資源簡介

(共39張PPT)
3.4.2一元一次方程的應用（2）
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.4.2 一元一次方程的應用（2）
副標題：復雜實際問題的方程解法
背景圖：展示工程施工、水電費繳費單等場景，體現本節課要解決的實際問題類型，背景色保持與上一節課協調的暖色調。
幻燈片 2：學習目標
能分析工程問題、分段計費問題等較復雜實際問題中的數量關系，準確找出等量關系。
熟練運用列一元一次方程解應用題的步驟，解決上述復雜實際問題。
進一步體會數學與生活的緊密聯系，提升分析和解決問題的能力，增強數學應用信心。
幻燈片 3：復習回顧
列一元一次方程解應用題的基本步驟：審、設、列、解、驗、答。
上節課學過的等量關系：購物問題、行程問題中的相關等量關系。
引入：今天我們將運用這些知識，解決工程問題、分段計費問題等更復雜的實際問題。
幻燈片 4：示例 1—— 工程問題
例題：一項工程，甲單獨做需要 10 天完成，乙單獨做需要 15 天完成。甲先做 3 天后，剩下的工程由甲、乙兩人合作完成，還需要多少天？
分步解析：
審：已知甲、乙單獨完成工程的時間，甲先做 3 天，剩余部分兩人合作，求合作所需時間。通常把總工作量看作 1。
設：設甲、乙兩人合作還需要 x 天完成。
列：甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{15}\)。甲先做 3 天的工作量為\(3\times\frac{1}{10}\)，兩人合作 x 天的工作量為\((\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x\)。根據 “甲先做的工作量 + 兩人合作的工作量 = 總工作量”，可列方程：\(3\times\frac{1}{10}+(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})x = 1\)。
解：去分母，兩邊同乘 30 得\(9 + (3 + 2)x = 30\)，即\(9 + 5x = 30\)，移項得\(5x = 21\)，系數化為 1 得\(x = 4.2\)。
驗：甲先做 3 天的工作量為\(3\times\frac{1}{10}=\frac{3}{10}\)，兩人合作 4.2 天的工作量為\((\frac{1}{10}+\frac{1}{15})\times4.2 = (\frac{3 + 2}{30})\times4.2=\frac{5}{30}\times4.2 = 0.7\)，總工作量為\(\frac{3}{10}+0.7 = 1\)，符合題意。
答：還需要 4.2 天。
幻燈片 5：工程問題相關知識
基本等量關系：工作量 = 工作效率 × 工作時間；總工作量 = 各部分工作量之和（通常設總工作量為 1）。
工作效率：單位時間內完成的工作量，如甲單獨做需 10 天完成，則甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)。
合作效率：合作時的工作效率等于各參與方工作效率之和。
幻燈片 6：示例 2—— 分段計費問題
例題：某市居民生活用電收費標準如下：每月用電量不超過 100 度時，每度 0.5 元；超過 100 度的部分，每度 0.6 元。某戶居民十月份繳納電費 62 元，那么該戶居民十月份用電量是多少度？
分步解析：
審：已知用電收費的分段標準，以及該戶居民十月份的電費，求用電量。需要判斷用電量是否超過 100 度。
設：設該戶居民十月份用電量是 x 度。
判斷范圍：若 x≤100，電費最多為 100×0.5 = 50 元，而該戶繳納電費 62 元＞50 元，所以 x＞100。
列：根據 “100 度以內的費用 + 超過 100 度部分的費用 = 總電費”，可列方程：100×0.5 + (x - 100)×0.6 = 62。
解：計算得 50 + 0.6x - 60 = 62，即 0.6x - 10 = 62，移項得 0.6x = 72，系數化為 1 得 x = 120。
