資源簡(jiǎn)介

2.3 有理數(shù)的乘法
第2章 有理數(shù)的運(yùn)算
【2025-2026學(xué)年】浙教版 數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊(cè)
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
有理數(shù)的乘法
課程目標(biāo)
理解有理數(shù)乘法的意義，掌握有理數(shù)乘法的法則。
能夠熟練運(yùn)用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算。
了解有理數(shù)乘法的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算。
學(xué)會(huì)運(yùn)用有理數(shù)乘法解決實(shí)際問題。
有理數(shù)乘法的定義
有理數(shù)的乘法是求幾個(gè)相同有理數(shù)相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算。例如，3 個(gè)（-2）相加，即（-2）+（-2）+（-2），可以用乘法表示為（-2）×3。
有理數(shù)乘法法則
同號(hào)兩數(shù)相乘：取正號(hào)，并把絕對(duì)值相乘。
例如：（+3）×（+5）= +（3×5）= +15；（-3）×（-5）= +（3×5）= +15 。
異號(hào)兩數(shù)相乘：取負(fù)號(hào)，并把絕對(duì)值相乘。
例如：（+3）×（-5）= -（3×5）= -15；（-3）×（+5）= -（3×5）= -15 。
任何數(shù)與 0 相乘：都得 0。
例如：0×（+5）= 0；0×（-5）= 0 。
有理數(shù)乘法運(yùn)算步驟
確定積的符號(hào)：根據(jù)兩個(gè)乘數(shù)的符號(hào)，按照乘法法則確定積的符號(hào)。
計(jì)算積的絕對(duì)值：將兩個(gè)乘數(shù)的絕對(duì)值相乘。
寫出結(jié)果：將確定的符號(hào)和計(jì)算出的絕對(duì)值組合起來，得到乘法的結(jié)果。
實(shí)例演示
計(jì)算（-4）×（-5）：
確定符號(hào)：兩個(gè)乘數(shù)都是負(fù)數(shù)，同號(hào)相乘取正號(hào)。
計(jì)算絕對(duì)值：4×5 = 20。
寫出結(jié)果：（-4）×（-5）= +20 = 20 。
計(jì)算（-4）×5：
確定符號(hào)：一個(gè)乘數(shù)是負(fù)數(shù)，一個(gè)是正數(shù)，異號(hào)相乘取負(fù)號(hào)。
計(jì)算絕對(duì)值：4×5 = 20。
寫出結(jié)果：（-4）×5 = -20 。
計(jì)算 0×（-6）：
根據(jù)法則，任何數(shù)與 0 相乘都得 0，所以 0×（-6）= 0 。
多個(gè)有理數(shù)相乘的法則
幾個(gè)不是 0 的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：
當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；
當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。
幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是 0，積就為 0。
例如：（-2）×（-3）×（-4），負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是 3 個(gè)（奇數(shù)），所以積是負(fù)數(shù)，絕對(duì)值為 2×3×4 = 24，即（-2）×（-3）×（-4）= -24 ；（-2）×（-3）×4，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是 2 個(gè)（偶數(shù)），所以積是正數(shù)，絕對(duì)值為 2×3×4 = 24，即（-2）×（-3）×4 = 24 ；（-2）×0×（-3）= 0 。
有理數(shù)乘法的運(yùn)算律
乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。用字母表示為：a×b = b×a 。例如：（-3）×4 = 4×（-3）= -12 。
乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。用字母表示為：（a×b）×c = a×（b×c）。例如：[（-2）×3]×（-4）=（-2）×[3×（-4）] = 24 。
乘法分配律：一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。用字母表示為：a×（b + c）= a×b + a×c 。例如：（-5）×（2 + 3）=（-5）×2 +（-5）×3 = -10 +（-15）= -25 。
