資源簡介

3.5 認識二元一次方程組
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.5 認識二元一次方程組
副標題：從實際問題到方程組
背景圖：展示含有兩個未知量的生活場景，如購買兩種水果的稱重畫面、兩種物品的價格標簽等，背景色采用清新的藍綠色調，激發學生興趣。
幻燈片 2：學習目標
理解二元一次方程和二元一次方程組的概念，能準確識別二元一次方程和二元一次方程組。
知道二元一次方程的解和二元一次方程組的解的含義，會檢驗一組數是否為二元一次方程（組）的解。
經歷從實際問題中抽象出二元一次方程組的過程，體會二元一次方程組在表示數量關系中的作用，感受數學與生活的聯系。
幻燈片 3：情境引入 —— 實際問題中的兩個未知數
問題呈現：學校準備購買一批籃球和足球，已知購買 2 個籃球和 3 個足球共需 210 元；購買 4 個籃球和 5 個足球共需 370 元。求一個籃球和一個足球的售價分別是多少元？
分析問題：這個問題中含有兩個未知量 —— 一個籃球的售價和一個足球的售價，僅用之前學過的一元一次方程難以直接表示數量關系，需要引入新的方程形式。
設未知數：設一個籃球的售價為 x 元，一個足球的售價為 y 元。
表示數量關系：根據 “2 個籃球和 3 個足球共需 210 元” 可列式子：2x + 3y = 210；根據 “4 個籃球和 5 個足球共需 370 元” 可列式子：4x + 5y = 370。
幻燈片 4：二元一次方程的概念
概念呈現：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的方程，叫做二元一次方程。
剖析概念：
含有兩個未知數，如方程 2x + 3y = 210 中含有 x 和 y 兩個未知數。
含有未知數的項的次數都是 1，即未知數的指數都是 1，像 x? + y = 5 就不是二元一次方程，因為 x 的次數是 2。
舉例判斷：
下列方程是不是二元一次方程？
（1）3x + 2y = 7（是）
（2）x + y? = 5（不是，y 的次數是 2）
（3）xy = 6（不是，xy 項的次數是 2）
（4）x + 3 = 8（不是，只含有一個未知數）
幻燈片 5：二元一次方程的解
概念呈現：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。
表示方法：二元一次方程的解通常表示為\(\begin{cases}x = a \\ y = b\end{cases}\)的形式，其中 a、b 是常數。
舉例說明：
對于方程 x + y = 5，當 x = 2 時，y = 3，所以\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是該方程的一個解；當 x = 0 時，y = 5，\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5\end{cases}\)也是它的一個解。
強調：二元一次方程有無數個解，因為只要給定一個未知數的值，就可以求出另一個未知數的值。
幻燈片 6：二元一次方程組的概念
概念呈現：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
舉例說明：
情境引入中的兩個方程合在一起：\(\begin{cases}2x + 3y = 210 \\ 4x + 5y = 370\end{cases}\)，這就是一個二元一次方程組。
再如：\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 3x - y = 1\end{cases}\)也是二元一次方程組。
注意事項：組成方程組的兩個方程必須含有相同的兩個未知數；每個方程都是二元一次方程。
幻燈片 7：二元一次方程組的解
概念呈現：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
舉例說明：
對于方程組\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)，檢驗\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是否為該方程組的解。
把\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)代入第一個方程：左邊 = 2 + 3 = 5，右邊 = 5，左邊 = 右邊。
代入第二個方程：左邊 = 2×2 - 3 = 1，右邊 = 1，左邊 = 右邊。
所以\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)是該方程組的解。
強調：二元一次方程組的解是同時滿足兩個方程的一組未知數的值，一般情況下，一個二元一次方程組有且只有一個解（特殊情況除外）。
幻燈片 8：檢驗一組數是否為方程組的解
檢驗步驟：
第一步：將這組數分別代入方程組中的每個方程。
第二步：計算每個方程左右兩邊的值。
第三步：判斷每個方程左右兩邊的值是否相等，若都相等，則這組數是方程組的解；否則，不是。
示例：檢驗\(\begin{cases}x = 30 \\ y = 50\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 210 \\ 4x + 5y = 370\end{cases}\)的解。
