資源簡介

2.5 有理數的乘方
第2章 有理數的運算
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
有理數的乘方
課程目標
理解有理數乘方的定義，掌握乘方的相關概念，如底數、指數、冪。
熟練掌握有理數乘方的符號法則和運算步驟，能準確進行乘方運算。
明確乘方與乘法的關系，了解乘方運算律，學會運用乘方解決實際問題。
有理數乘方的定義
求 n 個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。例如，3 個 2 相乘，即 2×2×2，可表示為\(2^3\)，讀作 “2 的 3 次方” 或 “2 的立方”，其中結果 8 就是冪。
乘方的相關概念
在\(a^n\)中，a 叫做底數，n 叫做指數，\(a^n\)讀作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次冪”。
當 n=1 時，\(a^1=a\)，通常省略指數 1。
例如，在\(5^4\)中，底數是 5，指數是 4，讀作 “5 的 4 次方”，表示 4 個 5 相乘，即 5×5×5×5。
乘方與乘法的關系
乘方是乘法的特殊形式，\(a^n\)表示 n 個 a 相乘，即\(a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n???a}\)。
例如，\(3^5=3\times3\times3\times3\times3\)，\((-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)\)。
有理數乘方的符號法則
正數的任何次冪都是正數。
例如，\(2^3=8\)，\(5^2=25\) 。
負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。
例如，\((-3)^3=-27\)（3 是奇數），\((-3)^2=9\)（2 是偶數） 。
0 的任何正整數次冪都是 0。
例如，\(0^5=0\)，\(0^{10}=0\) 。
有理數乘方的運算步驟
確定冪的符號：根據底數的符號和指數的奇偶性，按照符號法則確定冪的符號。
計算冪的絕對值：將底數的絕對值進行乘方運算，即求 n 個底數絕對值相乘的積。
寫出結果：將確定的符號和計算出的絕對值組合起來，得到乘方的結果。
實例演示
計算\((-4)^3\)：
確定符號：底數是 - 4（負數），指數是 3（奇數），根據符號法則，負數的奇次冪是負數，所以冪的符號為負。
計算絕對值：\(4^3=4\times4\times4=64\)。
寫出結果：\((-4)^3=-64\) 。
計算\((-2)^4\)：
確定符號：底數是 - 2（負數），指數是 4（偶數），負數的偶次冪是正數，所以冪的符號為正。
計算絕對值：\(2^4=2\times2\times2\times2=16\)。
寫出結果：\((-2)^4=16\) 。
計算\(0.5^3\)：
確定符號：底數是 0.5（正數），正數的任何次冪都是正數，所以冪的符號為正。
計算絕對值：\(0.5^3=0.5\times0.5\times0.5=0.125\)。
寫出結果：\(0.5^3=0.125\) 。
乘方的運算律
同底數冪相乘：\(a^m\times a^n=a^{m+n}\)（m、n 都是正整數）。
例如，\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7=128\) 。
冪的乘方：\((a^m)^n=a^{m\times n}\)（m、n 都是正整數）。
例如，\((3^2)^3=3^{2\times3}=3^6=729\) 。
積的乘方：\((a\times b)^n=a^n\times b^n\)（n 是正整數）。
例如，\((2\times3)^4=2^4\times3^4=16\times81=1296\) 。
有理數乘方的運算技巧
對于底數是分數或負數的乘方，要注意添加括號，避免出錯。例如，\((\frac{1}{2})^3\)表示 3 個\(\frac{1}{2}\)相乘，即\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)；而\(\frac{1}{2^3}\)表示\(\frac{1}{(2\times2\times2)}=\frac{1}{8}\)，雖然結果相同，但意義不同，若底數是負數，不添加括號則結果會截然不同，如\(-2^4=-(2\times2\times2\times2)=-16\)，而\((-2)^4=(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2)=16\) 。
當指數較大時，可利用乘方的運算律簡化計算。例如，計算\(2^5\times2^6\)，利用同底數冪相乘的運算律可得\(2^{5+6}=2^{11}=2048\) 。
實際應用舉例
細胞分裂問題：一種細胞每過 30 分鐘便由 1 個分裂成 2 個，經過 5 小時，這種細胞由 1 個能分裂成多少個？
5 小時包含 10 個 30 分鐘，所以經過 5 小時，細胞分裂的次數是 10 次。
