資源簡介

(共39張PPT)
3.6.2 加減消元法
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.6.2 加減消元法
副標題：解二元一次方程組的另一種重要方法
背景圖：以 “疊加”“抵消” 為意象的圖案，如兩個方向相反的箭頭疊加后部分抵消，背景色延續藍綠色調，保持系列課件風格統一。
幻燈片 2：學習目標
理解加減消元法的概念和原理，知道它是通過加減運算消去一個未知數來解二元一次方程組的方法。
熟練掌握用加減消元法解二元一次方程組的步驟，能根據方程組特點選擇合適的加減方式（相加或相減）。
進一步體會 “消元” 思想和 “轉化” 思想，能根據方程組的具體形式靈活選擇代入消元法或加減消元法。
幻燈片 3：復習引入與問題提出
回顧代入消元法：通過代入將二元轉化為一元，適用于某未知數系數為 1 或 - 1 的方程組。
提出問題：對于方程組\(\begin{cases}3x + 5y = 21 \\ 4x + 15y = 53 \end{cases}\)，用代入法需要對系數較大的項進行變形，計算較繁瑣。有沒有更簡便的方法？
觀察發現：方程①和②中 y 的系數分別是 5 和 15，存在倍數關系，若將①乘 3，可使 y 的系數變為 15，此時兩方程相減就能消去 y。這就是本節課要學的加減消元法。
幻燈片 4：加減消元法的概念
概念呈現：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
關鍵詞解析：
“系數相反或相等”：這是可以直接加減消元的前提，若不滿足，需先通過變形使某一未知數系數滿足該條件。
“相加或相減”：系數相反時相加（抵消為 0），系數相等時相減（抵消為 0），從而消去一個未知數。
幻燈片 5：示例 1—— 某未知數系數相等（直接相減）
例題：解方程組\(\begin{cases}3x + 5y = 21 \\ 4x + 15y = 53 \end{cases}\)
步驟解析：
第一步：使某一未知數系數相等
觀察到 y 的系數 5 和 15，①×3 得：9x + 15y = 63 ③（此時③和②中 y 的系數都是 15）。
第二步：消元（相減消去 y）
③ - ②得：(9x + 15y) - (4x + 15y) = 63 - 53，化簡得 5x = 10。
第三步：求解一元一次方程
解得 x = 2。
第四步：回代求另一個未知數
把 x = 2 代入①，得 3×2 + 5y = 21，即 6 + 5y = 21，解得 y = 3。
第五步：檢驗
代入原方程組，①左邊 = 6 + 15=21，②左邊 = 8 + 45=53，均等于右邊，解正確。
第六步：寫出答案
方程組的解是\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}\)。
幻燈片 6：示例 2—— 某未知數系數相反（直接相加）
例題：解方程組\(\begin{cases}2x - 5y = 7 \\ 3x + 5y = 13 \end{cases}\)
步驟解析：
觀察系數：y 的系數分別是 - 5 和 5，互為相反數，可直接相加消去 y。
第一步：消元（相加消去 y）
① + ②得：(2x - 5y) + (3x + 5y) = 7 + 13，化簡得 5x = 20。
第二步：求解
解得 x = 4。
第三步：回代
把 x = 4 代入①，得 2×4 - 5y = 7，即 8 - 5y = 7，解得 y = 0.2。
檢驗與答案：經檢驗，\(\begin{cases}x = 4 \\ y = 0.2\end{cases}\)是方程組的解。
幻燈片 7：示例 3—— 需先變形使系數成相反數或相等
例題：解方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 12 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases}\)
步驟解析：
分析系數：x 的系數 2 和 3，y 的系數 3 和 4，無直接倍數關系。選擇消去 x，找 2 和 3 的最小公倍數 6。
第一步：變形
①×3 得：6x + 9y = 36 ③；②×2 得：6x + 8y = 34 ④。
第二步：消元（相減消去 x）
③ - ④得：(6x + 9y) - (6x + 8y) = 36 - 34，化簡得 y = 2。
第三步：回代
把 y = 2 代入①，得 2x + 3×2 = 12，解得 x = 3。
答案：\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 2\end{cases}\)
幻燈片 8：加減消元法的步驟總結
觀察：看方程組中同一未知數的系數是否相反或相等，或是否有倍數關系。
變形（若需）：根據等式性質，將方程組中一個或兩個方程的兩邊同乘適當的數，使某一未知數的系數相反或相等。
加減：把變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一元一次方程。
求解：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值。
回代：將求出的未知數的值代入原方程組中較簡單的一個方程，求出另一個未知數的值。