代入第一個方程：左邊 = 2×30 + 3×50 = 60 + 150 = 210，右邊 = 210，左邊 = 右邊。
代入第二個方程：左邊 = 4×30 + 5×50 = 120 + 250 = 370，右邊 = 370，左邊 = 右邊。
結論：\(\begin{cases}x = 30 \\ y = 50\end{cases}\)是該方程組的解。
幻燈片 9：課堂練習 —— 基礎題
下列方程中，是二元一次方程的有（ ）
① 3x - y = 2；② x + \(\frac{1}{y}\) = 5；③ x? + y = 7；④ x = y
答案：①④
寫出二元一次方程 2x + y = 8 的三個解。
答案：\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 8\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 6\end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 4\end{cases}\)（答案不唯一）
檢驗\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1\end{cases}\)的解。
答案：代入第一個方程，左邊 = 1 + 2×2 = 5 = 右邊；代入第二個方程，左邊 = 3×1 - 2 = 1 = 右邊，所以是該方程組的解。
幻燈片 10：課堂練習 —— 提高題
已知\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)是方程 ax + by = 7 的一個解，且 a - b = 3，求 a、b 的值。
答案及解析：將\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)代入方程得 2a + b = 7，與 a - b = 3 組成方程組\(\begin{cases}2a + b = 7 \\ a - b = 3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = \frac{10}{3} \\ b = \frac{1}{3}\end{cases}\)。
學生活動：小組合作完成，討論解題思路，教師引導學生體會用方程組解決問題的過程。
幻燈片 11：二元一次方程組與實際問題的聯系
抽象過程：從實際問題中找出兩個等量關系，設出兩個未知數，列出兩個二元一次方程，組成方程組。
作用：二元一次方程組能更直接、清晰地表示含有兩個未知量的實際問題中的數量關系，為解決這類問題提供了有力工具。
舉例：如行程問題中涉及兩個物體的運動，工程問題中涉及兩種施工方式等，都可借助二元一次方程組來解決。
幻燈片 12：易錯點警示
混淆二元一次方程的次數：認為方程 x + 2y = 3xy 是二元一次方程，錯誤在于 xy 項的次數是 2，實際它不是二元一次方程。
對二元一次方程組的解理解錯誤：只滿足其中一個方程就認為是方程組的解，忽略了 “公共解” 的要求。
檢驗過程不完整：檢驗時只代入一個方程，沒有代入另一個方程進行驗證。
幻燈片 13：課堂小結
核心概念：
二元一次方程：含兩個未知數，未知項次數都是 1 的方程。
二元一次方程組：由兩個含相同未知數的二元一次方程組成。
解：使方程（組）兩邊相等的未知數的值，方程組的解需滿足所有方程。
檢驗方法：代入每個方程，判斷左右兩邊是否相等。
思想方法：從實際問題中抽象出數學模型，體現數學建模思想。
幻燈片 14：課后作業
基礎題：
（1）下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A. \(\begin{cases}x + y = 5 \\ z + x = 3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x + y = 3 \\ xy = 2\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)
（2）寫出方程 3x - 2y = 6 的兩個解。
（3）檢驗\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}x + y = 6 \\ 2x - 3y = 2\end{cases}\)的解。
提高題：
某班去看演出，甲種票每張 24 元，乙種票每張 18 元。如果 35 名學生購票恰好用去 750 元，設甲種票買了 x 張，乙種票買了 y 張，列出相應的二元一次方程組。
拓展題：
思考二元一次方程組有無數個解或無解的情況，舉例說明。
幻燈片 15：結束頁
結束語：今天我們認識了二元一次方程組，它是解決含有兩個未知量的實際問題的重要工具，下一節課我們將學習如何解二元一次方程組！
小問題：你能嘗試用自己的方法求出方程組\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解嗎？
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
足球比賽的記分規則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分. 某隊在某次比賽中共踢14場球，負了5場，共得19分. 問：該隊共勝多少場？
解：設該隊共勝x場，則平了(14-5-x) 場.
