資源簡介

(共38張PPT)
3.8 三元一次方程組
第3章 一次方程（組）
【2025-2026學年】湘教版·2024數學 七年級上冊（精做課件）
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
幻燈片 1：封面
標題：3.8 三元一次方程組
副標題：認識與解法
背景圖：以三個相互關聯的天平為背景，每個天平兩側分別放置不同的未知數符號和常數，體現三元一次方程組中三個未知數的平衡關系，背景色延續藍綠色調。
幻燈片 2：學習目標
理解三元一次方程和三元一次方程組的概念，能準確識別三元一次方程和三元一次方程組。
知道三元一次方程組的解的含義，會檢驗一組數是否為三元一次方程組的解。
掌握解三元一次方程組的基本思路 ——“消元”，能運用代入消元法和加減消元法解簡單的三元一次方程組。
幻燈片 3：復習回顧
二元一次方程（組）的概念：含有兩個未知數，且含未知數的項的次數都是 1 的方程；由兩個含相同未知數的二元一次方程組成的方程組。
二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法，核心是 “消元”，將二元轉化為一元。
引入新問題：如果實際問題中含有三個未知量，且數量關系滿足三個等量關系，那么我們需要用到三元一次方程組來解決，這就是本節課的學習內容。
幻燈片 4：三元一次方程的概念
概念呈現：含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的方程，叫做三元一次方程。
舉例說明：
3x + 2y - z = 5 是三元一次方程，因為含有 x、y、z 三個未知數，且每個未知項的次數都是 1。
下列式子不是三元一次方程：
x + y + z = 7（z 的次數是 2）
xy + z = 3（xy 項的次數是 2）
2x + y = 1（只含有兩個未知數）
三元一次方程的解：使三元一次方程左右兩邊相等的三個未知數的值，叫做三元一次方程的解。三元一次方程有無數個解。
幻燈片 5：三元一次方程組的概念
概念呈現：由三個含有相同未知數的三元一次方程組成的方程組，叫做三元一次方程組。
舉例說明：
\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ x - y = 1 \\ 2x - z = 3\end{cases}\) 是三元一次方程組，三個方程都含有 x、y、z 三個未知數，且每個方程都是三元一次方程。
注意：組成方程組的三個方程中，未知數的個數可以不完全相同，但必須都含有三個相同的未知數；每個方程都是三元一次方程。
幻燈片 6：三元一次方程組的解
概念呈現：三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解。
檢驗方法：將一組數分別代入方程組中的每個方程，若每個方程的左右兩邊都相等，則這組數是該方程組的解。
示例：檢驗\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3\end{cases}\)是否為方程組\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ x - y = 1 \\ 2x - z = 1 \end{cases}\)的解。
代入①：左邊 = 2 + 1 + 3 = 6，右邊 = 6，左邊 = 右邊。
代入②：左邊 = 2 - 1 = 1，右邊 = 1，左邊 = 右邊。
代入③：左邊 = 2×2 - 3 = 1，右邊 = 1，左邊 = 右邊。
結論：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \\ z = 3\end{cases}\)是該方程組的解。
幻燈片 7：解三元一次方程組的基本思路
核心思想：仍然是 “消元”，通過消元將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再進一步轉化為一元一次方程。
轉化過程：三元一次方程組\(\xrightarrow{ }\)二元一次方程組\(\xrightarrow{ }\)一元一次方程\(\xrightarrow{ ± è§ }\)求出一個未知數的值\(\xrightarrow{ }\)求出另外兩個未知數的值。
常用方法：代入消元法和加減消元法，與解二元一次方程組的方法類似，但需要多一步消元過程。
幻燈片 8：示例 1—— 用代入消元法解三元一次方程組
例題：解方程組\(\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x + 2y + 5z = 22 \\ x = 4y \end{cases}\)
分步解析：
第一步：消去 x（代入法）
把③代入①和②，消去 x：
代入①得：4y + y + z = 12→5y + z = 12 ④
代入②得：4y + 2y + 5z = 22→6y + 5z = 22 ⑤
第二步：解二元一次方程組
由④得 z = 12 - 5y ⑥，把⑥代入⑤得：6y + 5 (12 - 5y) = 22→6y + 60 - 25y = 22→-19y = -38→y = 2。
把 y = 2 代入⑥得：z = 12 - 5×2 = 2。
第三步：回代求 x
