資源簡介

1.1 從自然數到有理數
第1章 有理數
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
從自然數到有理數
課程目標
全面了解自然數、整數、分數和有理數的定義和基本特性。
掌握有理數的基本運算方法及其性質。
深入認識有理數在數學中的重要地位及其廣泛應用。
自然數的定義和性質
定義：自然數是最基本的數集，從 1 開始，包括所有正整數（在新的定義中，0 也屬于自然數）。如 1、2、3、4、5……
特性
唯一性：每個自然數都獨一無二。
順序性：可明確表示事物的先后順序，如第 1 名、第 2 名等。
封閉性：自然數進行加法和乘法運算，結果仍為自然數。例如 2 + 3 = 5，2 × 3 = 6 。
自然數的應用
計數：生活中計算物體數量，如教室里有 30 張桌子。
排序：比賽排名，如小明在跑步比賽中獲得第 5 名。
測量基礎：測量長度、重量等時，測量結果常以自然數為基礎單位進行記錄 。
分數的定義和性質
定義：把單位 “1” 平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數叫分數。如\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{3}{4}\) 。
性質
表示部分與整體關系：如將一個蛋糕平均分成 8 份，其中的 3 份可表示為\(\frac{3}{8}\) 。
分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或者除以一個相同的數（0 除外），分數的大小不變。例如\(\frac{1}{2}=\frac{1×3}{2×3}=\frac{3}{6}\) 。
分數的應用
表示物品的一部分：一根繩子用去了\(\frac{2}{5}\) 。
描述比例關系：在一個班級中，男生占總人數的\(\frac{3}{5}\) 。
數學運算：分數的加、減、乘、除運算在實際問題和數學理論中廣泛應用。如\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3 + 2}{6}=\frac{5}{6}\) 。
生活中的相反意義的量
實例
氣溫的零上 6℃和零下 3℃。
汽車向東行駛 2.5 千米和向西行駛 1.5 千米。
商場盈利 3000 萬和虧損 2000 萬。
股票指數上漲 100 點或下降 150 點。
特點
意義相反。
屬于同一屬性，與數值大小無關。
負數的引入
定義：為表示具有相反意義的量，把一種意義的量規定為正，用大于零的數表示，如 123、3.14 等，這樣的數叫正數；把另一種與之意義相反的量規定為負，用大于 0 的數前面放上 “-”（讀作負號）來表示，如 - 1、-2.5 等，這樣的數叫做負數。
注意：0 既不是正數，也不是負數。
有理數的定義
有理數是能夠表示為兩個整數之比的數，包括整數和分數。整數可看作分母為 1 的分數。如 2 可表示為\(\frac{2}{1}\)，-3 可表示為\(\frac{-3}{1}\)，\(\frac{1}{2}\) 。
有理數的分類
按定義分類
整數：正整數、零、負整數統稱整數。如 1、0、-1。
分數：正分數、負分數統稱分數。如\(\frac{1}{2}\)、\(-\frac{3}{4}\) 。
按性質分類
正有理數：正整數和正分數。如 2、\(\frac{3}{5}\) 。
零：既不是正數也不是負數。
負有理數：負整數和負分數。如 - 3、\(-\frac{2}{3}\) 。
有理數的應用
測量與計算：生活中測量長度、重量、時間等，結果常用有理數表示。如鉛筆長 15.5 厘米，即\(\frac{31}{2}\)厘米 。
金融領域：利率、股票價格、匯率等常用有理數表示。如年利率為 3.5%，即\(\frac{3.5}{100}\) 。
工程與科學：物理中的速度、加速度，工程中的比例尺等計算都離不開有理數。如汽車速度為 60 千米 / 小時，即\(\frac{60}{1}\)千米 / 小時 。
總結
數的發展：從自然數到分數，再到引入負數形成有理數。
重要概念：自然數、分數、負數、有理數的定義和性質。
有理數分類：按定義和性質兩種分類方式。
應用廣泛：在生活、金融、科學等多領域有重要應用。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.自然數的作用：
（1）計數，計量人或物的數量；
（2）測量，如長度、高度、質量等；
（3）標號或排序，如城市的公共汽車路線、門牌號碼、郵編、身
份證號碼等。
并不是所有的小數都能化為分數，如小學學過的π 就不能
化為分數。
?