1 個細胞分裂 10 次后的數量為\(2^{10}=1024\)（個）。
折紙問題：一張厚度為 0.1 毫米的紙，對折 n 次后，它的厚度是多少毫米？
對折 1 次，厚度為\(0.1\times2\)毫米；對折 2 次，厚度為\(0.1\times2^2\)毫米；…… 對折 n 次，厚度為\(0.1\times2^n\)毫米。
若對折 10 次，厚度為\(0.1\times2^{10}=0.1\times1024=102.4\)（毫米）。
課堂練習
計算下列各題：
\(3^4\)
\((-1)^5\)
\((-\frac{1}{2})^3\)
\(0^{2023}\)
利用乘方運算律計算：
\(2^3\times2^5\)
\((-3)^2\times(-3)^3\)
\((2\times5)^3\)
總結
乘方是求 n 個相同因數積的運算，其結果為冪，包含底數、指數兩個關鍵要素。
乘方的符號法則是運算的關鍵：正數的任何次冪為正，負數的奇次冪為負、偶次冪為正，0 的正整數次冪為 0。
乘方與乘法關系密切，是乘法的特殊形式，可利用乘法運算理解和計算乘方。
乘方在細胞分裂、折紙等實際問題中應用廣泛，要能將實際問題轉化為乘方運算解決。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解有理數乘方的意義，掌握乘方、冪、指數、底數等概念，
發展抽象能力。
2.會進行有理數的乘方運算，強化運算能力。
3.會用科學記數法表示較大的數，會將用科學記數法表示的數
還原。
概念
示例
乘方
求幾個相同因數的積的運算，叫作
乘方。（乘方是一種運算，冪是乘方的結果）
????個???? 相乘的積記作
????????：
????????????????????個????=????????
概念
示例
乘方
求幾個相同因數的積的運算，叫作
乘方。（乘方是一種運算，冪是乘方的結果）
底數????可以是任意有理數，指數????
是正整數。
?
概念
示例
冪
乘方的結果叫作冪。
_________________________________________
底數
在????????中，???? 叫作底數。
指數
在????????中，???? 叫作指數。
概念
示例
冪
乘方的結果叫作冪。
_________________________________________
底數
指數
敲黑板
（1）一個數可以看作這個數本身的一次方。例如，5就是51 ，
指數1通常省略不寫。
（2）指數是2時讀作平方或二次方，指數是3時讀作立方或三
次方。例如，52通常讀作“5的平方”，也可以讀作“5的二次
方”；53 通常讀作“5的立方”，也可以讀作
“5的三次方”。
?
典例1 把下列各式寫成冪的形式，并指出底數、指數。
（1）(?3)×(?3)×(?3)×(?3) ；
?
（2）35×35×35×35×35 。
?
1.冪的符號法則：
任何有理數的偶次冪都是非負數，即無論???? 取何值，
都有????2????≥0(????為有理數，????為正整數) 。
?
2.有理數的乘方運算：
在計算有理數的乘方時，應先將乘方運算轉化為乘法運算，然
后根據冪的符號法則確定結果的符號，再確定結果的絕對值。
????????,?????????及(?????)????的異同點與聯系
?
????????
?????????
(?????)????
相同點
指數都是????。
不同點
意義不同
????個???? 相乘
的積。
????個???? 相乘的積
的相反數。
????個(?????) 相乘的積。
底數不同
????
????
?????
相同點
不同點
意義不同
底數不同

????????
?????????
(?????)????
相同點
指數都是???? 。
聯系
???? 為正奇數
?????????=(?????)????,且?????????,(?????)????都與???????? 互為相反數(????≠0)。如?35=(?3)5 。
???? 為正偶數
????????=(?????)????,且????????,(?????)????都與????????? 互為相反
數(????≠0)。如34=(?3)4 。
???? 為正整數
????????=?????????=(?????)????=0(????=0) 。

相同點
聯系
教材延伸
底數為互為相反數的兩個非零數的冪的關系
（1）互為相反數的兩個數的相同偶次冪相等，即若????+????=0,
則????2????=????2????（????為正整數）。
（2）互為相反數的兩個數的相同奇次冪仍然互為相反數，即
若????+????=0,則????2?????1+????2?????1=0（????為正整數）。
注：若????為正整數，則通常用2????表示偶數，2?????1表示奇數。
?
典例2 計算：
（1）(?4)2；
?
解：(?4)2=(?4)×(?4)=16 。
?
（2）(23)3 ；
?
解：(23)3=23×23×23=827 。（底數為分數時，要帶括號）
?
注意與?42 區別
?
（3）233 ；
?
解：233=2×2×23=83 。（底數為分數時，要帶括號）
?
