資源簡介

(共34張PPT)
3.7.2二元一次方程組的應用（2）
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.7.2 二元一次方程組的應用（2）
副標題：分段計費與方案選擇問題
背景圖：展示生活中分段計費（如水電費繳費單）和方案選擇（如不同套餐對比）的場景，背景色延續藍綠色調，與上一節課風格統一。
幻燈片 2：學習目標
能分析分段計費問題和方案選擇問題中的數量關系，準確找出兩個等量關系，列出二元一次方程組。
熟練運用方程組的解法求出實際問題的答案，并能根據結果進行合理分析或選擇最優方案。
進一步體會數學建模思想在復雜實際問題中的應用，提高綜合運用知識解決問題的能力。
幻燈片 3：復習回顧
列二元一次方程組解應用題的步驟：審、設、列、解、驗、答。
上節課解決的問題類型：購物問題、行程問題、分配問題等，這些問題的數量關系相對直接。
引入新問題：生活中還有一些問題，如電費、話費的分段計費，不同優惠方案的選擇等，數量關系更復雜，需要更細致地分析，這就是本節課要學習的內容。
幻燈片 4：示例 1—— 分段計費問題
例題：某市為鼓勵居民節約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費：若每月用水量不超過 10 噸，則每噸按 2 元收費；若每月用水量超過 10 噸，則超過部分每噸按 3 元收費。某戶居民兩個月共交水費 54 元，其中第一個月用水量不超過 10 噸，第二個月用水量超過 10 噸，且第二個月的用水量是第一個月的 2 倍。求這戶居民兩個月的用水量分別是多少噸？
分步解析：
審：已知水費分段計費標準，以及兩個月的總水費和用水量的倍數關系，且第一個月用水量≤10 噸，第二個月用水量＞10 噸，求兩個月的用水量。
設：設第一個月用水量為 x 噸，第二個月用水量為 y 噸。
列：根據 “第二個月用水量 = 第一個月用水量 ×2” 和 “第一個月水費 + 第二個月水費 = 總水費”，列出方程組：\(\begin{cases}y = 2x \\ 2x + [10 2 + 3(y - 10)] = 54 \end{cases}\)
解：把①代入②得：2x + [20 + 3 (2x - 10)] = 54→2x + 20 + 6x - 30 = 54→8x - 10 = 54→8x = 64→x = 8；把 x = 8 代入①得：y = 16。
驗：x = 8≤10，y = 16＞10，符合題意；第一個月水費 = 8×2=16 元，第二個月水費 = 10×2 + (16-10)×3=20+18=38 元，總水費 = 16+38=54 元，正確。
答：第一個月用水量為 8 噸，第二個月用水量為 16 噸。
幻燈片 5：分段計費問題的解題要點
明確分段標準：清楚不同區間的計費方式，如用水量、用電量、通話時間等的分段界限。
判斷未知量所在區間：根據題意或設出的未知數，確定每個未知量處于哪個分段區間，避免選錯計費方式。
分別計算各段費用：根據不同區間的計費標準，分別表示出各段的費用，再根據總費用列出方程。
注意隱含條件：如例題中 “第一個月用水量不超過 10 噸，第二個月用水量超過 10 噸”，這些條件能幫助確定計費方式。
幻燈片 6：示例 2—— 方案選擇問題
例題：某旅行社推出 A、B 兩種優惠方案，供游客選擇。A 方案：成人每人 120 元，兒童每人 60 元；B 方案：團體 5 人以上（含 5 人），每人 90 元。現有 4 個成人和 7 個兒童計劃出游，選擇哪種方案更省錢？
分步解析：
審：已知兩種優惠方案的計費標準，以及出游的成人和兒童數量，比較兩種方案的總費用，選擇更省錢的方案。
設：設選擇 A 方案的總費用為 m 元，選擇 B 方案的總費用為 n 元。
列：根據 A、B 方案的計費標準，分別列出總費用的表達式：
m = 120×4 + 60×7 ①；n = 90×(4 + 7) ②
解：計算①得 m = 480 + 420 = 900 元；計算②得 n = 90×11 = 990 元。