檢驗與作答：檢驗解的正確性，寫出方程組的解。
口訣：“系數相同減，系數相反加；系數不同先變形，再用加減消元法”。
幻燈片 9：加減消元法的原理
核心思想：仍是 “消元”，通過加減運算消除一個未知數，將二元一次方程組轉化為一元一次方程。
依據：等式的基本性質 2（方程兩邊同乘一個數，等式仍成立）和性質 1（等式兩邊相加或相減，等式仍成立）。
轉化過程：二元一次方程組\(\xrightarrow{ }\)系數滿足條件的方程組\(\xrightarrow{ }\)一元一次方程\(\xrightarrow{ ± è§ }\)方程組的解。
幻燈片 10：代入法與加減法的對比選擇
方法
適用情況
優點
代入消元法
某一未知數系數為 1 或 - 1
步驟直接，易理解
加減消元法
同一未知數系數相反、相等或有倍數關系
消元快捷，尤其適用于系數較大的方程組
總結
兩種方法無絕對優劣，需根據方程組特點靈活選擇
核心都是 “消元”，將二元轉化為一元
幻燈片 11：課堂練習 —— 基礎題
解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}x + 2y = 9 \\ 3x - 2y = -1\end{cases}\)（y 系數相反，直接相加）
（2）\(\begin{cases}5x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = -4\end{cases}\)（x 系數相等，直接相減）
答案及解析：
（1）① + ②得 4x = 8，x = 2，代入①得 y = 3.5，解為\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3.5\end{cases}\)。
（2）① - ②得 5y = 10，y = 2，代入①得 x = 0，解為\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 2\end{cases}\)。
學生活動：獨立完成后，小組內交流選擇加減方式的理由，教師巡視指導。
幻燈片 12：課堂練習 —— 提高題
解方程組\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 7 \\ \frac{x}{3} - \frac{y}{4} = -1\end{cases}\)
提示：先去分母化為整數系數方程組：\(\begin{cases}3x + 2y = 42 \\ 4x - 3y = -12 \end{cases}\)，再用加減法消元（①×3 + ②×2 消去 y）。
答案：\(\begin{cases}x = 6 \\ y = 12\end{cases}\)
學生活動：先獨立去分母，再小組討論如何選擇消元對象，教師引導學生體會步驟的完整性。
幻燈片 13：易錯點警示
變形時漏乘項：如將方程 2x + 3y = 5 乘 2 時，錯得 4x + 3y = 10（正確應為 4x + 6y = 10）。
加減時符號錯誤：系數相等時應相減卻相加，或系數相反時應相加卻相減，如\(\begin{cases}3x + y = 5 \\ 3x - y = 1\end{cases}\)錯用相減（正確應為相加）。
回代時計算錯誤：求出一個未知數后，代入方程計算另一個未知數時出錯，如把 x = 2 代入 3x + 2y = 8，錯得 6 + 2y = 8→2y = 3→y = 1.5（正確應為 y = 1）。
忘記檢驗：尤其在變形步驟較多時，檢驗能有效發現計算錯誤。
幻燈片 14：課堂小結
加減消元法的概念：通過加減運算消去一個未知數，實現二元到一元的轉化。
關鍵步驟：觀察→變形（若需）→加減→求解→回代→檢驗→作答，核心是 “消元”。
思想方法：消元思想、轉化思想，與代入法一致。
方法選擇：根據方程組中未知數的系數特點，靈活選用代入法或加減法，以簡化計算。
幻燈片 15：課后作業
基礎題：解下列方程組
（1）\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1\end{cases}\)
（2）\(\begin{cases}4x - 3y = 5 \\ 4x + 6y = 14\end{cases}\)
（3）\(\begin{cases}3x - 2y = 11 \\ 2x + 3y = 16\end{cases}\)
提高題：已知方程組\(\begin{cases}2x + 3y = k \\ 3x + 5y = k + 2\end{cases}\)的解滿足 x + y = 12，求 k 的值。
拓展題：比較用代入法和加減法解方程組\(\begin{cases}2x + 5y = 13 \\ 3x - 5y = 7\end{cases}\)的優劣，總結兩種方法的適用場景。
幻燈片 16：結束頁
結束語：加減消元法為我們解二元一次方程組提供了新的工具，它與代入法相輔相成。掌握這兩種方法，能讓我們更高效地解決各類二元一次方程組問題。
預告：下一節課我們將學習用二元一次方程組解決實際問題，進一步感受方程組的應用價值！
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
已知二元一次方程組
①
②
(1) 用代入消元法求解.
