲單獨繡需要15天才能完成，乙單獨繡需要12天才能完成. 現在甲先單獨繡1天，接著乙又單獨繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡. 試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
分析：設總工作量為1，則甲每天完成工作總量的，乙每天完成工作總量的. 若設甲、乙兩人合繡了x天，則甲共繡了(x+1) 天，乙共繡了(x+4) 天.
新知探究
知識點3 工程問題
題中有什么等量關系？
甲完成的工作量+乙完成的工作量=總工作量
新知探究
知識點3 工程問題
刺繡是我國民間傳統手工藝之一. 我國刺繡主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類. 若刺繡一件作品，甲單獨繡需要15天才能完成，乙單獨繡需要12天才能完成. 現在甲先單獨繡1天，接著乙又單獨繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡. 試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
解：設剩下的工作由甲、乙兩人合繡 x 天可以完成，
則根據題意，得
解得 x=4 .
答：甲、乙兩人再合繡4天就可以完成這件作品.
甲完成的工作量+乙完成的工作量=總工作量
新知探究
知識點3 工程問題
一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設需要12天，由乙工程隊單獨鋪設需要24天. 如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線
新知探究
知識點3 工程問題
做一做
用流程圖總結用一元一次方程解決有關實際問題的具體步驟：
實際問題
分析問題
找出等量關系
設出未知數
列出方程
檢驗解的合理性
解方程
新知探究
知識點3 工程問題
這一過程一般包括以下幾個步驟：
1. 審：審題，分析題目中的數量關系；
2. 設：設適當的未知數，并表示未知量；
3. 列：根據題目中的數量關系列方程；
4. 解：解這個方程；
5. 答：檢驗并作答.
新知探究
知識點3 工程問題
【課本P113 練習 第1題】
1. (1) 一個長方形的周長是60cm，且長比寬多5cm，求該長方形的長；
解：(1) 設長方形的長為 x cm，則寬為(x-5)cm.
根據題意，得 2x+2(x-5)=60.
解得 x=12.5.
答：該長方形的長為12.5 cm.
隨堂練習
解：設長方形的寬為x cm，則長為 x cm.
根據題意，得 2x+2× x=60.
解得 x=12.
答：該長方形的寬為12 cm.
隨堂練習
【課本P113 練習 第1題】
1. (2) 一個長方形的周長是60cm，且長與寬的比是3∶2，求該長方形的寬.
2. 足球比賽的記分規則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分. 某隊在某次比賽中共踢14場球，負了5場，共得19分. 問：該隊共勝多少場？
解：設該隊共勝x場，則平了(14-5-x) 場.
根據題意，得 3x+(14-5-x)=19 .
解得 x=5.
答：該隊共勝5場.
【課本P113 練習 第2題】
隨堂練習
知識點1 和差倍分問題
1.已知的3倍比的大16，則 的值為( )
B
A.11 B.10 C.9 D.8
2.根據下圖中的對話，算出小亮今年的年齡為( )
A
A.8歲 B.6歲 C.10歲 D.7歲
3. ［2024無錫中考］《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”
問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從
北海飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經
過多少天相遇？設經過 天相遇，則下列方程正確的是( )
A
A. B. C. D.
4.［2024貴州中考］在元朝朱世杰所著的《算術啟蒙》中，記載了一道
題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則
快馬追上慢馬需要的天數是____.
20
5.［2025邵陽期末］某校七年級學生分別到云山國家森林公園研學教育
基地、武岡國防教育基地進行研學，共689人，到云山國家森林公園研
學教育基地的人數是到武岡國防教育基地人數的2倍多56.設到武岡國防
教育基地的人數為 ，可列方程為__________________.
6.（4分）［2024吉林中考］鋼琴素有“樂器之王”的美稱，鍵盤上白色
琴鍵和黑色琴鍵共有88個，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個.求白色琴鍵和
黑色琴鍵的個數.
解：設黑色琴鍵有個，則白色琴鍵有 個，由題意，得
，解得， （個）.
答：白色琴鍵有52個，黑色琴鍵有36個.
知識點2 工程問題
7.［2025常德期末］小明根據方程“ ”編寫了一道
應用題，請你把空缺的部分補充完整.甲、乙兩名工人生產零件，已知
甲工人每天比乙工人多生產5個零件，_____________________________
______________________，請問甲工人每天生產多少個零件？
（設甲工人每天生產 個零件）
甲工人工作5天，乙工人工作10
天，共生產了400個零件
8.（4分）某隧道貫穿工程由甲、乙兩個工程隊負責施工，甲工程隊獨
立工作20天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作5天，這25天共掘
進.已知甲工程隊平均每天比乙工程隊多掘進 ，求甲、乙兩個
工程隊平均每天分別掘進多少米.
解：設甲工程隊平均每天掘進，則乙工程隊平均每天掘進 .
由題意，得 ，
解得，所以 .
答：甲工程隊平均每天掘進，乙工程隊平均每天掘進 .
9.一個五位數A的萬位數字為3，千位數字為，百位數字為 ，十位數字
為，個位數字為，可表示為 ，它的2倍與另一個五位數
相等，則A這個五位數為________.
37 499
10.某校今年3月開展植樹活動.按班級順序領取樹苗，七（1）班先領取
全部樹苗的，七（2）班領取100棵后，再領取余下部分的 ，兩班領
取的樹苗棵數相等，則樹苗的總棵數為_______.
9 000
11.整理一批圖書，由1人做要完成.現計劃由一部分人先做 ，然
后增加6人與他們一起做 ，完成這項工作.假設這些人的工作效率相同，
則應先安排___人工作.
3
12.（8分）［2025長沙期末］為提高學生的計算能力，五好中學七年級
在元旦之前組織了一次數學速算比賽.速算規則如下：速算試題形式為
計算題，共20道題，答對一題得5分，不答或答錯一題倒扣1分.小明代
表班級參加了這次比賽，請解決下列問題：
（1）如果小明的最后得分為82分，那么他計算對了多少道題？
解：設小明計算對了道題，根據題意，得 ，解得
.
答：小明計算對了17道題.
（2）小明的最后得分可能為91分嗎？如果不可能，請說明理由.
解：不可能，
理由如下：設小明計算對了 道題，
根據題意，得 ，
解得 .因為18.5不是整數，
所以小明的最后得分不可能為91分.
13.（12分） 如圖所示
是某年2月份的月歷，“凹型”陰影部分
在月歷中移動，必須覆蓋其中五個數.
（1）設覆蓋的最小數為 ，請用式子表
示所覆蓋的五個數之和.
解： .
故所覆蓋的五個數之和是 .
（2）甲同學所覆蓋的五個數之和為86，請求出所覆蓋的五個數中最大
的數.
解：根據題意，得 ，
解得，所以 .
故所覆蓋的五個數中最大的數是21.
（3）乙同學想覆蓋的五個數之和為98，能辦到嗎？若能，請求出這五
個數；若不能，請說明理由.
解：不能辦到，理由如下：
假設所覆蓋的五個數之和為98，
則，解得 .
因為是整數，所以 不符合題意，所以不能辦到.
用一元一次方程解決有關實際問題的步驟：
實際問題
分析問題
找出等量關系
設出未知數
列出方程
檢驗解的合理性
解方程
課堂小結
謝謝觀看！

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