驗：100 度的費用為 50 元，超過 100 度的 20 度費用為 20×0.6 = 12 元，總費用為 50 + 12 = 62 元，符合題意。
答：該戶居民十月份用電量是 120 度。
幻燈片 7：分段計費問題要點
分段標準：明確不同區間的計費標準，確定所求解的量在哪個區間。
總費用計算：總費用等于各區間費用之和。
注意事項：先判斷未知量所在的區間，再根據對應區間的計費方式列方程。
幻燈片 8：課堂練習 —— 基礎題
一項工程，甲單獨做需 15 天完成，乙單獨做需 20 天完成，甲、乙合作 5 天后，剩下的工程由乙單獨完成，還需要多少天？
答案及解析：設還需要 x 天。總工作量為 1，甲的效率為\(\frac{1}{15}\)，乙的效率為\(\frac{1}{20}\)。根據題意列方程：\(5\times(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})+\frac{1}{20}x = 1\)，解得 x = \(\frac{35}{3}\approx11.67\)。即還需要\(\frac{35}{3}\)天。
學生活動：獨立完成后，同桌互相檢查，重點檢查等量關系的確定和方程的列寫。
幻燈片 9：課堂練習 —— 提高題
某城市自來水公司為鼓勵居民節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12 噸以內（含 12 噸）每噸 2.5 元；超過 12 噸的部分，每噸 3.8 元。小明家十一月份的水費是 45.2 元，他家十一月份用水多少噸？
答案及解析：設小明家十一月份用水 x 噸。12 噸的費用為 12×2.5 = 30 元，45.2＞30，所以 x＞12。列方程：12×2.5 + (x - 12)×3.8 = 45.2，解得 x = 16。即他家十一月份用水 16 噸。
學生活動：小組討論解題思路，派代表講解，教師點評。
幻燈片 10：常見復雜問題等量關系補充
工程問題：合作時間 = 剩余工作量 ÷ 合作效率。
分段計費問題：總費用 = 各段費用相加，需先確定計費段。
數字問題：如一個兩位數，十位數字為 a，個位數字為 b，則這個兩位數表示為 10a + b。
幻燈片 11：易錯點警示
工程問題中工作量設錯：忘記設總工作量為 1，導致無法計算工作效率。
分段計費問題中區間判斷錯誤：沒有先判斷未知量所在區間，直接按某一段計費標準列方程，導致錯誤。
單位不統一：在涉及不同單位的問題中，沒有統一單位，如時間單位有小時和天，需統一后再列方程。
幻燈片 12：課堂小結
工程問題：掌握總工作量設為 1 的方法，利用工作量、工作效率、工作時間的關系列方程。
分段計費問題：明確分段標準，判斷未知量所在區間，再根據總費用等于各段費用之和列方程。
仍需牢記：列一元一次方程解應用題的步驟，審清題意是關鍵，檢驗要關注實際意義。
幻燈片 13：課后作業
基礎題：一項工作，甲單獨做需 20 小時完成，乙單獨做需 12 小時完成。現在先由甲單獨做 4 小時，剩下的部分由甲、乙合作，還需要幾小時完成？
提高題：某地出租車收費標準：3 千米以內（含 3 千米）收費 8 元；超過 3 千米的部分，每千米 1.5 元（不足 1 千米按 1 千米計算）。某人乘坐出租車行駛了 x 千米（x 為大于 3 的整數），付費 14 元，求 x 的值。
拓展題：編一道工程問題或分段計費問題的應用題，并運用一元一次方程解答。
幻燈片 14：結束頁
結束語：本節課我們學習了用一元一次方程解決工程問題和分段計費問題，這些問題在生活中很常見，希望大家能靈活運用所學知識解決它們。
預習提示：下一節課我們將學習一元一次方程在其他領域的應用，繼續探索數學的奧秘！
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能結合不同的情境找出相等的數量關系，引入適當的未知數列一元一次方程，解決實際問題，建立模型觀念.
2.體驗建立方程模型解決問題的一般過程，體會方程思想.
學習目標
甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，甲速度為20 km/h，乙速度為30 km/h，出發 x小時后，兩人相遇.