比較：因為 900＜990，所以選擇 A 方案更省錢。
答：選擇 A 方案更省錢。
幻燈片 7：方案選擇問題的拓展 —— 混合方案
例題延伸：若上題中成人和兒童的數量不確定，設成人有 x 人，兒童有 y 人，如何選擇方案更省錢？
分析過程：
分別列出 A、B 方案的總費用：A 方案費用 = 120x + 60y；B 方案費用 = 90 (x + y)（x + y ≥5）。
比較兩種方案費用：當 120x + 60y ＜90 (x + y) 時，即 30x ＜30y→x ＜y，選擇 A 方案；當 x ＞y 時，選擇 B 方案；當 x = y 時，兩種方案費用相同。
結論：根據成人和兒童數量的多少選擇方案，兒童數量多于成人時選 A 方案，反之選 B 方案，相等時均可。
幻燈片 8：方案選擇問題的解題要點
列出各方案的費用表達式：根據方案的計費標準，用未知數表示出每種方案的總費用。
比較費用大小：通過列方程或不等式，找出不同方案費用相等或不等的情況。
結合實際情況選擇：根據題目中給出的具體數量，代入費用表達式，計算出每種方案的總費用，選擇費用最低的方案。
考慮特殊情況：如團體人數是否達到方案要求的最低數量，是否可以采用混合方案（部分人用一種方案，部分人用另一種方案）等。
幻燈片 9：課堂練習 —— 基礎題
某移動公司推出兩種手機套餐：套餐一：月租費 50 元，通話每分鐘 0.2 元；套餐二：無月租費，通話每分鐘 0.3 元。若一個月通話 x 分鐘，兩種套餐的費用分別為 y 元和 y 元。
（1）分別寫出 y 、y 與 x 之間的函數關系式。
（2）當通話時間為多少分鐘時，兩種套餐的費用相等？
（3）若一個月通話 300 分鐘，選擇哪種套餐更劃算？
答案及解析：
（1）y = 50 + 0.2x；y = 0.3x。
（2）令 50 + 0.2x = 0.3x→x = 500。即通話 500 分鐘時，費用相等。
（3）當 x = 300 時，y = 50 + 60 = 110 元，y = 90 元，選擇套餐二更劃算。
學生活動：獨立完成后，小組內交流解題思路，討論如何根據通話時間選擇套餐。
幻燈片 10：課堂練習 —— 提高題
某工廠生產 A、B 兩種產品，已知生產一件 A 產品需用甲材料 3 千克、乙材料 2 千克；生產一件 B 產品需用甲材料 1 千克、乙材料 3 千克。現有甲材料 100 千克，乙材料 120 千克，計劃生產 A、B 兩種產品共 40 件，問最多可生產 A 產品多少件？
答案及解析：設生產 A 產品 m 件，生產 B 產品 n 件。列方程組\(\begin{cases}m + n = 40 \\ 3m + n ¤100 \\ 2m + 3n ¤120\end{cases}\)，由第一個方程得 n = 40 - m，代入后兩個不等式得\(\begin{cases}3m + 40 - m ¤100 2m ¤60 m ¤30 \\ 2m + 3(40 - m) ¤120 2m + 120 - 3m ¤120 -m ¤0 m 0\end{cases}\)，所以最多可生產 A 產品 30 件。
學生活動：小組合作，分析題目中的不等關系，列出方程組（不等式組），教師引導學生理解如何根據材料限制確定生產數量。
幻燈片 11：復雜問題中找等量關系的技巧
分段計費問題：總費用 = 各段費用之和，注意每段的計費標準和分界點。
方案選擇問題：分別計算各方案的費用，通過比較得出結論，必要時考慮混合方案。
結合圖表：若問題中涉及圖表（如收費標準表、方案對比表），要仔細閱讀圖表信息，從中提取等量關系。
多角度分析：從不同角度描述同一問題，如費用、數量、比例等，確保找到兩個獨立的等量關系。
幻燈片 12：易錯點警示
分段計費時區間判斷錯誤：如將超過部分的費用計算錯誤，或忽略分界點的計費方式。
方案選擇時漏算情況：如團體方案中忽略 “5 人以上（含 5 人）” 的條件，或未考慮混合方案的可能性。
用方程組解決不等關系問題時出錯：方案選擇中常涉及費用比較，需正確列出不等式，而非僅列方程。