典例1 李亮收集到以下信息：
（1）某城市有16條公共汽車線路；
（2）王剛乘坐T26 次火車去上海；
?
（3）劉風在校運動會上獲得跳遠比賽第1名。
其中，用自然數表示標號的有_______，表示排序的有_______,表
示計數的有_______。（填序號）
（2）
（3）
（1）
2.分數、小數的關系：
（1）分數可以看作兩個整數相除，因此分數都可以化為小數
（有限小數或無限循環小數）；
（2）有限小數、無限循環小數都可以化為分數。如
1.68=168100=4225，0.3?=13，20%=15 。
?
典例2 把下列各數化成分數：
2.7，0.13，12% 。
?
解：2.7=2710，0.13=13100，12%=12100=325 。
?
1.具有相反意義的量包括兩層含義：（1）具有相反意義；
（2）具有數量。



常見的表示相反意義的詞語
增加←→ 減少
零上←→ 零下
前進←→ 后退
向東←→ 向西
上升←→ 下降等
?
（2）具有數量。
敲黑板 具有相反意義的量的特點
特點
解讀與舉例
成對性
單獨一個量不能成為具有相反意義的量，如上升10米。
同類性
具有相反意義的量必須是同類量，如向東走20米與盈利20元就不是具有相反意義的量。
不唯
一性
具有相反意義的量，不要求數量相等，如與盈利300元具有相反意義的量不唯一，可以是虧損400元，也可以是虧損100元等。
典例3 下列選項中，是具有相反意義的量的是( )
C
A.身高增加1?cm與體重減少1?kg
B.海平面以上與海平面以下
C.向東5?m與向西8?m
D.存入100元與降價10元
?
2.具有相反意義的量的表示
為了區別具有相反意義的量，通常把一種意義的量用以前學
過的數或者帶有“+ ”（正號）的數表示；把另外一種與它意義
相反的量用帶有“-”（負號）的數表示。
表示具有相反意義的量時，一定要說明數量和單位。
?
典例4（1） 2024年4月25日20時59分，搭載
神舟十八號載人飛船的長征二號F 遙十八運載火箭在酒泉衛星發射
中心成功發射。若運載火箭發射點火前5秒記為?5 秒，那么運載火
箭發射點火后10秒記作_____________________。
?
+10秒（注意帶單位）
?
（2）如果某蓄水池的水位比標準水位高2米，記作+2 米，那么比
標準水位低0.5米，應記作________;恰好等于標準水位，應記作
_____。
?
?0.5米
?
0米
（3）手機移動支付給生活帶來便捷，若規定收款為正，則+37 元
表示__________，?111 元表示___________。
?
收款37元
付款111元
（4）從山腳測山高為300?m，山腳高出海平面50?m 。若以海平面
為基準，山腳的高度記作+50?m ，則山高記作________；若以山腳
為基準,山高記作+300?m ,則海平面的高度記作_______。
（選擇的基準不同，表示的結果也不同）
?
+350?m
?
?50?m
?
解題通法
用正數、負數表示具有相反意義的量的步驟
數的
分類
定義
舉例
注意
正數
大于零的數。
123,13,1.31
正數前的“+ ”
常省略不寫。
負數
用大于零的數前面放
上負號“-”來表示的
數。
?60，?0.5,?23
負數前的“-”不
能省略不寫。
數的
分類
定義
舉例
注意
正數
大于零的數。
負數
用大于零的數前面放
上負號“-”來表示的
數。
負數前的“-”不
能省略不寫。
數的
分類
定義
舉例
注意
0
（1）0是正數與負數的分界；
（2）0不僅可以表示“沒有”，還可以表示
某種量的基準，如0?℃ 表示實際溫度為冰
點時的計量結果。
0既不是正數，也不是負數。
數的
分類
定義
舉例
注意
0
0既不是正數，也不是負數。
典例5 (寧波鎮海區校級期中)下列各數?1，2，?3，0，π 中，
負數有( )
?
B
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析：用大于零的數前面放上負號“-”來表示的數叫作負數，
所以?1，?3 這兩個數是負數。
?