把 y = 2 代入③得：x = 4×2 = 8。
檢驗與答案：將\(\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)代入原方程組，三個方程左右兩邊均相等，所以方程組的解是\(\begin{cases}x = 8 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)。
幻燈片 9：示例 2—— 用加減消元法解三元一次方程組
例題：解方程組\(\begin{cases}3x + 4z = 7 \\ 2x + 3y + z = 9 \\ 5x - 9y + 7z = 8 \end{cases}\)
分步解析：
第一步：消去 y
觀察方程②和③，y 的系數分別是 3 和 - 9，②×3 得：6x + 9y + 3z = 27 ④。
④ + ③得：(6x + 9y + 3z) + (5x - 9y + 7z) = 27 + 8→11x + 10z = 35 ⑤。
第二步：解由①和⑤組成的二元一次方程組\(\begin{cases}3x + 4z = 7 \\ 11x + 10z = 35 ¤\end{cases}\)
①×5 得：15x + 20z = 35 ⑥；⑤×2 得：22x + 20z = 70 ⑦。
⑦ - ⑥得：7x = 35→x = 5。
把 x = 5 代入①得：3×5 + 4z = 7→15 + 4z = 7→4z = -8→z = -2。
第三步：回代求 y
把 x = 5，z = -2 代入②得：2×5 + 3y + (-2) = 9→10 + 3y - 2 = 9→3y = 1→y = \(\frac{1}{3}\)。
答案：方程組的解是\(\begin{cases}x = 5 \\ y = \frac{1}{3} \\ z = -2\end{cases}\)。
幻燈片 10：解三元一次方程組的步驟總結
確定消元對象：觀察方程組中未知數的系數，選擇一個系數較簡單或出現次數較少的未知數作為先消去的對象。
消元轉化：運用代入法或加減法，消去選定的未知數，將三元一次方程組轉化為二元一次方程組。
解二元一次方程組：用之前學過的方法求出兩個未知數的值。
回代求解：將求出的兩個未知數的值代入原方程組中的一個方程，求出第三個未知數的值。
檢驗與作答：將三個未知數的值代入原方程組的每個方程進行檢驗，確認正確后寫出答案。
口訣：“三元先消元，轉化為二元；再消一元解，回代求全解”。
幻燈片 11：課堂練習 —— 基礎題
下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A. \(\begin{cases}x + y = 2 \\ y + z = 3 \\ z + w = 4\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ xz = 3\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x + 3y = 7 \\ z = 2\end{cases}\)
解方程組\(\begin{cases}x + y = 3 \\ y + z = 5 \\ z + x = 4\end{cases}\)
答案及解析：
選項 C 是三元一次方程組；
① + ② + ③得：2x + 2y + 2z = 12→x + y + z = 6 ④；④ - ①得 z = 3；④ - ②得 x = 1；④ - ③得 y = 2，所以方程組的解是\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)。
幻燈片 12：課堂練習 —— 提高題
已知方程組\(\begin{cases}x + y = 3 \\ y + z = -2 \\ z + x = 9\end{cases}\)，求 x + y + z 的值。
答案及解析：將三個方程相加得：2x + 2y + 2z = 10→x + y + z = 5。
學生活動：小組討論，嘗試不用分別求 x、y、z 的值，直接求出 x + y + z 的值，體會整體思想在解方程組中的應用。
幻燈片 13：解三元一次方程組的技巧
選擇合適的消元對象：優先消去系數為 1 或 - 1 的未知數，或在三個方程中系數成倍數關系的未知數。
整體消元：如練習中通過將三個方程相加，整體求出 x + y + z 的值，再求各未知數的值，簡化計算。
注意符號和系數：在加減消元時，要注意符號的變化和系數的計算，避免出錯。
分步檢驗：每消去一個未知數后，可簡單檢驗所得的二元一次方程組是否正確，減少后續錯誤。
幻燈片 14：易錯點警示
概念理解錯誤：認為含有三個未知數的方程就是三元一次方程，忽略 “未知項的次數都是 1” 這一條件。
消元時漏項：在進行加減消元時，漏加或漏減某一項，導致二元一次方程組錯誤。
回代時代入錯誤的方程：求出兩個未知數的值后，回代到變形后的方程而非原方程，可能因變形錯誤導致結果錯誤。
計算粗心：三元一次方程組的計算步驟較多，容易在系數計算、符號處理等方面出錯。
幻燈片 15：課堂小結
核心概念：
三元一次方程：含三個未知數，未知項次數都是 1 的方程。
三元一次方程組：由三個含相同未知數的三元一次方程組成。
解：三個方程的公共解。
解法思路：消元，將三元→二元→一元，方法有代入法和加減法。
