資源簡介

(共36張PPT)
2.2 有理數的減法
第2章 有理數的運算
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
有理數的減法
課程目標
深刻理解有理數減法的意義，熟練掌握有理數減法法則。
能夠準確無誤地運用有理數減法法則進行各類計算。
學會靈活運用運算技巧，簡化有理數減法運算過程。
能夠運用有理數減法知識，有效解決實際生活中的數學問題。
有理數減法的定義
有理數減法是已知兩個有理數加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，它是加法的逆運算。例如，已知\(a + b = c\)，那么\(c - b = a\)，這里\(c - b\)就是有理數減法運算。
有理數減法法則
減去一個數，等于加上這個數的相反數。用式子表示為：\(a - b = a + (-b)\) 。這其中有 “兩變一不變”：
兩變：
運算符號改變，減法運算變為加法運算。
減數改變，減數變成它的相反數。
一不變：被減數保持不變。
有理數減法運算步驟
將減法運算轉化為加法運算，即把減號變為加號，同時將減數變為它的相反數。
按照有理數加法法則進行計算。先確定和的符號，再計算和的絕對值。
實例演示
計算\(5 - 3\)：
依據法則，轉化為加法：\(5 - 3 = 5 + (-3)\) 。
按照加法法則計算：因為\(5\)是正數，\(-3\)是負數，異號兩數相加，\(5\)的絕對值大于\(-3\)的絕對值，所以取\(5\)的符號為正號，并用\(5\)的絕對值減去\(-3\)的絕對值，即\(5 - 3 = 5 + (-3) = +(5 - 3) = 2\) 。
計算\(3 - 5\)：
轉化為加法：\(3 - 5 = 3 + (-5)\) 。
按加法法則計算：\(3\)是正數，\(-5\)是負數，異號兩數相加，\(-5\)的絕對值大于\(3\)的絕對值，所以取\(-5\)的符號為負號，并用\(-5\)的絕對值減去\(3\)的絕對值，即\(3 - 5 = 3 + (-5) = -(5 - 3) = -2\) 。
有理數減法運算技巧
湊整法：若被減數和減數接近某個整數，可將減數湊整，簡化計算。例如計算\(45 - 29.5\)，可將\(29.5\)看作\(30\)，先算\(45 - 30 = 15\)，因為多減了\(0.5\)，所以結果要加上\(0.5\)，即\(45 - 29.5 = 15 + 0.5 = 15.5\) 。
運用運算律：在多個有理數加減混合運算中，可利用加法交換律和結合律調整數的順序或組合。例如計算\(15 + 23 - 10 - 13\)，可利用交換律和結合律變形為\((15 - 10) + (23 - 13) = 5 + 10 = 15\) 。
分數運算技巧：進行分數減法運算時，若分母不同，需先通分，化為同分母分數再相減。例如計算\(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\)，先通分，\(4\)和\(3\)的最小公倍數是\(12\)，則\(\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{3 3}{4 3} - \frac{1 4}{3 4} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{9 - 4}{12} = \frac{5}{12}\) 。
實際應用舉例
溫度問題：某天最高氣溫是\(8 \)，最低氣溫是\(-3 \)，這天的溫差是多少？
溫差 = 最高氣溫 - 最低氣溫，即\(8 - (-3)\) 。
根據減法法則，轉化為加法：\(8 - (-3) = 8 + 3 = 11( )\) ，所以這天的溫差是\(11 \) 。
海拔問題：A 地海拔高度為\(200\)米，B 地海拔高度為\(-50\)米，A 地比 B 地高多少米？
可列式為\(200 - (-50)\) 。
轉化為加法：\(200 - (-50) = 200 + 50 = 250\)（米），即 A 地比 B 地高\(250\)米。
經濟問題：某商店上周盈利\(300\)元，本周盈利\(-50\)元，上周比本周多盈利多少元？
多盈利的金額 = 上周盈利 - 本周盈利，即\(300 - (-50)\) 。
轉化為加法計算：\(300 - (-50) = 300 + 50 = 350\)（元），所以上周比本周多盈利\(350\)元。
課堂練習
計算下列各題：
\(7 - 4\)
\((-7) - 4\)
\(7 - (-4)\)
\((-7) - (-4)\)
\(0 - 5\)
\(5 - 0\)
運用運算技巧計算：
\(35 - 19.8\)
\(12 + 25 - 18 - 12\)
\(\frac{5}{6} - \frac{1}{4}\)
解決實際問題：
潛水員在水下\(30\)米處，記作\(-30\)米，上升\(15\)米后，他現在的位置是多少米？
