資源簡介

(共38張PPT)
3.6.1 代入消元法
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.6.1 代入消元法
副標題：解二元一次方程組的基本方法
背景圖：以 “替換” 為主題的抽象圖案，如用一個圖形替換另一個圖形的示意圖，背景色延續藍綠色調，與上節課風格統一。
幻燈片 2：學習目標
理解代入消元法的概念和原理，知道它是將二元一次方程組轉化為一元一次方程的重要方法。
熟練掌握用代入消元法解二元一次方程組的步驟，能運用該方法解簡單的二元一次方程組。
體會 “消元” 的數學思想，感受將復雜問題轉化為簡單問題的轉化思想，提高解決問題的能力。
幻燈片 3：復習引入
回顧二元一次方程組的解：使方程組中兩個方程都成立的未知數的值。例如方程組\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。
提出問題：如何求出二元一次方程組的解呢？對于簡單的方程組可以嘗試，但復雜的方程組需要更系統的方法，今天學習第一種方法 —— 代入消元法。
情境鋪墊：已知 x + y = 5，若用含 x 的式子表示 y，可得 y = 5 - x，這一步變形是代入消元法的基礎。
幻燈片 4：代入消元法的概念
概念呈現：把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
關鍵詞解析：
“消元”：消除一個未知數，將二元一次方程組轉化為一元一次方程，這是代入法的核心思想。
“代入”：把用一個未知數表示另一個未知數的式子，代入另一個方程中，替換相應的未知數。
幻燈片 5：代入消元法的步驟 —— 以示例說明
例題：解方程組\(\begin{cases}x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
步驟解析：
第一步：變形（用一個未知數表示另一個未知數）
由方程①，將 y 用含 x 的式子表示：y = 5 - x ③（選擇系數較簡單的方程變形，降低難度）。
第二步：代入（消去一個未知數）
把③代入方程②，得 x - (5 - x) = 1（此時方程中只含有 x，實現了消元，轉化為一元一次方程）。
第三步：求解（解一元一次方程）
解上述方程：x - 5 + x = 1，2x = 6，x = 3。
第四步：回代（求出另一個未知數的值）
把 x = 3 代入③，得 y = 5 - 3 = 2。
第五步：檢驗（驗證解的正確性）
將\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)代入原方程組①和②，左邊均等于右邊，確認是方程組的解。
第六步：寫出答案
方程組的解是\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)。
幻燈片 6：代入消元法的步驟總結
變形：從方程組中選一個系數較簡單的方程，將其中一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來（即 “變”）。
代入：把變形后的式子代入另一個方程，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（即 “代”）。
求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數的值（即 “解”）。
回代：將求出的未知數的值代入變形后的式子，求出另一個未知數的值（即 “回”）。
檢驗：把兩個未知數的值代入原方程組的兩個方程，檢驗是否都成立（即 “驗”）。
作答：寫出方程組的解（即 “答”）。
口訣：“一變形，二代入，三求解，四回代，五檢驗，六作答”。
幻燈片 7：示例 2—— 其中一個方程已用含一個未知數的式子表示另一個未知數
例題：解方程組\(\begin{cases}y = 2x \\ 3x + y = 15 \end{cases}\)
步驟解析：
觀察方程①，已經用含 x 的式子表示了 y，可直接代入。
代入：把①代入②，得 3x + 2x = 15。
求解：5x = 15，x = 3。
回代：把 x = 3 代入①，得 y = 2×3 = 6。
檢驗：代入原方程組，①左邊 = 6，右邊 = 2×3=6；②左邊 = 3×3 + 6=15，右邊 = 15，解正確。
答案：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 6\end{cases}\)
總結：當方程組中有一個方程的未知數系數為 1 或 - 1 時，優先選擇該方程進行變形，可簡化計算。
幻燈片 8：示例 3—— 系數不為 1 的方程變形
例題：解方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 16 \\ x + 4y = 13 \end{cases}\)
步驟解析：
選擇方程②變形，因為 x 的系數是 1，容易表示。
變形：由②得 x = 13 - 4y ③。
代入：把③代入①，得 2 (13 - 4y) + 3y = 16。
求解：26 - 8y + 3y = 16，-5y = -10，y = 2。