那么甲車行了______km，乙車行了______km
A、B兩地相距_________km.若A、B兩站間的路程為500km，可得方程______________，求得x=____.
20x
30x
20x+30x
20x+30x=500
10
課堂導入
為進一步感悟雷鋒胸懷祖國、服務人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時出發去參觀雷鋒紀念館．
課堂導入
已知他倆的家到雷鋒紀念館的路程相等，并且小楠每小時騎10km，他在上午10時到達，小華每小時騎15km，他在上午9時30分到達. 他倆的家到雷鋒紀念館的路程是多少？
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
思考
小楠家
小華家
雷鋒紀念館
同時出發，距離相等
10 km/h
上午10時到
15 km/h
上午9時30分到
本問題中有什么等量關系？
小楠花的時間－小華花的時間=0.5h
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
若設他倆的家到雷鋒紀念館的路程為 x km，
則根據等量關系，得
解得 x=15 .
因此，他倆的家到雷鋒紀念館的路程為15 km.
時間=路程÷速度
路程=時間×速度
小楠花的時間－小華花的時間=0.5h
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
應用一元一次方程解決問題的步驟：
1. 審：審題，分析題目中的數量關系；
2. 設：設適當的未知數，并表示未知量；
3. 列：根據題目中的數量關系列方程；
4. 解：解這個方程；
5. 答：檢驗并作答.
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
某人騎自行車去工廠上班，若每小時騎10 km，可早到6 min ；若每小時騎 8 km，就遲到6 min，則他家到工廠的路程是_______.
8 km
做一做
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
例1 某校七年級甲班有45人，乙班有39人. 現要從甲、乙兩班各抽調一些同學去參加“歌唱祖國”歌詠比賽，已知從甲班抽調的人比乙班多1人，此時甲班剩余人數恰好是乙班剩余人數的2倍. 請問：從甲、乙兩班各抽調了多少人參加歌詠比賽？
分析：本題中的等量關系：
(1)甲班抽調的人數-乙班抽調的人數=1；
(2)抽調后甲班剩余人數=乙班剩余人數×2 .
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
解：設從甲班抽調了x人，那么從乙班抽調了(x-1)人.
根據題意，得45-x=2[39-(x-1)].
解得x=35 .
于是，x-1=35-1=34 .
答：從甲班抽調了35人，從乙班抽調了34人參加歌詠比賽.
例1 某校七年級甲班有45人，乙班有39人. 現要從甲、乙兩班各抽調一些同學去參加“歌唱祖國”歌詠比賽，已知從甲班抽調的人比乙班多1人，此時甲班剩余人數恰好是乙班剩余人數的2倍. 請問：從甲、乙兩班各抽調了多少人參加歌詠比賽？
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
某班部分同學周日到公園游玩，休息時發現路邊有若干條長凳，如果每3個同學坐一條長凳，則剛好還剩下一條長凳無人坐；如果每2個同學坐一條長凳，則還剩3個同學沒有凳子坐. 路邊共有多少條長凳
解：設路邊共有x條長凳. 根據題意，得
3(x-1)=2x+3 ，
解得 x=6 .
答：路邊共有6條長凳.
做一做
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
例2 現有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側，
公路的兩端各栽1棵，并且相鄰兩棵樹的間隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，則樹苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，則樹苗正好用完.
根據以上方案，請算出原有樹苗的棵數和這段路的長度.
觀察下面植樹示意圖，想一想：
相鄰兩樹的間隔長、應植樹棵數與路長有怎樣的數量關系？
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
路長=相鄰兩樹的間隔×(種植的樹苗數-1)
設原有樹苗x棵，由題意可得下表：
方案 間隔/m 種植的樹苗數 路長/m
一 5
二 5.5
x+21
5(x+21-1)
x
5.5(x-1)
方案一和方案二的路長相等嗎？
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
設原有樹苗x棵，由題意可得下表：
方案 間隔/m 種植的樹苗數 路長/m
一 5 x+21 5(x+21-1)
二 5.5 x 5.5(x-1)
解：設原有樹苗x棵.