運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算
在進(jìn)行多個(gè)有理數(shù)相乘時(shí)，合理運(yùn)用乘法交換律、結(jié)合律和分配律，可以使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。
例如：計(jì)算（-8）×（-5）×（-0.125），運(yùn)用乘法交換律可得（-8）×（-0.125）×（-5）= 1×（-5）= -5 ；計(jì)算 12×（\(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{4}\)），運(yùn)用乘法分配律可得 12×\(\frac{1}{3}\) - 12×\(\frac{1}{4}\) = 4 - 3 = 1 。
實(shí)際應(yīng)用舉例
某商店每件商品虧損 2 元，賣出 5 件這樣的商品，總的虧損情況如何？
可列式為：（-2）×5 = -10（元），即總的虧損 10 元。
一個(gè)水庫(kù)的水位每小時(shí)下降 3 厘米，4 小時(shí)后水位下降了多少厘米？
列式為：（-3）×4 = -12（厘米），即水位下降了 12 厘米。
一片森林，每天吸收二氧化碳 5 噸，那么 3 天吸收多少噸二氧化碳？一周（7 天）呢？
3 天吸收：5×3 = 15（噸）；一周吸收：5×7 = 35（噸）。
課堂練習(xí)
計(jì)算下列各題：
（+6）×（+7）
（-6）×（-7）
（+6）×（-7）
（-6）×（+7）
0×（-8）
運(yùn)用運(yùn)算律計(jì)算：
（-12）×（-\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\)）
（-25）×（-4）×（-6）
總結(jié)
有理數(shù)乘法法則是進(jìn)行有理數(shù)乘法運(yùn)算的依據(jù)，要根據(jù)乘數(shù)的符號(hào)情況正確應(yīng)用法則。
計(jì)算時(shí)要先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值。多個(gè)有理數(shù)相乘，需先看有無(wú) 0 因數(shù)，再確定負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)以定符號(hào)。
乘法交換律、結(jié)合律和分配律可以簡(jiǎn)化有理數(shù)乘法的計(jì)算，在實(shí)際運(yùn)算中要靈活運(yùn)用。
有理數(shù)乘法在生活中有著廣泛的應(yīng)用，能幫助我們解決一些實(shí)際的虧損、水位變化等問題。
5
課堂檢測(cè)
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數(shù)的乘法法則及多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則，能
熟練進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。
2.理解有理數(shù)的倒數(shù)的意義，會(huì)求一個(gè)非零有理數(shù)的倒數(shù)。
3.理解有理數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，能運(yùn)用乘法
運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。
4.能運(yùn)用有理數(shù)的乘法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，形成應(yīng)用意識(shí)。
一個(gè)數(shù)與1相乘等于它本身，與?1 相乘等于它的相反數(shù)。
?
兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。
任何數(shù)與零相乘，積為零。
典例1 計(jì)算：
（1）(?2)× (?3) ；
?
解：(?2)×(?3)
=+(2×3) （先確定積的符號(hào)，再將絕對(duì)值相乘）
=6 。
?
必須帶括號(hào)
（2）(+313)×(?35) ；
?
解：(+313)×(?35)
=?(313×35)
=?(103×35) （若因數(shù)中有帶分?jǐn)?shù)，則把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)）
=?2 。
?
（3）(?2?025)×0 ；
?
解：(?2?025)×0=0 。（任何數(shù)與零相乘，積為零）
?
（4）(?123)×1.8 。
?
解：(?123)×1.8
=?123×1.8 （分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘時(shí)，要根據(jù)這兩個(gè)數(shù)的特點(diǎn)
統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)或小數(shù)）
=?53×95
=?3 。
?