回代：把 y = 2 代入③，得 x = 13 - 4×2 = 5。
檢驗：代入原方程組，①左邊 = 2×5 + 3×2=16，右邊 = 16；②左邊 = 5 + 4×2=13，右邊 = 13，解正確。
答案：\(\begin{cases}x = 5 \\ y = 2\end{cases}\)
幻燈片 9：代入消元法的原理
核心思想：消元，即減少未知數的個數，將二元一次方程組轉化為已學過的一元一次方程。
依據：等量代換，用含一個未知數的式子替換另一個未知數，等式仍然成立。
轉化過程：二元一次方程組\(\xrightarrow{ }\)一元一次方程\(\xrightarrow{ ± è§ }\)一個未知數的值\(\xrightarrow{ }\)另一個未知數的值\(\xrightarrow{ é }\)方程組的解。
幻燈片 10：課堂練習 —— 基礎題
解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}y = x + 3 \\ 7x + 5y = 9\end{cases}\)
（2）\(\begin{cases}3x - 2y = 19 \\ 2x + y = 1\end{cases}\)
答案及解析：
（1）把 y = x + 3 代入 7x + 5y = 9，得 7x + 5 (x + 3)=9，解得 x = -0.5，y = 2.5，即\(\begin{cases}x = -0.5 \\ y = 2.5\end{cases}\)。
（2）由 2x + y = 1 得 y = 1 - 2x，代入 3x - 2y = 19，得 3x - 2 (1 - 2x)=19，解得 x = 3，y = -5，即\(\begin{cases}x = 3 \\ y = -5\end{cases}\)。
學生活動：獨立完成后，同桌互相檢查步驟，教師抽查講解。
幻燈片 11：課堂練習 —— 提高題
已知方程組\(\begin{cases}ax + by = 4 \\ bx + ay = 5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1\end{cases}\)，求 a、b 的值。
答案及解析：將解代入方程組得\(\begin{cases}2a + b = 4 \\ 2b + a = 5\end{cases}\)，由第一個方程得 b = 4 - 2a，代入第二個方程得 2 (4 - 2a) + a = 5，解得 a = 1，b = 2。
學生活動：小組合作，討論如何將已知解代入方程組，再用代入消元法求解，教師引導學生理清思路。
幻燈片 12：易錯點警示
變形錯誤：在將一個未知數用含另一個未知數的式子表示時出錯，如由 x + 2y = 5 變形為 x = 5 + 2y（正確應為 x = 5 - 2y）。
代入錯誤：代入時漏寫括號或符號錯誤，如把 y = x - 1 代入 3x - y = 4 時，錯寫成 3x - x - 1 = 4（正確應為 3x - (x - 1) = 4）。
回代錯誤：求出一個未知數的值后，回代到原方程而非變形后的式子，增加計算難度或出錯。
忘記檢驗：雖然檢驗不是必需步驟，但對于初學者，檢驗能有效避免錯誤。
幻燈片 13：課堂小結
代入消元法的概念：通過代入實現消元，將二元轉化為一元。
關鍵步驟：變形→代入→求解→回代→檢驗→作答，核心是 “消元”。
思想方法：轉化思想（二元→一元）、消元思想。
適用情況：方程組中某一方程的未知數系數為 1 或 - 1 時，用代入法較簡便。
幻燈片 14：課后作業
基礎題：解下列方程組
（1）\(\begin{cases}y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8\end{cases}\)
（2）\(\begin{cases}2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2\end{cases}\)
提高題：若方程組\(\begin{cases}4x + 3y = 1 \\ ax + (a - 1)y = 3\end{cases}\)的解 x 與 y 相等，求 a 的值。
拓展題：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}3(x - 1) = y + 5 \\ 5(y - 1) = 3(x + 5)\end{cases}\)，體會先化簡再求解的好處。
幻燈片 15：結束頁
結束語：今天我們學習了代入消元法，它是解二元一次方程組的重要方法，關鍵在于通過代入實現消元。下一節課我們將學習另一種消元方法 —— 加減消元法。
小思考：對于方程組\(\begin{cases}3x + 5y = 21 \\ 4x + 15y = 53\end{cases}\)，用代入消元法是否簡便？有沒有更簡便的方法呢？（為下節課鋪墊）
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.將方程x-2y=5表示成用含y的代數式表示x，
即___________.