根據題意，得 3x+(14-5-x)=19 .
解得 x=5.
于是，平了 14-5-5=4 (場).
假設剩下的場次全踢平
14-5=9(場) 19-9=10(分)
勝了：10÷(3-1)=5（場）
平了：14-5-5=4(場).
方法一：
方法二:
課堂導入
有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.
解：設兔有x 只，則雞有(35－ x)只.
根據題意，得
4x + 2(35－x) = 94，
兔的只數＋雞的只數＝35
兔的腳數＋雞的腳數＝94
等量關系：
解得 x=12.
于是，雞有 35-12=23(只).
新知探究
知識點1 二元一次方程
思考
有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳.
兔的只數＋雞的只數＝35
兔的腳數＋雞的腳數＝94
若設兔有x只，雞有y只.
你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
新知探究
知識點1 二元一次方程
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
列出的兩個方程還是一元一次方程嗎？
x+y=35 ，
4x+2y=94 .
含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫作二元一次方程.
這兩個方程和一元一次方程有什么不同嗎？
“一次”是指含未知數的項的次數是1，而不是未知數的次數；
方程的左右兩邊都是整式.
新知探究
知識點1 二元一次方程
1.判斷下列方程是不是二元一次方程？
(1) x+y=11
(2) m+1=2
(3) x2+y=5
(4) 3x-π=11
(5) -5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
(7) 7x+2y =13
?
(8) 4xy+5=0
2.若x2m-1+5y3n-2m=7是二元一次方程，則m=________, n=________.
1
1
新知探究
知識點1 二元一次方程
做一做
只含有兩個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程組叫作二元一次方程組.
未知數x，y必須同時滿足上述兩個方程，于是將兩個方程聯立，得
①
?
②
?
新知探究
知識點2 二元一次方程組
x+y=3????，4x+2y=9????.
?
①
②
x?y=1x+2y=3
?
①
x=11x+y=3
?
②
x2+y=1x?y=2
?
③
1x+y=12x+y=3
?
④
下列方程組屬于二元一次方程組的有_______.(填序號)
新知探究
知識點2 二元一次方程組
做一做
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
y
(1) 把滿足方程①，且符合問題的實際意義的x，y的值填入下表：
如果不考慮實際意義，x，y還能取什么值滿足方程①？
①
?
②
?
1
34
2
33
3
32
4
31
5
30
6
29
7
28
8
27
為什么代入的都是整數？
···
···
x=-1，y=36 /x=0.5，y=34.5 /···
9
26
10
25
11
24
12
23
13
22
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
做一做
一般地，使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解.
一般地，一個二元一次方程有無數組解.
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
①
?
②
?
(2)上表中存在哪對x，y的值滿足方程②嗎？若有，請指出.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
···
y
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
···
x=12，y=23既滿足滿足方程①，又滿足方程②.
x=12，y=23是方程①與方程②的公共解.
寫成(12，23)的形式
，它就是上述方程組一個解.
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
一般地，對于未知數為x，y的二元一次方程組，若x，y分別用數c1，c2代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把(c1，c2)叫作這個方程組的一個解.
習慣上記作
求解方程組的解的過程叫作解方程組.
??x=c1?，y=c2?.
?
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
C
??x+y=3?，x?y=3????的解是( )
?
A. ?x=1,y=2
?
B. ?x=2,y=1
?
C. ?x=3,y=0
?
D. 有無數個
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
做一做
例1小玲在文具店買了3本練習本，2支圓珠筆，共花去17元，其中購買練習本比圓珠筆多花1元.
設練習本的單價是x元，圓珠筆的單價是y元，
試列出相應的二元一次方程組.
分析：本題等量關系：
購買練習本所花的錢+購買圓珠筆所花的錢=17元，
購買練習本所花的錢-購買圓珠筆所花的錢=1元.
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
解：(1) 根據等量關系，得
3x+2y=17，3x?2y=1???.??
?
①
②
(1)設練習本的單價是x元，圓珠筆的單價是y元，
試列出相應的二元一次方程組.