根據題意，得 5(x+21-1)=5.5(x-1) .
解得 x = 211.
因此，原有樹苗211棵，這段公路長為
5×(211+21-1)=5×231=1155(m) .
答：原有樹苗211棵，這段公路長1155m.
相等
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
1.在一個圓形花壇的外圍種植長春花，若每隔0.5 m種植1株，最后還剩3株；若每隔0.4 m種植1株，還需要購置12株，則原有長春花_____株.
63
做一做
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
2.綠化環境，美化生活. 現有樹苗若干棵，計劃栽在一段公路的一側，要求路的兩端各栽1棵.若每隔2m栽1棵，則樹苗缺150棵；若每隔3m栽1棵，則樹苗多出50棵. 求這段公路的長.
解:設這段公路的長為x m.
根據題意，得
解得x=1 200.
答:這段公路的長為1200 m.
新知探究
知識點 利用一元一次方程解決實際問題
1.一隊學生步行去參加社會公益活動，每小時走4km，學生甲因故推遲30 min 出發，為趕上隊伍，甲以6 km/h的速度追趕，試問：甲用多長時間就可追上隊伍
解：設甲用t h就可追上隊伍.
根據等量關系，得4(0.5+t)=6t.
解得 t=1.
答：甲用1 h就可追上隊伍.
【課本P115 練習 第1題】
隨堂練習
2. 某村一條道路一側裝有路燈56盞（兩端都有），且相鄰兩盞燈的距離為30m. 為進一步建設美麗鄉村，該村計劃將該道路的路燈全部更換為亮度更強的節能燈，且相鄰兩盞燈的距離變為25m，則需要安裝節能燈多少盞？
路長=相鄰兩燈的間隔×(路燈的數量-1)
本問題中有什么等量關系？
【課本P115 練習 第2題】
隨堂練習
解：設需要安裝節能燈x盞，
根據等量關系，得 25×(x-1)=30×(56-1) .
解得 x=67 .
答：需要安裝節能燈67盞.
路長=相鄰兩燈的間隔×(路燈的數量-1)
隨堂練習
3.甲、乙兩列火車從相距480 km的A，B兩地同時出發，相向而行，甲火車每小時行駛120 km，乙火車每小時行駛100 km，經過多長時間兩列火車相距40 km？
隨堂練習
隨堂練習
知識點1 行程問題
1.A，B兩地相距 ，甲、乙兩人分別從A，B兩地同時出發，相向
而行，經過相遇.若甲的步行速度是 ，乙的步行速度是
.從出發到相遇的過程中，下列說法不正確的是( )
C
A.甲、乙所走的路程之和為
B.甲、乙步行所用時間相同
C.甲、乙所走路程相同
D.步行時間滿足方程
2.［2025婁底期末］一艘輪船往返于A、B兩港之間.順水航行需 ，逆
水航行需，水流速度是 .則輪船在靜水中的速度是( )
B
A. B. C. D.
3.（4分）小海和樂樂從學校出發沿相同的路線去圖書館，小海先行2分
鐘后樂樂再出發.已知樂樂的平均速度為， 后追上小海，
求小海的平均速度.
解：設小海的平均速度為 ，
根據題意，得,解得 .所以小海的平均速度是
.
知識點2 計數間隔問題
4.［教材P114“例4”變式］某市在城區內某一段道路的一側全部栽上梧
桐樹，要求路的兩端各栽一棵，且每相鄰2棵樹的間隔相等，如果每隔
栽1棵，則樹苗缺21棵；如果每隔 栽1棵，則樹苗正好用完.設原
有樹苗 棵，根據題意列方程，正確的是( )
A
A. B.
C. D.
知識點3 調配、配套問題
5.兩個牧童放羊，甲對乙說：“把你的羊給我1只，我的羊的只數正好是
你的羊的2倍.”乙對甲說：“最好還是把你的羊給我1只，這樣我與你的
羊的只數就相等了.”則甲有___只羊.