關鍵步驟：確定消元對象→轉化為二元方程組→求解并回代→檢驗作答。
思想方法：消元思想、轉化思想、整體思想（在某些問題中）。
幻燈片 16：課后作業
基礎題：
（1）檢驗\(\begin{cases}x = 2 \\ y = -1 \\ z = 3\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 8 \\ x - 2y - z = 3\end{cases}\)的解。
（2）解方程組\(\begin{cases}3x - y + z = 4 \\ 2x + 3y - z = 12 \\ x + y + z = 6\end{cases}\)
提高題：
已知 x、y、z 滿足\(\begin{cases}x + 2y + 3z = 10 \\ 4x + 3y + 2z = 15\end{cases}\)，求 x + y + z 的值。
拓展題：某三位數，個位、十位、百位上的數字之和是 15，百位上的數字比十位上的數字多 5，個位上的數字是十位上數字的 3 倍，求這個三位數。
幻燈片 17：結束頁
結束語：本節課我們學習了三元一次方程組的概念和解法，其核心仍然是 “消元” 思想，將復雜的問題逐步簡化。掌握了三元一次方程組的解法，我們就能解決更多含有三個未知量的實際問題。
思考：生活中哪些實際問題可能需要用三元一次方程組來解決呢？
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.知道三元一次方程組的概念.
2.會用代入消元法和加減消元法解三元一次方程組，進一步體會“消元”的思想，發展運算能力.
3.會列三元一次方程組解決簡單的實際問題，發展模型觀念和應用意識.
學習目標
代入消元法
加減消元法
解一元一次方程
二元一次方
程組的解法
“多元”
“一元”
消元
化歸轉化的思想
課堂導入
含有兩個未知數
二元一次方程組
含有三個未知數
？
含有三個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程，叫作三元一次方程.
一般地，三元一次方程組含有三個方程.
含有三個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程組叫作三元一次方程組.
新知探究
知識點1 三元一次方程組
已知一個三位數的個位數字是十位數字與百位數字之和的2倍，百位數字是十位數字的3倍，三位數字之和為12.設個位數字x，十位數字為y，百位數字為z，請列出這個方程組.
做一做
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
新知探究
知識點1 三元一次方程組
對于未知數為x，y ，z的三元一次方程組，若x ，y ，z分別用數c1， c2， c3代入，能使每個方程左右兩邊的值相等，則把(c1， c2， c3)叫作這個方程組的一個解.
習慣上也記作
新知探究
知識點1 三元一次方程組
解二元一次方程組的思路是通過消元將其轉化為一元一次方程來求解，這種思路是否適合解三元一次方程組呢？
思考
以 為例來探究三元一次方程組的解法.
①
②
③
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
①
②
③
將方程①兩邊都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥組成的二元一次方程組，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
因此，是原三元一次方程組的解.
加減消元法
代入消元法
三元
二元
一元
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
三元一次方程組
二元一次方程組
先消去一個未知數
一元一次方程組
再消去一個未知數
得出一個未知數的值
得出第二個未知數的值
得出第三個未知數的值
代入所得二元一次方程組中的一個方程
已知的兩個數代入所得三元一次方程組中的一個方程
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
解三元一次方程組的基本思路是什么？
通過“代入”或“加減”進行消元，把“三元”轉化為“二元”，使解三元一次方程組轉化為解二元一次方程組，進而再轉化為解一元一次方程.
三元一次方程組
二元一次方程組
一元一次方程
消元
消元
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
例1 解三元一次方程組：
①
②
③
解：③×5-①，得
因此，是原三元一次方程組的解.
④
y+4z=-10 .
③×3-②，得
2y+7z=-7 .
⑤
④×2-⑤，得
z=-13 .
把z用-13代入方程④，得
y= 42 .
把y用42，z用-13代入方程③，得
x=-31 .
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
例2 解三元一次方程組：
①
②
③
解：②×3-①，得
④
x+7z=-12 .
②+③，得
5x-2z=-23 .
⑤
④×5-⑤，得
37z=-37 ，
兩邊都除以37，得
z=-1 .
把z用-1代入方程④，得
x=-5 .