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
例1小玲在文具店買了3本練習本，2支圓珠筆，共花去17元，其中購買練習本比圓珠筆多花1元.
3x+2y=17，3x?2y=1???.??
?
①
②
(2) 是列出的二元一次方程組的一個解嗎？
x=3，y=4?????
?
解：把x用3，y用4分別代入方程①②可得：
方程①左邊的值是3×3+2×4=17，方程①右邊的值也是17；
方程②左邊的值為3×3-2×4=1，方程②右邊的值也是 1.
因此，x=3，y=4?????是列出的二元一次方程組的一個解.
?
新知探究
知識點3 二元一次方程組的解
例1小玲在文具店買了3本練習本，2支圓珠筆，共花去17元，其中購買練習本比圓珠筆多花1元.
1.一艘輪船順流航行的速度為24km/h，逆流航行的速度為18 km/h. 它在靜水中的速度為x km/h，水的流速為y km/h，請列出相應的二元一次方程組.
解：根據題意，得
分析：
靜水中的速度+水流的速度=順流航行的速度；
靜水中的速度－水流的速度=逆流航行的速度.
【課本P119 練習 第1題】
隨堂練習
2.若一個二元一次方程組的解為x=2?，y=?1，??則這個方程
組可以是_________ （只要求寫一個）.
?
【課本P119 練習 第2題】
隨堂練習
3. x=2?，y=1?????是二元一次方程組3x?4y=2?，4x?3y=6?????的解嗎？
?
解：
方程①左邊的值是3×2-4×1=2，方程①右邊的值也是2；
方程②左邊的值是4×2-3×1=5，方程②右邊的值是 6.
因此，x=2，y=1????不是該二元一次方程組的一個解.
?
把x用2，y用1分別代入方程①②可得：
3x?4y=2?，4x?3y=6?????
?
①
②
左邊=右邊.
左邊≠右邊.
【課本P119 練習 第3題】
隨堂練習
知識點1 二元一次方程及其解
1.［2025懷化期末］下列是二元一次方程的是( )
D
A.????????????? B.????????+????=????? C.????+????=????????? D.????+?????????????=????
?
2.下面4組數值中，只有一組值是二元一次方程?????????????????=???? 的解，它是
( )
?
C
A.&????=????,&????=????? B.&????=????,&????=???? C.&????=????,&????=???? D.&????=?????,&????=????
?
3.［2025婁底期中］已知&????=?????,&????=????是關于????，???? 的二元一次方程
????????+????=????的一個解，那么???? 的值為( )
?
B
A.3 B.1 C.????? D.?????
?
4.已知關于????，????的方程????????+??????????????????????+????=???? 是二元一次方程，則
????+????= ___.
?
3
知識點2 二元一次方程組及其解
5.［2025邵陽期末］下列各方程組中，屬于二元一次方程組的是( )
C
A.&????????+????????=????,&????????=???? B.&????????+????=????,&????+????=????
C.&????=????????,&????+????????=???? D.&????????+????????=????????,&????+????????=????
?
6.下列方程組的解是&????=????,&????=????? 的是( )
?
D
A.&?????????????=????,&????+????=????? B.&????????+????=????,&?????????=?????
C.&?????????????=????,&????+????=????? D.&?????????=????,&????????+????=????
?
7.［教材P119“練習”第2題變式］寫一個解為&????=????,&????=????? 的二元一次方程組：
_ _________________________.
?
&????+????=????,&?????????=????（答案不唯一）
?
8.已知方程?????????+????=????的三個解為&????=?????,&????=????;&????=????,&????=????;&????=????,&????=????. 方程
????+????=????的三個解為&????=?????,&????=????;&????=?????,&????=????;&????=????,&????=????.則方程組&?????????+????=????,&????+????=????
的解為_ ________.
?
&????=?????,&????=????
?
知識點3 建立二元一次方程（組）模型
9. “方程”二字最早見于我國《九章算術》這部經典著作
中，該書的第八章名為“方程”.如： 從左到右列
出的算籌數分別表示方程中未知數????，???? 的系數與相應的常數項，即可表
示方程????+????????=???????? ，則 表示的方程是___________
___.
?