1.整數：正整數、零和負整數統稱整數，如?3，?2，?1 ，0，
1，2，3等。
整數分為奇數和偶數。奇數和偶數中也有負數，如?6 ，
?4，?2是偶數，?5，?3，?1 是奇數。
2.分數：正分數、負分數統稱分數，如213，0.2，?1.25，?15 等。
3.有理數：整數和分數統稱有理數。
(任何一個有理數都可以寫成????????(????,????是整數,????≠0)的形式)
?
教材延伸
4.部分常用的數：
（1）正整數:如1，2，3，? 。
負整數:如?1，?2，?3，? 。
（2）正分數:如12,43，0.1，5.32，0.3?，? 。
負分數:如?13，?65，?0.1,?5.32,?0.3? ,…。
（3）非負數:正數和0。
非正數:負數和0。
非負整數:正整數和0。（即自然數）
?
典例6 下列說法正確的有( )
①不帶負號的數都是正數；②正數、負數統稱有理數；
③?3.14 既是負分數，也是有理數；④有理數中除了
正數就是負數。
?
B
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
解析：
序號
分析
判斷
①
不帶負號的數包括0,但0既不是正數也不是負數。
×
②
整數和分數統稱有理數。
×
③
?3.14 既是負分數，也是有理數。
√
④
0是有理數，但0既不是正數也不是負數。
×
序號
分析
判斷
①
不帶負號的數包括0,但0既不是正數也不是負數。
②
整數和分數統稱有理數。
③
√
④
0是有理數，但0既不是正數也不是負數。
故說法正確的只有1個。
1.按定義分類
2.按性質符號分類
敲黑板 有理數的分類三原則
（1）分類不重合——所分的各類應互不包含，如有理
數分為非負有理數、零和正有理數就違反了這一原則；
（2）分類無遺漏——所分各類之“和”必須是原來的全部，如
將有理數分為正有理數和負有理數就漏掉了0；
（3）標準要統一——必須按同一分類標準進行分類，如將有
理數分為正有理數、零和負分數，分類標準就不統一。
典例7 把下列各數填在相應的橫線上。
+203，0，+6.4，?9，?57，2.6，?0.1 。
正整數:_ _；
負分數:_ _；
非正數:_ _；
有理數:_ _。
?
在典例7的條件下。
負整數：________；
正分數：________；
非負數：___ _____；
自然數：________。
+6.4,2.6
-9
+203,0
+203,0，+6.4,2.6
自然數及其應用
1. 一個長26厘米、寬19厘米、高0.7厘米的物體，最有可能
是(　B　)
A. 衣柜
B. 數學課本
C. 手機
D. 橡皮
B
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2. 小亮在看報紙時，收集到下列信息：①某地的國民生產總
值位列全國第5位；②某城市有16條公共汽車路線；③小
剛乘G56次高鐵去北京；④小鳳在校運會上獲得跳遠比賽
第1名.其中的數表示標號或排序的是(　C　)
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
C
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3. [新考向·身邊的數學]火車票上的車次號有兩個意義，一是
數字越小表示車速越快，1～98次為特快列車，101～198
次為直快列車，301～398次為普快列車，401～498次為普
客列車；二是單數與雙數表示不同的行駛方向，其中單數
表示從北京開出，雙數表示開往北京.根據以上規定，杭
州開往北京的某一直快列車的車次號可能是(　C　)
A. 20
B. 119
C. 138
D. 319
C
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4. 一場演唱會的觀眾席是一個長100米、寬50米的長方形場
地，演唱會的門票全部賣光，觀眾席里站滿了歌迷.下面
最有可能是參加演唱會的觀眾總人數的是(　C　)
A. 1 000
B. 2 000
C. 20 000
D. 100 000
C
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5. [新考向·地域文化]下面關于六和塔的描述用了很多
數，說說它們哪些屬于計數？哪些屬于測量？哪些屬
于標號或排序？
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六和塔位于西湖之南，錢塘江畔月輪山腰上.北宋開寶三
年(公元970年)，當時杭州為吳越國國都，國王為鎮住錢
塘江潮水派人建造了六和塔.現在的六和塔塔身重建于南
宋，取佛教“六和敬”之義，命名為六和塔.塔高約60
米，其建造風格非常獨特，塔內部磚石結構分7層，外部
木結構為8面13層.1961年被國務院定為全國重點文物保護
單位.
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【解】屬于計數的有：7，8，13；
屬于測量的有：60；
屬于標號或排序的有：970，1 961.