把x用-5， z用-1代入方程②，得
y=-4.
因此，是原三元一次方程組的解.
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
做一做
自己動手求出本節開篇
“做一做”欄目中的三位數：
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
①
②
③
解：③-①，得
④
y+z=4 .
④-②，得
4y=4 .
兩邊都除以4，得
y=1 .
把y用1代入方程②，得
z=3 .
把z用3，y用1代入方程③，得
x=8 .
因此，這個三位數是318.
新知探究
知識點2 解三元一次方程組
1.解下列三元一次方程組：
①
②
③
解：(1) ②+③，得
④-①，得
把y用6代入方程①，得
把x用1代入方程③，得
因此，是原三元一次方程組的解.
x+2y=13.
④
y=6.
x=1.
z=-6.
【課本P137 練習】
隨堂練習
1.解下列三元一次方程組：
①
②
③
(2) ③×2-①，得
③×3-②，得
⑤-④，得
把y用-5代入方程④，得
因此，是原三元一次方程組的解.
y+7z=-19.
④
11y+7z=-69.
x=8.
z=-2.
⑤
10y=-50，
兩邊同時除以10，得
y=-5.
把z用-2，y用-5代入方程③，得
隨堂練習
2. 有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年齡之和為15歲，乙、丙的年齡之和為16歲，丙、甲的年齡之和為17歲，則甲、乙、丙三人的年齡分別為多少歲？
解得
解：設甲、乙、丙三人的年齡分別為 x 歲，y 歲，z 歲，
則
答：甲、乙、丙三人的年齡分別為8歲，7歲，9歲.
隨堂練習
知識點1 三元一次方程的概念
1.下列方程中是三元一次方程的是( )
B
A. B.
C. D.
2.若方程是關于，， 的三元一次方程，
則___，____， ___.
0
0
知識點2 三元一次方程組及其解的概念
3.下列是三元一次方程組的是( )
D
A. B.
C. D.
4.下列四組數值中，是方程組 的解的是( )
D
A. B. C. D.
知識點3 解三元一次方程組
5.解方程組 最簡便的消元方法是( )
B
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常數項
6.利用加減消元法解方程組 下列做法正確的是
( )
A
A.要消去，先，再
B.要消去，先，再
C.要消去，先，再
D.要消去，先，再
7.（8分）解下列三元一次方程組：
（1）
解：由①，得 ，
把代入方程②，得，解得.把 代
入方程③，得，解得.把，代入 ，
得.因此， 是原三元一次方程組的解.
（2）
解：，得 ，
兩邊同時除以2，得 ，④
，得，，得，，得 ，因此，
是原三元一次方程組的解.
知識點4三元一次方程組的應用
8.某次足球聯賽在進行了12場比賽后，前三名的比賽成績如下表：
勝/場 平/場 負/場 積分/分
A隊 8 2 2 26
B隊 6 5 1 23
C隊 5 7 0 22
問：每隊勝1場、平1場、負1場各積多少分？若設每隊勝1場積 分，平1
場積分，負1場積 分，則可列方程組為_ ___________________.
9.已知等式，當時，；當時， ；
當時，，則當時， ____.
52
10.三元一次方程組 消去一個未知數后，所得二元一
次方程組是( )
A
A. B.
C. D.
11.若，則__，___，
____.
1
12.［2025常德期末］幻方是古老的數字問題，我國古代的“洛書”中記
載了最早的幻方——九宮格.將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、
每一豎列以及兩條斜對角線上的3個數之和相等.如圖為一個三階幻方的
一部分，則圖中 的值為___.
12
4
[解析] 點撥：根據題意，得
即
所以，得 .
13.（8分）解下列方程組：
（1）
解：，得 .④
，得，解得.把代入③，得 ，解得
.
把,代入①，得 .
故原方程組的解為
（2）
解：把①代入②，得，即 .④
，得，解得 .
把代入①，得 .
把代入③，得，解得 .故原方程組的解為
14.（8分） 如圖，約定：上方相鄰兩數
之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數.示
例： ，即 .
（1）若，求, 的值；
解：依題意，得
當時，
（2）若，求 的值.
解：依題意，得
所以
因為，所以
所以 .
三元一次方程組
定義
含未知數的項的次數都是 1
含有 3 個未知數
解答思路
化“三元”為“二元”
一般有三個方程
課堂小結
謝謝觀看！

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