????+????????=????????
?
10.在明朝程大位的《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾
客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.詩的大意是：一些
客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；
如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房.設該店有客房????間，房客????
人，則可列方程組為( )
?
A
A.&????????+????=????,&????(?????????)=???? B.&????????+????=????,&????(????+????)=????
C.&?????????????=????,&????(?????????)=???? D.&?????????????=????,&????(????+????)=????
?
11.［2024泰安中考］我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其
內容大致如下：用九百九十九文錢，可買甜果苦果共一千個，若? ，
?， 試問買甜果苦果各幾個？若設買甜果????個，買苦果???? 個，可列出符
合題意的二元一次方程組：&????+????=?????????????????,&????????????????+????????????=????????????. 根據已有信息，題中用“
? ，? ”表示的缺失的條件應為( )
?
D
A.甜果七個用四文錢，苦果九個用十一文錢
B.甜果十一個用九文錢，苦果四個用七文錢
C.甜果四個用七文錢，苦果十一個用九文錢
D.甜果九個用十一文錢，苦果七個用四文錢
12.如果方程組&????+????=★,&????????+????=???????? 的解為
?
????=???? ,
????= ,
?
那么被“★、 ”遮住的兩個數分別為( )
A.3，10 B.4，10 C.10，4 D.10，3
C
13.［2024宜賓中考］某果農將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其
中每個大箱裝?????????????荔枝，每個小箱裝?????????????荔枝.該果農現采摘有????????????????? 荔
枝，根據市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數最多為( )
?
C
A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱
14.（8分）為支援抗災前線，某企業采購甲、乙兩種抗災物資共????????????????? ，
甲物資的價格為每噸3萬元，乙物資的價格為每噸2萬元，采購這兩種物
資共花費1 380萬元.
?
（1）為了求出甲、乙兩種物資各采購了多少噸，設甲種物資采購了????????? ，
乙種物資采購了?????????，請你建立關于????，???? 的二元一次方程組.
?
解：根據題意建立關于????，????的二元一次方程組為&????+????=????????????,?①&????????+????????=?????????????????.②
?
（2）&????=????????????,&????=???????????? 是（1）中列出的二元一次方程組的解嗎？
?
解：把&????=????????????,&????=????????????代入方程①中，左邊=右邊，把&????=????????????,&????=???????????? 代入方程②
中，左邊=右邊，所以&????=????????????,&????=????????????是方程組&????+????=????????????,&????????+????????=????????????????? 的解.
?
15.（4分） ［2024長沙中考改編］為慶祝中國改革開
放46周年，某中學舉辦了一場精彩紛呈的慶祝活動，現場參與者均為在
校中學生，其中有一個活動項目是“選數字猜出生年份”，該活動項目主
持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取一個
數字，先乘10，再加上????.???? ，將此時的運算結果再乘10，然后加上
????????????????? ，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個四位數，比
如2010年對應的四位數是????????????????? ），得到最終的運算結果.只要參與者報
出最終的運算結果，主持人立馬就知道參與者的出生年份.若某位參與
者報出的最終的運算結果是915，求這位參與者的出生年份.
?
解：設這位參與者的出生年份是????，從九個數字中任取一個數字為???? ，
根據題意，得(????????????+????.????)×????????+??????????????????????=???????????? ，
整理，得????????????????+????????+??????????????????????=???????????? ，
所以????=????????????????+????????????????? .
因為???? 是從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字中任取的一個數字，
所以????的值可能為?????????????????，?????????????????，?????????????????，?????????????????，?????????????????，????????????????? ，
?????????????????，?????????????????，????????????????? .
又因為是為慶祝中國改革開放46周年，且參與者均為在校中學生，
所以????只能是????????????????? ，
即這位參與者的出生年份是2009年.
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一般地，使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解.
一般地，對于未知數為x，y的二元一次方程組，若x，y分別用數c1，c2代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把(c1，c2)叫作這個方程組的一個解.
習慣上記作
求解方程組的解的過程叫作解方程組.
??x=c1?，y=c2?.
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課堂小結
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