1.多個(gè)不為0的有理數(shù)相乘時(shí)，積的符號(hào)由負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)決定。
（1）當(dāng)負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積的符號(hào)為負(fù)；
（2）當(dāng)負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積的符號(hào)為正。
可簡(jiǎn)記為“奇負(fù)偶正”。
2.多個(gè)有理數(shù)相乘，若其中有一個(gè)乘數(shù)為0，則積為0，即
“有0得0”。
3.多個(gè)有理數(shù)相乘的步驟：
（1）看：看乘數(shù)是否有“0”，若有，則積為0。
（2）定：按照負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)（“奇負(fù)偶正”）確定積的符號(hào)。
（3）求：把幾個(gè)乘數(shù)的絕對(duì)值相乘。
典例2 計(jì)算：
（1）(?4)×2×(?0.5) ;
?
解：(?4)×2×(?0.5)=+(4×2×0.5)=4 。
?
（2）(?56)×(?115)×(?3) ;
?
解：(?56)×(?115)×(?3)=?(56×65×3)=?3 。
?
（3）(?223)×(+457)×(?513)×0 。
?
解：(?223)×(+457)×(?513)×0=0 。
?
1.倒數(shù)的定義：若兩個(gè)有理數(shù)的乘積為1，就稱這兩個(gè)有理數(shù)
互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。
倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種關(guān)系，其中一個(gè)數(shù)叫作另一
個(gè)數(shù)的倒數(shù)，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能稱為倒數(shù)。
2.倒數(shù)的性質(zhì)：如果????,????互為倒數(shù)，那么????×????=1 。
3.倒數(shù)的判定：若????×????=1，則????，???? 兩數(shù)互為倒數(shù)。
?
4.求倒數(shù)的方法：
類型
方法
示例
非零整數(shù)???? 的
倒數(shù)
用這個(gè)數(shù)作分母，1作
分子，即直接寫成1 ???? 。
3的倒數(shù)是1 3 ，?3 的倒
數(shù)是?1 3 。
分?jǐn)?shù)???????? 的倒數(shù)
把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分
母交換位置，即???? ???? 的倒
數(shù)是???? ???? 。
?3 4 的倒數(shù)是?4 3 ,9 5 的倒數(shù)是5 9 。
類型
方法
示例
類型
方法
示例
帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)
先把帶分?jǐn)?shù)化成假分
數(shù)，再交換分子和分母
的位置。
?112=?32，所以?112
的倒數(shù)是?23 。
小數(shù)的倒數(shù)
先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再
求其倒數(shù)。
?0.5=?12 ，所以?0.5
的倒數(shù)是?2 。
類型
方法
示例
帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)
先把帶分?jǐn)?shù)化成假分
數(shù)，再交換分子和分母
的位置。
小數(shù)的倒數(shù)
先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再
求其倒數(shù)。
相反數(shù)與倒數(shù)的不同點(diǎn)
表示
性質(zhì)
判定
符號(hào)
相反數(shù)
???? 的相反
數(shù)是????? 。
若????,???? 互為相
反數(shù)，則
????+????=0 。
若????+????=0 ，
則????,???? 互為相反數(shù)。
正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0。
倒數(shù)
????(????≠0) 的倒數(shù)是1???? 。
若????,???? 互為倒
數(shù)，則
????×????=1 ..。。..。
若????×????=1, 則????,???? 互為倒數(shù)。
正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)；負(fù)數(shù)的倒數(shù)
是負(fù)數(shù)；0沒有
倒數(shù)。
表示
性質(zhì)
判定
符號(hào)
相反數(shù)
正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0。
倒數(shù)
正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)；負(fù)數(shù)的倒數(shù)
是負(fù)數(shù)；0沒有
倒數(shù)。
典例3 求下列各數(shù)的倒數(shù)：
（1）1;
解：1 的倒數(shù)是1。
（2）?53 ;
?
解：?53 的倒數(shù)是?35 。
?
（3）?213 ;
?
解：因?yàn)?213=?73，所以?213的倒數(shù)是?37 。
?
（4）?2.5 ;
?
解：因?yàn)?2.5=?52，所以?2.5的倒數(shù)是?25 。
?
（5）25% 。
?