計算總費用時粗心：如在多個項目計費的問題中，漏算某一項的費用。
幻燈片 13：課堂練習 —— 綜合題
某城市的出租車收費標準為：3 千米以內（含 3 千米）收費 10 元；超過 3 千米的部分，每千米收費 2.4 元（不足 1 千米按 1 千米計算）。某人乘出租車從甲地到乙地，共支付車費 29.6 元，求甲地到乙地的路程范圍。
答案及解析：設甲地到乙地的路程為 x 千米（x 為整數）。因為 29.6＞10，所以 x＞3。列方程 10 + 2.4 (x - 3) = 29.6→2.4 (x - 3) = 19.6→x - 3 = 8.166…，因為不足 1 千米按 1 千米計算，所以 x - 3 = 9→x = 12，所以路程范圍是 11＜x ≤12 千米。
學生活動：獨立分析分段計費的情況，列出方程并結合 “不足 1 千米按 1 千米計算” 的條件確定路程范圍，教師巡視指導。
幻燈片 14：課堂小結
分段計費問題：明確分段標準，判斷未知量所在區間，分別計算各段費用，根據總費用列方程組。
方案選擇問題：列出各方案的費用表達式，比較費用大小，選擇最優方案，必要時考慮混合方案。
關鍵能力：準確分析復雜問題中的數量關系，建立合適的方程組（或不等式組）模型，提高數學應用能力。
思想方法：數學建模思想、分類討論思想（不同方案、不同區間）。
幻燈片 15：課后作業
基礎題：
（1）某電力公司的收費標準為：每月用電量不超過 100 度，每度 0.5 元；超過 100 度的部分，每度 0.6 元。某用戶一個月用電 150 度，應繳納電費多少元？
（2）某校組織學生參加研學活動，有兩種租車方案：方案一：租用 45 座客車，每輛租金 600 元；方案二：租用 60 座客車，每輛租金 800 元。若有 210 名學生參加，選擇哪種方案更省錢？
提高題：
某商場銷售 A、B 兩種品牌的洗衣機，A 品牌洗衣機每臺進價 1500 元，售價 2000 元；B 品牌洗衣機每臺進價 2500 元，售價 3500 元。該商場計劃用不超過 3 萬元購進這兩種品牌的洗衣機共 15 臺，且 A 品牌洗衣機的數量不少于 B 品牌洗衣機數量的 2 倍。問該商場有幾種進貨方案？哪種方案的利潤最大？（利潤 = 售價 - 進價）
拓展題：結合生活實際，編一道分段計費或方案選擇的應用題，并解答。
幻燈片 16：結束頁
結束語：本節課我們學習了用二元一次方程組解決分段計費和方案選擇問題，這些問題更貼近生活實際，需要我們更細致地分析。希望同學們能將所學知識運用到生活中，做出更合理的決策！
總結：二元一次方程組的應用非常廣泛，從簡單的購物、行程問題到復雜的分段計費、方案選擇問題，都能發揮重要作用，關鍵是要找準等量關系，建立數學模型。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
小華從家里到學校的路是一段上坡路和一段平路. 假設他始終保持上坡路每分鐘走40m，平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，則他從家里到學校需15min，從學校到家里需10min. 試問：小華家離學校多遠
思考
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通過圖示，你有什么發現？
小華家向家所走的下坡路上等于小華去學校所走的上坡路長.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
根據圖示，你能找到其中得等量關系嗎？
本問題中的等量關系：
走上坡路的時間+走平路的時間=15min
走平路的時間+走下坡路的時間=10min
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
設小華家到學校的上坡路長 x m，平路長 y m，則
根據等量關系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路與平路的長度之和為 x+y=400+300=700 (m).