解：將方程①移項、兩邊都除以3，得
y=(1-7x)
③
將③式代入方程②，得
2x-3(1-7x)=8
解得
x=1
把x用1代入③式，得
y=-2
因此，是原二元一次方程組的解.
課堂導入
已知二元一次方程組
①
②
觀察
(2)上述方程組中未知數y的系數有什么特點？
這對解方程組有什么啟發
發現：方程①中y的系數和方程②中y的系數互為相反數.
啟發：若把方程①②的左右兩邊分別相加，就可消去y，
從而得到關于x的一元一次方程.
新知探究
知識點 加減消元法
已知二元一次方程組
①
②
①+②，得
9x=9 ，
兩邊都除以9，得
x=1 .
把x用1代入方程①，得
7×1+3y=1 ，
y=-2 .
解得
因此，是原二元一次方程組的解.
若f=g，u=v，則f±u=g±v.
新知探究
知識點 加減消元法
該如何選擇合適的方法？
只有當方程組的某一方程中某一未知數的系數的絕對值是1時，用代入消元法較簡單，其他的用加減消元法較簡單.
代入消元法
加減消元法
新知探究
知識點 加減消元法
例3 解二元一次方程組
①
②
解：①-②，得
兩邊都除以8，得
把y用-1代入方程①，得
解得
因此，是原二元一次方程組的解.
8y=-8 ，
2x+3×(-1)=-1 ，
x=1 .
y=-1 ，
用代入消元法試試，哪種簡便？
新知探究
知識點 加減消元法
如果二元一次方程組中兩個未知數的系數既不相等也不互為相反數，例如
如何消去某個未知數，使其轉化為一個一元一次方程？
①
②
發現：方程①中x的系數的3倍等于方程②中x的系數.
啟發：先把方程①的左右兩邊都乘3，再將得到的方程與方程②左右兩邊對應相減，便得到關于y的一元一次方程.
思考
新知探究
知識點 加減消元法
①
②
①×3，得
6x+9y=-33 .
③
③-②，得
(6x+9y)-(6x-5y)=-33-9 ，
去括號，得
6x+9y-=-33-9 ，
合并同類項，得
14y=-42 ，
兩邊都除以14，得
y=-3 .
把y用-3代入方程①，得
2x+3×(-3) =-11，
解得
x=-1 .
因此， 是原二元一次方程組的解.
新知探究
知識點 加減消元法
對于二元一次方程組，把一個方程進行適當變形后，再加上(或減去)另一個方程，消去其中一個未知數，得到只含另一個未知數的一元一次方程，解這個一元一次方程求出另一個未知數的值，再把這個值代入原二元一次方程組的任意一個方程，就可以求出被消去的未知數的值，從而得到原二元一次方程組的解.
這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法.
變形 加減 求解 回代 寫出解
新知探究
知識點 加減消元法
用自己的語言總結解二元一次方程組的基本思路.
消去一個未知數（簡稱消元），得到一個一元一次方程，然后解這個一元一次方程，求出一個未知數的值，接著再去求另一個未知數的值.
議一議
我國元代數學家朱世杰 (13-14世紀)在《四元玉鑒》中就用到了消元法.
二元一次方程組
一元一次方程
求出一個未知數的值
求出另一個未知數的值
消元
新知探究
知識點 加減消元法
1.用加減消元法解下列二元一次方程組：
①
②
解：(1) ①+②，得
10y=40 ，
解得
y=4 .
把y用4代入①式，得
2x+7×4=22，
解得
x=-3.
因此， 是原二元一次方程組的解.
【課本P124 練習 第1題】
隨堂練習
1.用加減消元法解下列二元一次方程組：
①
②
(2) ②-①，得
5x=-15 ，
解得
x=-3 .