解：因?yàn)?5%=0.25=14，所以25% 的倒數(shù)是4。
?
在有理數(shù)運(yùn)算中，乘法的交換律、結(jié)合律和分配律同樣成立。
運(yùn)算律
文字?jǐn)⑹?
用字母表示
示例
乘法交
換律
兩個(gè)數(shù)相乘，交換因
數(shù)的位置，積不變。
????×????=
????×???? 。
5×(?6)=
(?6)×5
乘法結(jié)
合律
三個(gè)數(shù)相乘，先把前
兩個(gè)數(shù)相乘，或者先
把后兩個(gè)數(shù)相乘，積
不變。
(????×????)×????=????×(????×????) 。
[7×(?6)]×5=7×[(?6)×5] 。
運(yùn)算律
文字?jǐn)⑹?
用字母表示
示例
乘法交
換律
兩個(gè)數(shù)相乘，交換因
數(shù)的位置，積不變。
乘法結(jié)
合律
三個(gè)數(shù)相乘，先把前
兩個(gè)數(shù)相乘，或者先
把后兩個(gè)數(shù)相乘，積
不變。
運(yùn)算律
文字?jǐn)⑹?
用字母表示
示例
分配律
一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和
相乘，等于把這個(gè)數(shù)
分別與這兩個(gè)數(shù)相
乘，再把積相加。
????×(????+????)=????×????+????×???? 。
5×(?6+7)=5×(?6)+5×7 。
運(yùn)算律
文字?jǐn)⑹?
用字母表示
示例
分配律
一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和
相乘，等于把這個(gè)數(shù)
分別與這兩個(gè)數(shù)相
乘，再把積相加。
分配律也可以逆用：????×????+????×????=????×(????+????)。
。
?
教材延伸：乘法運(yùn)算律的推廣
（1）乘法交換律與乘法結(jié)合律的推廣：三個(gè)或三個(gè)
以上的有理數(shù)相乘，任意交換因數(shù)的位置，或者任意先把其
中幾個(gè)因數(shù)相乘，積不變。
（2）分配律的推廣：一個(gè)數(shù)與三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)的和
相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與每一個(gè)加數(shù)相乘，再把積相加，
即????×(????+????+?+????)=????×????+????×????+?+????×???? 。
?
典例4 計(jì)算：
（1）(?0.125)×(?0.05)×8×(?40) ；
?
解：(?0.125)×(?0.05)×8×(?40)
=?(0.125×0.05×8×40) （定符號(hào)：奇負(fù)偶正）
=?[(0.125×8)×(0.05×40)] （乘法交換律和結(jié)合律）
=?(1×2)
=?2 。
?
（2）12×(14?13?12) ；
?
解：12×(14?13?12)
=12×14+12×(?13)+12×(?12) （分配律）
=3?4?6
=?7 。
?
（3）5.01×33 。
?
解：5.01×33=(5+0.01)×33=5×33+0.01×33=
165+0.33=165.33 。
?
利用分配律進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不要漏乘，不要弄錯(cuò)符號(hào)
知識(shí)過關(guān)
①有理數(shù)的乘法法則：(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得?　正　，異號(hào)
得?　負(fù)　，并把?　絕對(duì)值　相乘；
(2)任何數(shù)與零相乘，積為?　零　.
②多個(gè)不為0的有理數(shù)相乘時(shí)，可以先確定?　積的符號(hào)　，
再將?　絕對(duì)值　相乘.
③若兩個(gè)有理數(shù)的乘積為?　1　，就稱這兩個(gè)有理數(shù)互為倒
數(shù)；?　0　沒有倒數(shù).
正
負(fù)
絕對(duì)值
零
積的符號(hào)
絕對(duì)值
1
0
有理數(shù)的乘法法則
1. 計(jì)算(－3)×2，正確的結(jié)果是(　D　)
A. 6
B. 5
C. －5
D. －6
2. [2024·吉林]若(－3)×□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)
可以為(　D　)
A. 2
B. 1
C. 0
D. －1
D
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
3. 已知一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是2???????? ，另一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是2???????? ，則
這兩個(gè)數(shù)的積為 ?.