因此，小華家離學校700m.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
小李騎電動自行車，預計用相同的時間往返于甲、乙兩地，去時電動自行車的車速是18 km/h，結果早到20 min；返回時，以15 km/h 的速度行進，結果晚到4 min. 求預計時間和甲、乙兩地間的距離．
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
練一練
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
例1 某果園要將一批水果運往該縣城一家水果加工廠，分兩次租用了某汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車，具體信息如下表所示：
第一次 第二次
甲種貨車輛數 2 5
乙種貨車輛數 3 6
累計運貨量/t 26 56
該果園第三次打算繼續租用該公司3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，可一次剛好運完這批水果.如果每噸運費為30元，果園三次總共應付運費多少元
甲、乙兩種貨車每輛次能運多少噸水果？
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
第一次 第二次
甲種貨車輛數 2 5
乙種貨車輛數 3 6
累計運貨量/t 26 56
本問題中的等量關系：
2輛甲種貨車運貨量+3輛乙種貨車運貨量=26 t
5輛甲種貨車運貨量+6輛乙種貨車運貨量=56 t
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
2輛甲種貨車運貨量+3輛乙種貨車運貨量=26 t
5輛甲種貨車運貨量+6輛乙種貨車運貨量=56 t
解：設甲、乙兩種貨車每輛次分別可運水果 x t，y t.
根據題意，得
解得
因此，甲種貨車每輛次分別可運水果4 t，
乙種貨車每輛次分別可運水果6 t.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
該果園第三次打算繼續租用該公司3輛甲種貨車和5輛乙種貨車，可一次剛好運完這批水果.如果每噸運費為30元，果園三次總共應付運費多少元
第3次運輸了
3×4+5×6=42 (t)
因而合計運輸了水果
26+56+42=124 (t)
3次總共應付運費
124×30=3720 (元)
答：該果園三次總共應付運費3720元.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
星期日，小軍與小明所在年級分別有同學去頤和園和圓明園參觀，其參觀人數和門票花費如下表：
問：頤和園和圓明園的門票各多少元？
本問題中的等量關系：
頤和園門票×參觀人數+圓明園門票×參觀人數=門票總費用
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
解：設頤和園和圓明園的門票各為x元、y元.
30x＋30y=750，
30x＋20y=650
根據題意，得
解得
x＝15，
y＝10.
答：頤和園和圓明園的門票各15元、10元.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
例2 對于多項式kx+b(其中k，b為常數)，若x分別用1，-1代入時， kx＋b的值分別為-1，3，求k和b的值.
解：根據題意，得
解得
故所求k和b的值分別為-2和1.
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
對于多項式kx＋b(k，b為常數)，若x分別用2，6 代入時，kx＋b的值分別為30，10，求k和b的值.
解：根據題意，得
解得
故所求k和b的值分別為-5和40.
【課本P132 練習 第2題】
新知探究
知識點 二元一次方程組的應用
練一練
1.春節前夕，某服裝專賣店按標價打折銷售. 茗茗去該專賣店買了兩件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共付260元. 付款后，收銀員發現結算時不小心把兩件衣服的標價計算反了，又找給茗茗40元. 這兩件衣服的原標價分別是( )
A.100元、300元 B.100元、200元
C.200元、300元 D.150元、200元
A
隨堂練習
2.已知制作如圖所示的甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬紙片，且長方形的寬與正方形的邊長相等，現有150張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片，可制作甲、乙兩種紙盒各多少個
本問題中的等量關系：
甲紙盒需要正方形硬紙片+乙紙盒需要正方形硬紙片=150張
甲紙盒需要長方形硬紙片+乙紙盒需要長方形硬紙片=300張
【課本P132 練習 第1題】
甲種紙盒
乙種紙盒
隨堂練習
甲紙盒需要正方形硬紙片+乙紙盒需要正方形硬紙片=150張
甲紙盒需要長方形硬紙片+乙紙盒需要長方形硬紙片=300張
解：設制作甲、乙兩種紙盒各x個，y 個.
根據題意，得
解得
答：可制作甲、乙兩種紙盒各30個、60 個.