（5）(?113)3 ；
?
解：(?113)3=(?43)3=(?43)×(?43)×(?43)=?6427 。
?
（6）(?1)2?025 。
?
解：(?1)2?025=?1 。
?
（4）?(?2)2 ；
?
解：?(?2)2=?[(?2)×(?2)]=?4 。
?
求帶分數的乘方時，要先將帶分數轉化成假分數再計算
對于乘除和乘方的混合運算，應先算乘方，后算乘除；
如果遇到括號，就先進行括號里的運算。
乘除和乘方的混合運算?轉化?? 乘除的混合運算?轉化?? 乘法運算
?
（2）(5×2)3 ；
?
解：(5×2)3=103=1?000 。
?
（3）16÷(?2)3 。
?
解：16÷(?2)3=16÷(?8)=?2 。
?
典例3 計算：
（1）2×33 ；
?
解：2×33=2×27=54 。
?
1.科學記數法的概念：把一個較大的數表示成????(1≤|????|<10)
與10的冪相乘的積的形式，叫作科學記數法。
?
2.科學記數法中的????和???? ：
（1）???? 的確定方法： 將原數的小數點移動到左起第一個不為
0的數字的后面即可得到???? 的值。
（2）????的確定方法： ①原數的整數位數減去1即為???? 的值；
②小數點向左移動幾位，???? 就為幾。
?
敲黑板
（1）用科學記數法表示一個帶單位的數時，其表示的結果
也應該帶單位且前后應該一致。
（2）用科學記數法表示負數的方法和表示正數的方法一樣，
只需前面加一個“-”即可。
（3）“萬”可轉化為104，“億”可轉化為108 。
?
3.把用科學記數法表示的數還原：
（1）????×10????中的指數???? 加上1就得到原數的整數位數，從而確
定原數。
（2）把????×10????中????的小數點向右移動???? 位即可，若向右移動
的位數不夠，則用“0”補足。
?
典例4（1） 用科學記 數法表示數：1?280?000?000,?435 萬。
?
解：1?280?000?000=1.28×109 。
?435萬=?4.35×106 。
?
（2）下列用科學記數法表示的數，原來各是什么數？
5.362?4×103；3.14×105 。
?
解：5.362?4×103=5?362.4 。
3.14×105=314?000 。
?
典例5 (2023·溫州中考)蘇步青來自“數學家之鄉”，為紀念其卓
越貢獻，國際上將一顆距地球約218 000 000公里的行星命名
為“蘇步青星”。數據218 000 000用科學記數法表示為( )
B
A.0.218×109 B.2.18×108 C.21.8×107 D.218×106
?
解析：218?000?000=2.18×108。。。
?
知識過關
①求幾個相同因數的積的運算叫作?　乘方　，乘方的結果叫
作?　冪　.在 an中，a叫作?　底數　，n叫作?　指數　，an
讀作?　“a的n次方”或“a的n次冪”　.
②冪的底數是分數或負數時，底數應該?　添上括號　.
③正數的任何次冪都是?　正數　；負數的奇次冪是?　負數　，
負數的偶次冪是?　正數　；0的正整數次冪還是?　0　.
乘方
冪
底數
指數
“a的n次方”或“a的n次冪”
添上括號
正數
負數
正數
0
乘方的概念
1. (－3)5表示(　B　)
A. －3乘5
B. 5個－3相乘
C. 3個－5相乘
D. 3個－5相加
2. －36和(－3)6的關系是(　B　)
A. 有相同的底數
B. 有相同的指數
C. 都表示6個－3相乘
D. 上述結論都錯誤
B
B
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3. 計算????×????×…×????????個????????+????+…+????????個???? 的結果，正確的是(　A　)
?
A. ????????????????
B. ????????????????
C. ????????????????
D. ????????????????
A
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4. 填表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}乘方
65
(－5)4
?????????????
－22
底數
6
－5
－????????
2
指數
5
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2
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}乘方
65
(－5)4
－22
底數
6
－5
2
指數
5
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－5
－????????
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乘方的運算
5. [2023·杭州上城區月考]下列各組數中，不相等的一組是
(　A　)
A. (－3)2與－32
B. 24與42
C. (－6)3與－63
D. (－6)4與｜－6｜4
A
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6. 下列各數：－(－1)，－23，????????????? ，－???????????? ，(－1)2 023，
－｜－4｜，其中負數有(　C　)
?
A. 2個
B. 3個
C. 4個
D. 5個
C
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7. 計算：
(1)32－25；
【解】原式＝9－32
＝－23.