2.若x+3y=3，則2x+6y-5=_______.
3.在上節課中，我們列出二元一次方程組并知道是這個方程組的一個解，這個解是怎樣得到的呢？
x=2y+5
1
課堂導入
將二元一次方程組中的方程①變形為
再把y的表達式③代入方程②中，得到一元一次方程：
4x+2(35-x)=94 .
思考
比較：一元一次方程 4x+2(35-x)=94
與二元一次方程組 有什么聯系？
①
②
③
y=35-x
新知探究
知識點 代入消元法
4x+2(35-x)=94
解得 x=12 .
①
②
③
y=35-x
將x用12代入③式，得 y=35-12=23 .
經檢驗，是由方程①和②組成的二元一次方程組的解.
新知探究
知識點 代入消元法
把其中一個方程的某一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示，然后把這個代數式代入另一個方程中，便消去了一個未知數，得到一個一元一次方程.
多元
一元
核心思想
解這個一元一次方程求出其中一個未知數的值，再把求出的未知數的值代入前面的代數式中，就可以求出另一個未知數的值.
這種解二元一次方程組的方法叫作代入消元法.
消元
新知探究
知識點 代入消元法
例1 解二元一次方程組：
①
②
解：將方程①移項，得
兩邊都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用1代入③式，得
因此，是原二元一次方程組的解.
2x=4y ，
③
x=2y .
5×2y-7y=3 ，
y=1 .
x=2 .
新知探究
知識點 代入消元法
做一做
用消去未知數y的方法求出例1方程組的解.
①
②
解：將方程①移項，得
兩邊都除以4，得
把④式代入方程②中，得
解得
把x用2代入③式，得
因此，是原二元一次方程組的解.
4y=2x ，
5x-7x=3 ，
y=x .
④
x=2 .
y=1 .
消哪個未知數簡單一點？
新知探究
知識點 代入消元法
例2 解二元一次方程組：
解：將方程①移項、兩邊都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用3代入③式，得
因此， 是原二元一次方程組的解.
y=3 .
x=4 .
③
x=y- .
3(y-)+2y=18 ，
新知探究
知識點 代入消元法
代入消元法解方程組的一般步驟：
①選擇其中一個方程，用含有一個未知數的式子表示另一個未知數；
②把變形后的方程代入另一個方程中，消元后求出未知數的值；
③把求得的未知數的值代入到變形的方程中，求出另一個未知數的值；
④寫出方程組的解.
新知探究
知識點 代入消元法
1.把下列方程改寫成為用含x的代數式表示y的形式.
(1) 2x-y=-1 ； (2) x+2y-2=0 .
解：(1)
2x-(-1)=y
y=2x+1
(2) 2y=2-x
y=-x+1
隨堂練習
2.用代入消元法解下列二元一次方程組：
(1) (2)
解：(1)將方程①移項，得
將③式代入②式，得
解得
將x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程組的解.
①
②
x=5 .
y=-3 .
2x-5×(12-3x)=25 .
③
y=12-3x
【課本P122 練習】
隨堂練習
2.用代入消元法解下列二元一次方程組：
(1) (2)
(2)將方程②移項，得
將③式代入①式，得
解得
將x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程組的解.
①
②
x=1 .
y=1 .
3x+2×(2x-1)=5 .
③
y=2x-1
隨堂練習
【課本P122 練習】
2.用代入消元法解下列二元一次方程組：
(3) (4)
(3)將方程②移項，得
將③式代入①式，得
解得
將y的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程組的解.