把x用-3代入①式，得
-2×(-3)+5y=11，
解得
y=1.
因此， 是原二元一次方程組的解.
隨堂練習
【課本P124 練習 第1題】
①
②
(3) ①×2-②，得
9y=63，
解得
y=7 .
把y用7代入①式，得
3x+2×7=8，
解得
x=-2.
因此， 是原二元一次方程組的解.
1.用加減消元法解下列二元一次方程組：
隨堂練習
【課本P124 練習 第1題】
①
②
(4) ①+②×2，得
13x=27，
解得
x=.
把x用代入①式，得
3× -4y=7，
解得
y=- .
因此， 是原二元一次方程組的解.
1.用加減消元法解下列二元一次方程組：
隨堂練習
【課本P124 練習 第1題】
①
②
2. 解方程組：
③
代入法
加減法
解：由①得
將③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
隨堂練習
3.已知關于x，y的二元一次方程組
的解為 求a，b的值.
解：根據題意，得
①
②
②×3-①，得
7b=14 ，
解得
b=2 .
把b用2代入①式，得
3a+2×2=13 ，
解得
a=3 .
所以，a=3，b=2 .
【課本P124 練習 第2題】
隨堂練習
4. 已知方程組 的解滿足方程 x + y = 8，求 m 的值.
解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2.
又∵x + y = 8，
∴5×8 = 2m + 2.
解得 m = 19.
故 m 的值為 19.
隨堂練習
知識點1 用加減消元法解某未知數的系數的絕對值相等的方程組
1.解方程組時， 得_________.
2.解二元一次方程組 適合的消元方法是( )
B
A.加減消元法，消去 B.加減消元法，消去
C.代入消元法，消去 D.代入消元法，消去
3.在解二元一次方程組時，若 可直接消去未知
數，則和 ( )
B
A.互為倒數 B.相等 C.都等于0 D.互為相反數
4.（8分）用加減消元法解下列方程組：
（1）
解：，得，解得 .
把用3代入①，得，解得.因此， 是原二
元一次方程組的解.
（2）
解：，得，解得 .
把用代入①，得，解得.因此， 是原二元
一次方程組的解.
知識點2 用加減消元法解某未知數的系數的絕對值有倍數關系的方
程組
5.利用加減消元法解方程組 下列做法錯誤的是( )
D
A.要消去， B.要消去，
C.要消去， D.要消去，
6.用加減消元法解二元一次方程組 時，下列方法中無法
消元的是( )
C
A. B. C. D.
7.用加減消元法解二元一次方程組時，若消去 ，則
，得__________；若消去 ，則_______________，得______
___.
8.（8分）用加減消元法解下列方程組：
（1）
解：，得 ，③
，得，解得 .
把用2代入①，得，解得.因此， 是原方程組的解.
（2）
解：，得 ，③
，得，把用代入①，得 ，解得
.
因此， 是原方程組的解.
9.已知，是方程組的解，那么 的值是
( )
B
A.14 B.17 C.12 D.15
10.若，則 的值為( )
B
A. B.0 C.1 D.2
11.（8分）用加減消元法解下列方程組：
（1）
解：原方程組可化為
，得 ，③
，得，解得 .
把用1代入①，得，解得，因此， 是原方程組
的解.
（2）
解：原方程組可化為
，得.把用4代入①，得，解得 .因此，
是原二元一次方程組的解.
12.（8分）數學活動課上，小云和小輝在討論老師出示的一道二元一次
方程組的問題：
（1）按照小云的方法，的值為___， 的值為____；
5
（2）請按照小輝的思路求出 的值.
解：，得 ，
即 ,
所以，因為，所以，解得 .
13.（4分） 閱讀下面的材料：
解方程組 時，由于系數及常數項較大，如果用常規
的代入消元法或加減消元法來解，不僅計算量大，而且易出現計算錯誤.
采用下面的解法比較簡單.
解：，得，所以 .③
，得 .④
，得 ，
把代入③，得 .
所以原方程組的解是
請你運用上述方法解方程組：
解：
，得，所以 .③
，得 .④
，得.把代入③，得 .
所以原方程組的解是
加減消元法
條件：
步驟：
方程組中同一個未知數的系數的絕對值相等或成整數倍
變形 加減 求解 回代 寫出解
課堂小結
謝謝觀看！

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