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(2)(－2)3×2－(－3)2×3；
【解】原式＝(－8)×2－9×3
＝－16－27
＝－43.
(3)105×(－0.1)3.
【解】原式＝100 000×(－0.001)
＝－100.
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乘方的應用
8. [新考向·跨學科]某公司培養綠藻細胞制作綠藻粉，在光照
充足的環境下，1個綠藻細胞每20小時可分裂成4個綠藻細
胞，且分裂后的細胞繼續分裂.現從1個綠藻細胞開始培
養，經過15天后，共分裂成4k個綠藻細胞，求k的值.
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【解】15天＝360小時，
360÷20＝18，
根據題意，得4k＝418，
所以k＝18.
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9. 有一種紙的厚度為0.1毫米，若拿兩張重疊在一起，將它
對折一次后，厚度為22×0.1毫米.
(1)對折2次后，厚度為多少毫米？
【解】對折2次后，厚度為2×22×0.1＝0.8(毫米).
(2)對折6次后，厚度為多少毫米？
【解】對折6次后，厚度為25×22×0.1＝12.8(毫米).
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10. 若非零數a，b互為相反數，則下列四組數中，互為相
反數的為(　C　)
①a2與b2；②a2與－b2；③a3與b3；④a3與－b3.
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ③④
C
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11. [新考向·傳統文化]《莊子》中記載：“一尺之棰，日取
其半，萬世不竭.”這句話的意思是一尺長的木棍，每天
截取它的一半，永遠也截不完.若按此方式截一根長為1
的木棍，第5天截取后木棍剩余的長度是(　C　)
A. 1－????????????
B. 1－????????????
C. ????????????
D. ????????????
C
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12. m為任意有理數，下列說法正確的是(　B　)
A. (m＋1)2的值總是正的
B. m2＋1的值總是正的
C. －(m＋1)2的值總是負的
D. 1－m2的值總比1小
B
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13. 若m是大于－2、小于－1的有理數，則m，???????? ，－m2之
間的大小關系是 ?.
?
－m2＜m＜???????? 　
?
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(a·b)2＝a2·b2，(a·b)3＝a3·b3，….據此計算：
(1)(a·b)n＝ ?；
(2)25×????????????? ＝ ?；
(3)(－0.125)2 024×22 023×42 022＝ ?.
?
anbn　
－1　
???????????? 　
?
14. [2024·深圳南山區期中]閱讀下列各式：
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15. 我們常用的數是十進制數，如4 657＝4×103＋6×102＋
5×101＋7×1，十進制數要用10個數碼(又叫數字)：0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9，在電子計算機中用的二進
制，只要兩個數碼：0和1，如二進制中110＝1×22＋
1×21＋0×1等于十進制的數6，110 101＝1×25＋1×24
＋0×23＋1×22＋0×21＋1×1等于十進制的數53.那么二
進制中的數101 011等于十進制中的哪個數？
【解】101 011＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋
1×1＝43，所以二進制中的數101 011等于十進制中的數
43.
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16. [2024·棗莊滕州期中](1)填空：1.22＝ ；122
＝ ；1202＝ ?.
(2)根據上題的規律猜想：當底數的小數點向右移動一位
時，其平方數的小數點怎樣移動？
(3)利用上述規律，解答下列各題：
如果3.252＝10.562 5，那么0.3252＝ ?；
如果x2＝105 625，那么x＝ ?.
【解】根據(1)的規律可知，當底數的小數點向右移
動一位時，其平方數的小數點向右移動兩位.
1.44　
144　
14 400　
0.105 625　
±325　
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17. 數學課上，李老師在黑板上寫了一道題目：當n為正整
數時，計算(－1)n＋(－1)n＋1的結果.
琪琪說：因為n的值不確定，所有(－1)n＋(－1)n＋1的結
果也不能確定；
聰聰說：(－1)n＋(－1)n＋1的結果是不變的，可以求出.
你同意誰的說法？請給出你的答案并說明理由.
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【解】同意聰聰的說法.理由如下；
因為n為正整數，
所以n可能為偶數，也可能為奇數.
①當n為偶數時，n＋1為奇數.(－1)n＋(－1)n＋1＝1＋
(－1)＝0.
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②當n為奇數時，n＋1為偶數.(－1)n＋(－1)n＋1＝(－1)
＋1＝0.
所以(－1)n＋(－1)n＋1的結果是不變的，可以求出.所以
聰聰的說法是正確的.
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