甲種紙盒
乙種紙盒
隨堂練習
知識點1 圖表信息問題
1.欣欣購買了90張等邊三角形彩紙
與50張正方形彩紙（如圖①），準
備制作如圖②所示的甲、乙兩種圖
案，如果購買的彩紙剛好全部用完，
則可以制作甲、乙兩種圖案共
( )
C
A.10個 B.20個 C.30個 D.40個
2.（8分）［2025岳陽期末］為更好地滿足本地市民和外地游客的消費
需求，岳陽某超市在“春節”黃金周前投入11 220元資金購進甲、乙兩種
水果共400箱，這兩種水果的成本價和標價如下表所示：
類別 成本價/（元/箱） 標價/（元/箱）
甲 24
乙 33 50
（1）該超市購進甲、乙兩種水果各多少箱？
解：設該超市購進甲種水果箱，乙種水果 箱，根據題意,得
解得
答：該超市購進甲種水果220箱，乙種水果180箱.
（2）為了促銷，該超市將甲種水果按成本價提高 后標價銷售；乙
種水果按標價的八折銷售.若這400箱水果在“春節”黃金周結束后全部售
完，則該超市可獲得利潤多少元？
解：根據題意,得
（元）.
答：該超市可獲得利潤3 900元.
知識點2 雞兔同籠和配套問題
3.［2024遼寧中考］我國古代數學著作《孫子算經》中有“雉兔同籠”問
題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”
其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？設雞有
只，兔有 只，根據題意可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
4.（4分）某車間有68名工人，每人每天能生產8個甲種部件或5個乙種
部件，已知2個甲種部件和3個乙種部件配成一套，若每天生產的兩種部
件剛好配套，求有多少名工人生產甲種部件.
解：設有名工人生產甲種部件， 名工人生產乙種部件，依題意，得
解得
答：有20名工人生產甲種部件.
知識點3 賦值問題
5.對于多項式（其中，為常數），當分別用 ，3代入
時， 的值都為0，則這個多項式為( )
A
A. B. C. D.
6.（4分）對于等式，當時，；當 時，
，求和 的值.
解：因為對于等式，當時，；當 時，
，
所以解得
所以的值為2，的值為 .
7.（4分）［教材P133“習題3.7”第6
題變式］小亮、小紅和笑笑三個人
玩飛鏢游戲，各投6支飛鏢，規定在
同一圓環內得分相同，三人中靶和
解：設投中小圈得分，投中大圈得 分，
根據題意，得
，得 ，
所以小紅的得分是33分.
得分情況如圖，則小紅的得分是多少？請寫出推導過程.
8.（8分）用長方形硬紙板做長方體盒子，底面為正方形.長方形硬紙板
以如圖所示的兩種方法裁剪 方法：剪3個側面；B方法：剪2個側面和2
個底面.現有35張硬紙板，裁剪時張用A方法，其余 張用B方法.
（1）裁剪出的側面個數為_________，底面的個數為____；（用含，
的代數式表示）
（2）若裁剪出的側面和底面恰好全部用完，問能做多少個盒子？
解：根據題意，得
解得 （個）.
答：裁剪出的側面和底面恰好全部用完，能做21個盒子.
9.（8分） ［2025懷化期末］一個圓柱形容器中，現有
高的水.請根據圖中給出的信息，解答下列問題：
（1）如果放入6個球，使水面上升到 的高度，那么放入的大球、
小球各多少個？
解：由題圖易知1個小球使水面上升；1個大球使水面上升 .
設放入的大球為個，小球為 個，
則解得
答：放入的大球為2個，小球為4個.
（2）現放入若干個大球或小球，使得容器恰好裝滿，問有幾種可能？
請寫出過程，并一一列出.
解：容器恰好裝滿時，水位需上漲，設此時放入個大球， 個小
球，則.所以 .
因為，均為正整數，所以有以下三種情況：當時， ，滿
足條件；
當時， ，滿足條件；
當時， ，滿足條件.故放入大球6個，小球2個或大球3個，
小球6個或只放10個小球時，容器恰好裝滿.
列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
審
弄清題意和題目中的數量關系，找出能夠表達應用題全部含義的兩個等量關系；
設
根據問題設出兩個未知數；
列
根據等量關系，列出需要的代數式，從而列出方程組；
解
解這個方程組，得出未知數的值；
驗
檢驗所求的未知數的值是否符合題意，是否符合實際情況；
寫出答.
答
課堂小結
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