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分數與小數的轉化
6. 下列分數中，能化成有限小數的是(　C　)
A. ????????
B. ????????????
C. ????????????
D. ????????????
C
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7. 將下列小數化為分數，分數化為小數.
(1)0.32 (2)4.28 (3)7.2 (4)0.625

【解】(1)0.32＝???????????? ；
(2)4.28＝4???????????? ；
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(3)7.2＝7???????? ；
(4)0.625＝???????? ；
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(5)???????? (6)3???????? (7)???????????????? (8)????????????
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(5)???????? ＝0.75；
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(6)3???????? ＝3.875；
(7)???????????????? ＝0.68；
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(8)???????????? ＝1.8????· .
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小數、分數的應用
8. 我們把分子為1的分數叫作單位分數.如???????? ，???????? ，???????? ，…，
任何一個單位分數都可以拆分成兩個不同單位分數的和，
如???????? ＝???????? ＋???????? ，???????? ＝???????? ＋???????????? ，???????? ＝???????? ＋???????????? ，….
?
(1)根據對上述式子的觀察，你會發現???????? ＝????□ ＋????〇 ，則□
所表示的數為 ，〇所表示的數為 ?；
?
(2)進一步思考，單位分數???????? ＝????△ ＋????☆ (n是不小于2的自然
數)，則△所表示的式子為 ，☆所表示的式子
為 ?.
?
6　
30　
n＋1　
n(n＋1)　
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9. [新考向·傳統文化 2024·浙江臺州調研]《禮記·雜記上》記
載：“葦席以為屋，蒲席以為裳帷.”蒲為多年生草本植
物，生池沼中，高近2米，根莖長在泥里，可食.其中涉及
的自然數2屬于(　B　)
A. 計數
B. 測量
C. 標號
D. 排序
B
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10. [2023·金華義烏月考]按一定規律排列的一列數依次為：
???????? ，???????? ，???????????? ，???????????? ，???????????? ，???????????? ，…，按此規律排列下去，這
列數中的第9個數是 ?.
?
???????????? 　
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(1)5名成人，5名兒童，選擇哪種方案合算？
【解】方案一：5×150＋5×60＝1 050(元)，
方案二：(5＋5)×100＝1 000(元)，
1 050＞1 000，因此選擇方案二合算.
11. 如圖，某旅行社推出了“西湖風景區一日游”的兩種價
格方案.
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(2)5名成人，10名兒童，怎樣購票合算？
【解】5名成人選方案二，10名兒童選方案一購票
合算.
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12. [母題 教材P8作業題T1]讀完下面這段話，回答問題：
我們的教室長12 m，寬8 m，講臺長1.2 m，寬0.8 m，我們班有50人，占全年級人數的8％，多數同學都是13歲.
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(1)在老師剛才描述中出現了哪些數？其中哪些屬于計
數？哪些屬于測量？哪些屬于標號或排序？
【解】在老師剛才描述中出現了：12、8、1.2、
0.8、50、8％、13，其中屬于計數的有50、8％、
13，屬于測量的有12、8、1.2、0.8，出現的數均不
屬于標號或排序；
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(2)你能將這些數進行分類嗎？
【解】能.按整數和分數分類：整數有12、8、50、
13，分數有1.2、0.8、8％；
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(3)在實際生活中僅有整數和分數夠用嗎？請你舉例
說明.
【解】僅有整數和分數不夠用，例如求圓的周長和面
積時，發現圓周率，但圓周率的值并不能由兩個整數
相除而得；又如求邊長為1的正方形對角線長時，求
得的既不是整數也不是分數.(舉例不唯一)
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13. [新考法·閱讀類比法]閱讀材料：把無限循環小數化為分
數，可以按如下方法進行：
以0.????· 為例，令0.????· ＝x，
由0.????· ＝0.333…，可知10x＝3.333…，所以10x＝3＋
x，解得x＝???????? ，于是0.????· ＝???????? .
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(1)請把無限循環小數0.????· 化為分數是 ?；
(2)請把無限循環小數0.????????· 化為分數；
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【解】令0.????????· ＝x，則100x＝75.757 5…，
所以100x＝75＋x，所以x＝???????????????? .
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???????? 　
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(3)將0.????· 1????· 與0.????· 的積化為小數，則小數點后第999位
數字是 ?.
?
0　
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謝謝觀看！

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