總結
有理數減法法則是 “減去一個數，等于加上這個數的相反數”，計算時要遵循 “兩變一不變” 原則。
運算時先將減法轉化為加法，再按加法法則計算。
靈活運用湊整法、運算律和分數運算技巧等，可以使計算更簡便。
有理數減法在溫度、海拔、經濟等實際生活場景中有廣泛應用，要學會將實際問題轉化為數學問題并解決。
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課堂檢測
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新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數的減法法則，能熟練進行有理數的減法運算，提
高運算能力。
2.能把有理數的加減混合運算轉化成加法運算，體會轉化思想。
3.能將和式中的括號和加號省略，并利用加法運算律進行計算。
4.能運用有理數的加減法解決簡單的實際問題，形成應用意識。
1.有理數的減法法則:減去一個數，等于加上這個數的相反數。
用字母表示： 。
2.將減法轉化為加法時要注意“兩變一不變”：
“兩變”是指運算符號“-”需要變成“ ”，減數變成它的
相反數；“一不變”是指被減數不變。
（1）任何數減去0，仍得這個數；0減去一個數，得這個數的相反數。
（2）減法沒有交換律，被減數與減數的位置不能改變。
教材延伸 兩數相減，差的符號的確定
（1）較大的數-較小的數正數，即若，則 ；反之，若，則 。
（2）較小的數-較大的數負數，即若，則 ；反之，若，則 。
（3）相等的兩個數的差為0，即若，則 ；反之，若，則 。
上述結論也常用于“作差法比較兩個有理數的大小”。
典例1 計算：
（1） ；
解： 。
（2） ；
解： 。
（3） ；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5） ；
解： 。
一個數減一個正數，所得的差小于這個數；
一個數減一個負數，所得的差大于這個數。
（6） 。
解： 。
有理數減法運算“三步曲”
(1)把減號變為加號(改變運算符號);
(2)把減數變為它的相反數(改變性質符號);
(3)按照加法運算的步驟進行運算。
我們可以把算式 中各個加數的括號和括號
前面的加號省略，寫成，這個算式仍可看作和式，
讀作“正 、負 與正的和”（按式子表示的意義讀），或
者讀作“減加 ”（按運算的意義讀）。這樣給算法的選擇
和書寫帶來方便。
典例2 把寫成省略“ ”號和
括號的形式，并寫出它的讀法。
解：
。
讀作“負6、正7、負9、正3的和”，或者讀作“負6加7減9加3”。
省略的是運算符號，性質符號必須保留。
第1個數前面的符號是性質符號。
有理數加減混合運算的步驟：
（1）遇減化加：利用減法法則，將減法轉化為加法；
（2）運用加法交換律和結合律，簡化運算；
（3）求出結果。
（1） ；
解：
（把減法轉化為加法）
（加法交換律）
（加法結合律）
。
交換加數的位置時,必須連同加數前面的符號一起交換。
典例3 計算：
（2） 。
解：
（將減法轉化成加法）
（加法交換律）
（加法結合律）
。
知識過關
減去一個數，等于加上這個數的 　相反數　.
相反數
有理數的減法法則
1. [2024·天津]計算3－(－3)的結果是(　D　)
A. －6 B. 0 C. 3 D. 6
D
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2. [2024·石家莊期末]下列算式：①2－(－2)＝0；②(－3)－
(＋3)＝0；③(－3)－｜－3｜＝0；④0－(－1)＝1.其中正
確的有(　A　)
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
A
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3. 下列說法：
①減去一個負數等于加上這個數的相反數；
②正數減負數，差為正數；
③零減去一個數，仍得這個數；
④兩數相減，差一定小于被減數；
⑤兩數相減，差不一定小于被減數；
⑥互為相反數的兩數相減得零.
其中正確的有(　B　)
A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
B
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4. [母題 教材P42作業題T2]計算：
(1)－2－(＋10)；
(2)0－(－3.6)；
【解】－2－(＋10)
＝－2＋(－10)
＝－12.
【解】0－(－3.6)
＝0＋3.6
＝3.6.
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(3)(－30)－(－6)；
(4)(＋13)－(＋16).
【解】(－30)－(－6)
＝(－30)＋6
＝－24.