①
②
y=-
x=- .
3×(-3-5y) -7y=1
③
x= -3-5y
隨堂練習
【課本P122 練習】
(4)將方程①移項，得
將③式代入②式，得
解得
將x的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程組的解.
x=
y=-
-2x+3×(1-5x)=-34 .
③
y=1-5x
2.用代入消元法解下列二元一次方程組：
(3) (4)
①
②
隨堂練習
【課本P122 練習】
知識點1 用含一個未知數的代數式表示另一個未知數
1.［2025益陽期末］已知方程，則可用含 的代數式表示
為( )
A
A. B. C. D.
2.在方程中，用含的代數式表示，則_______；用含
的代數式表示，則 _______.
3.用代入法解方程組 下列最合適的變形是( )
D
A.由①，得 B.由①，得
C.由②，得 D.由②，得
知識點2 用代入消元法解二元一次方程組
4.用代入消元法解方程組 時，將方程①代入②中，所得
的方程正確的是( )
B
A. B.
C. D.
5.用代入法解方程組 時，代入正確的是( )
A
A. B.
C. D.
6.用代入消元法解方程組 的正確解法是_______；
最好的解法是_______.（填序號）
（1）先將①變形為 ，再代入②；
（2）先將①變形為 ，再代入②；
（3）先將②變形為 ，再代入①；
（4）先將②變形為 ，再代入①.
（4）
7.用代入消元法解方程組
把____代入____，可以消去未知數___，方程變為__________________
（不用化簡）.
①
②
8.二元一次方程組 的解為_ ________.
9.（16分）解下列方程組：
（1）
解：①代入②,得，解得 ，
將代入①,得 .
所以原方程組的解為
（2）
解：由②，得 ,③
將③代入①，得 ，
解得，將代入③，得 ，
所以原方程組的解為
（3）
解：由①，得 ，③
將③代入②，得 ，
解得，將代入③，得 ，所以原方程組的解
為
（4）
解：由②，得 ,③
將③代入①，得,解得,將代入③，得 .
所以原方程組的解為
10.已知關于，的方程組可以確定， 的關系是( )
C
A. B. C. D.
11.老師設計了一個解方程組的接力游戲，學習小組的四名成員每人做一
步，每人只能看到前一人給的步驟，并進行一步計算，再將結果傳遞給
下一個人，用合作的方式完成該方程組的解題過程，過程如圖所示，則
合作中出現錯誤的同學是( )
C
A.甲 B.乙 C.丙 D.丙和丁
12.把二元一次方程化為 的形式，則
__.
[解析] 點撥：由，得，所以 ，
，所以 .
13.已知方程組的解，互為相反數，則 的值為___.
0
14.（8分）用代入消元法解下列方程組：
（1）
解：由②，得 ，③
由①，得 ，④
把④代入③，得，解得.把 用6代入④，得
.
因此， 是原方程組的解.
（2）
解：整理方程組，得
由③，得 ，⑤
把⑤代入④，得 ，
解得.把用代入⑤，得 .
因此， 是原方程組的解.
15.（6分） 閱讀下列解題方法：
解方程組時，可由①得 ，③然后再將③
代入②，得，求得，從而進一步求得 這種
方法被稱為“整體代入法”，請用同樣的方法解答下列問題：
（1）直接寫出方程組 的解為_ _______.
[解析] 點撥：
把①變形，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
把用3代入③，得 ，
因此， 是原方程組的解.
（2）解方程組
解：
由②，得，即 ，③
把③代入①，得，解得 .
把用1代入②，得 .
因此， 是原方程組的解.
代入消元法解方程組的一般步驟：
①選擇其中一個方程，用含有一個未知數的式子表示另一個未知數；
②把變形后的方程代入另一個方程中，消元后求出未知數的值；
③把求得的未知數的值代入到變形的方程中，求出另一個未知數的值；
④寫出方程組的解.
課堂小結
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