7
6.甲組有33人，乙組有27人，從乙組調若干人到甲組后，甲組的人數恰
好是乙組人數的3倍，則變化后乙組有____人.
15
7.（4分）張叔叔接了一筆定制餐桌的訂單，一套餐桌由1張桌子和4把
椅子組成，的木材可制作5張桌子，或者制作10把椅子.現有
的木材，正好將它們全部用完，且桌子與椅子正好配套，問張叔叔制作
了幾套餐桌？
解：設用的木材制作桌子，則用 的木材制作椅子，
由題意得，解得 ，
所以用的木材制作桌子，共可以制作 （張）桌子，
所以張叔叔制作了20套餐桌.
8.某市對迎賓大道進行綠化，計劃把某一段公路的一側全部栽上桂花樹，
要求路的兩端各栽一棵，并且每相鄰兩棵樹的間隔相等.若每隔 栽1
棵，則樹苗缺15棵；若每隔 栽1棵，則樹苗缺1棵，則原有樹苗的棵
數是( )
B
A.41 B.42 C.43 D.44
9.某車間有60名工人，生產一種螺栓和螺帽，平均每人每小時生產螺栓
15個或螺帽10個，應分配____人生產螺栓,____人生產螺帽，才能使生
產的螺栓和螺帽剛好配套.（每個螺栓配兩個螺帽）
15
45
10.（4分） 《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：
今有甲發長安，五日至齊，乙發齊，七日至長安，今乙發已先二日，甲
仍發長安.請問甲經過多少日與乙相逢？
解：設甲經過日與乙相逢，則乙出發 日.根據題意，得
，解得 .
答：甲經過 日與乙相逢.
11.（8分）某公司銷售甲、乙兩種運動鞋，去年這兩種鞋共賣出11 000
雙.今年甲種運動鞋賣出的數量比去年增加了 ，乙種運動鞋賣出的數
量比去年減少了，且這兩種鞋的總銷量增加了 .
（1）求去年甲、乙兩種運動鞋各賣了多少雙；
解：設去年甲種運動鞋賣了雙，則乙種運動鞋賣了 雙，
由題意，得，解得 ，
所以 .
答：去年甲種運動鞋賣了7 000雙，乙種運動鞋賣了4 000雙.
（2）某制鞋廠組織工人生產甲、乙兩種運動鞋.原計劃安排 的工人生
產甲種運動鞋，現抽調其中的16人去生產乙種運動鞋，已知每名工人一
天可生產甲種運動鞋6雙或乙種運動鞋4雙，若調配后生產的兩種運動鞋
的數量相等，求該鞋廠工人的人數.
解：設該鞋廠有名工人，則生產甲種運動鞋的人數為 ，生產乙
種運動鞋的人數為，由題意，得 ，
解得 .所以該鞋廠工人的人數為60.
12.（10分） 如圖所示，在數軸上有兩個邊長相同的正
方形.已知正方形的頂點，分別對應數，；正方形
的頂點，分別對應數3，4.現正方形 以每秒1個單位長度的速度
向右運動，正方形 以每秒0.5個單位長度的速度也向右運動.
（1）后，點對應的數是____，點 對應的數是___.
4
（2）設運動時間為 .
①經過多長時間后正方形剛好追上正方形（即邊 與邊
重合）？
解：依題意，得 ，
解得.所以經過后正方形剛好追上正方形
（即邊與邊 重合）.
②正方形從剛好追上正方形到完全超過需要___ .
4
應用一元一次方程解決問題的步驟：
1. 審：審題，分析題目中的數量關系；
2. 設：設適當的未知數，并表示未知量；
3. 列：根據題目中的數量關系列方程；
4. 解：解這個方程；
5. 答：檢驗并作答.
課堂小結
謝謝觀看！

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