【解】(＋13)－(＋16)
＝＋13＋(－16)
＝－3.
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有理數減法法則的應用
5. [新考向·知識情境化]圓圓想了解某地某天的天氣情況，在
某氣象網站查詢到該地這天的最低氣溫為－6 ℃，最高氣
溫為2 ℃，則該地這天的溫差(最高氣溫與最低氣溫的差)
為(　D　)
A. －8 ℃ B. －4 ℃
C. 4 ℃ D. 8 ℃
D
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6. [情境題·生活應用]某商店出售三種不同品牌的大米，米袋
上分別標有質量如表.現從中任意拿出兩袋不同品牌的大
米，這兩袋大米的質量最多相差(　A　)
大米種類 A品牌大米 B品牌大米 C品牌大米
質量標示 (10±0.5) kg (10±0.3) kg (10±0.2) kg
A. 0.8 kg B. 0.6 kg
C. 0.4 kg D. 0.5 kg
A
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7. 列式并計算：
(1)和是－2，一個加數是6，求另一個加數；
(2)差是－5，被減數是－7，求減數；
(3)一個數是16，另一個數比16的相反數小－2，求這兩個
數的差.
【解】－2－6＝－2＋(－6)＝－8.
【解】－7－(－5)＝－7＋5＝－2.
(3)16 [－16－(－2)]＝16－(－14)＝16＋14＝30.
【解】 16－
＝16－(－14)＝16＋14＝30.
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8. [新考向·知識情境化]如圖是某一礦井的示意圖，以地面為
基準，A點的高度是＋4.2 m，B點的高度為－15.6 m，
C點的高度為－30.5 m.請問：A點比B點高多少米？B
點比C點高多少米？
【解】＋4.2－(－15.6)＝4.2＋15.6＝19.8(m).
－15.6－(－30.5)＝－15.6＋30.5＝14.9(m).
答：A點比B點高19.8 m，B點比C點高14.9 m.
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9. 兩數a，b在數軸上對應點的位置如圖所示，下列判斷正
確的是(　B　)
A. a＋b＞0 B. a＋b＜0
C. a－b＜0 D. ｜a｜－｜b｜＞0
B
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10. 如圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中
的“更相減損術”，按照這個算法，如果輸入a，b的
值分別為3，8，那么輸出a的值為 .
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11. 在計算兩個數的減法－3 －■時，由于不小心，減數被
墨水污染.
(1)嘉淇誤將－3 后面的“－”看成了“＋”，從而算得
結果為5 ，請求出被墨水污染的減數；
【解】由題意得，被墨水污染的減數為5 －
＝5 ＋3 ＝9 .
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(2)請你正確計算此題.
【解】－3 －9 ＝－13 .
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12. 小明在電腦中設置了一個有理數的運算程序，輸入數
a，加*鍵，再輸入數b，就可以得到運算：a*b＝(a－b)
－｜b－a｜.
(1)求(－3)*2的值；
(2)求(3*4)*(－5)的值.
【解】(－3)*2＝(－3－2)－｜2－(－3)｜＝－5－5
＝－10.
(2)3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
[(－2)－(－5)]－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
【解】3*4＝(3－4)－｜4－3｜＝－2，(－2)*(－5)＝
－｜－5－(－2)｜＝0，
所以(3*4)*(－5)＝0.
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13. [新考法·閱讀類比法]閱讀材料：點A，B在數軸上分別
表示有理數a，b.在數軸上A，B兩點之間的距離＝｜
a－b｜.所以式子｜x－3｜的幾何意義是數軸上表示有
理數x的點與表示有理數3的點之間的距離；同理｜x－
4｜也可理解為x與4兩數在數軸上所對應的兩點之間的
距離.
試探索：
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(1)若｜x－2｜＝5，則x的值是 ；
(2)同理｜x－5｜＋｜x＋3｜＝8表示數軸上有理數x所
對應的點到5和－3所對應的兩點的距離之和為8，則
所有符合條件的整數x的和為 ；
－3或7　
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(3)由以上探索猜想，若點P表示的數為x，當點P在數
軸上的什么位置時，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－
5｜有最小值？如果有，直接寫出最小值.
【解】由題意可得，該算式表示數軸上點P到表示－
1，3，5的點的距離之和，可得當點P在數軸上表示3
的點處時，｜x＋1｜＋｜x－3｜＋｜x－5｜有最小
值，最小值為6.
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