?
6或－6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(1)(－15)×????????? ；
?
【解】(－15)×????????? ＝15×???????? ＝9.
?
(2)(－2.25)×(＋10)；
【解】(－2.25)×(＋10)＝－22.5.
(3)+???????????? ×(＋1.2).
?
【解】+???????????? ×(＋1.2)＝???????? ×???????? ＝???????? .
?
4. 計(jì)算：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
多個(gè)有理數(shù)相乘
5. [2023·慈溪月考]4個(gè)非零有理數(shù)相乘，積的符號(hào)是負(fù)號(hào)，
則這4個(gè)有理數(shù)中，正數(shù)有(　A　)
A. 1個(gè)或3個(gè)
B. 1個(gè)或2個(gè)
C. 2個(gè)或4個(gè)
D. 3個(gè)或4個(gè)
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
6. 計(jì)算：
(1)(－10)×(－0.2)×2×(－5)；
【解】(－10)×(－0.2)×2×(－5)
＝－(10×0.2×2×5)＝－20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
(2)+???????????? ×????????? ×(－2.5)×????????????? ；
?
【解】+???????????? ×????????? ×(－2.5)×?????????????
＝－(????????×???????? ×???????? ×???????????? )＝－???????? .
?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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(3)????????????? ×????????????? ×????????????? ×????????? .
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【解】????????????? ×????????????? ×????????????? ×?????????
＝???????????? ×???????????? ×???????????? ×????????
＝???????????? .
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倒數(shù)
7. [2024·陜西]－3的倒數(shù)是(　A　)
A. －????????
B. ????????
C. －3
D. 3
C. －3
D. 3
8. 下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是(　A　)
A. －2和－????????
B. －1和1
C. －???????? 和1.5
D. 0和0
B. －1和1
D. 0和0
A
A
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9. 如果ab＝－1，則稱a，b互為“負(fù)倒數(shù)”，那么2的“負(fù)
倒數(shù)”是(　D　)
A. 2
B. －2
C. ????????
D. －????????
A. 2
B. －2
D
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a＞b，則ab的值為
(　A　)
A. ±12
B. ±1
C. 1或－7
D. 7或－1
A
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11. 已知兩個(gè)有理數(shù)a，b，如果ab＜0且a＋b＞0，那么
(　D　)
A. a＞0，b＞0
B. a＜0，b＞0
C. a＜0，b＜0
D. a，b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大
D
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12. 在整數(shù)－3，－1，0，6，2中，若選取兩個(gè)整數(shù)分別填入
“□×△＝－6”的□和△中，并使等式成立，則選取后
可以填入“□”的數(shù)有(　D　)
A. 1種
B. 2種
C. 3種
D. 4種
D
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13. 有理數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖，則
abc 0，abcd 0(填“＞”或“＜”).
＞　
＞　
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14. [2024·唐山模擬](1)將9個(gè)不同的數(shù)分別填入圖①中的9個(gè)
空格中，使得每行、每列及對(duì)角線上各數(shù)的和都等于0；
【解】(答案不唯一)如圖①所示.
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(2)將9個(gè)不同的數(shù)分別填入圖②中的9個(gè)空格中，使得每
行、每列及對(duì)角線上各數(shù)的積都等于1.
【解】(答案不唯一)如圖②所示.
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15. [新視角·新定義題]若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定有理
數(shù)a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24.
(1)求3*(－4)的值；
【解】3*(－4)
＝4×3×(－4)
＝－48.
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【解】(－2)*(6*3)
＝(－2)*(4×6×3)
＝(－2)*72
＝4×(－2)×(72)
＝－576.
(2)求(－2)*(6*3)的值.
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