資源簡介

(共30張PPT)
2.6 有理數的混合運算
第2章 有理數的運算
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
有理數的混合運算
課程目標
掌握有理數混合運算的順序，能正確進行包含加、減、乘、除、乘方的混合運算。
學會運用運算律簡化有理數混合運算，提高運算的準確性和效率。
能夠解決與有理數混合運算相關的實際問題，培養數學應用意識。
有理數混合運算的順序
有理數混合運算的順序是進行混合運算的核心依據，具體如下：
先算乘方：即先計算各個數的乘方運算，這是運算順序的第一步。
再算乘除：在完成乘方運算后，按照從左到右的順序依次進行乘法和除法運算。
最后算加減：乘除運算完成后，再按照從左到右的順序進行加法和減法運算。
括號優先：如果式子中有括號，要先算括號里面的。括號分為小括號（）、中括號 []、大括號 {}，計算時要按照從小括號到中括號再到大括號的順序依次進行。
實例說明
計算\(3 + 2^2\times( - 3)\)：
先算乘方：\(2^2=4\)。
再算乘法：\(4\times( - 3)=-12\)。
最后算加法：\(3+( - 12)=-9\)。
計算\(18\div(3 - 6)\times2\)：
先算小括號里的：\(3 - 6=-3\)。
再算除法：\(18\div( - 3)=-6\)。
最后算乘法：\(-6\times2=-12\)。
計算\([( - 2)^3 + 5]\div( - 3)\)：
先算小括號里的乘方：\(( - 2)^3=-8\)。
再算小括號里的加法：\(-8 + 5=-3\)。
最后算中括號外的除法：\(-3\div( - 3)=1\)。
運算律在混合運算中的應用
在有理數混合運算中，合理運用加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律和分配律，能有效簡化運算過程。
加法運算律：在只有加減的運算中，可交換加數的位置或結合某些加數，使計算簡便。例如，計算\(5+( - 3)+( - 5)+2\)，利用加法交換律和結合律可得\([5+( - 5)]+[( - 3)+2]=0+( - 1)=-1\)。
乘法運算律：在乘除混合運算中，可交換因數的位置或結合某些因數。例如，計算\(( - 8)\times5\times( - 0.125)\times( - 2)\)，利用乘法交換律和結合律可得\([( - 8)\times( - 0.125)]\times[5\times( - 2)]=1\times( - 10)=-10\)。
乘法分配律：當式子中出現一個數與多個數的和或差相乘時，使用分配律可簡化運算。例如，計算\( - 24\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6})\)，利用分配律可得\(-24\times\frac{1}{3}+24\times\frac{1}{4}-24\times\frac{1}{6}=-8 + 6-4=-6\)。
混合運算的易錯點
運算順序錯誤：忽略乘方、乘除、加減的優先級，或不遵循括號優先原則。例如，計算\(2 + 3\times4\)時，錯誤地先算加法再算乘法，得到\(5\times4=20\)，而正確結果應為\(2 + 12=14\)。
符號錯誤：在涉及負數的運算中，容易弄錯符號。例如，計算\(( - 2)^2\)時，錯誤地認為結果是\(-4\)，而正確結果是\(4\)；計算\(-2^2\)時，錯誤地認為結果是\(4\)，而正確結果是\(-4\)。
漏算或重復計算：在步驟較多的運算中，容易漏算某些項或重復計算。例如，計算\(3\times(2 + 5)-4\)時，漏算減法得到\(3\times7=21\)，而正確結果是\(21-4=17\)。
混合運算的簡化技巧
觀察式子結構：在動筆計算前，先觀察式子的結構，判斷是否能運用運算律簡化運算。例如，式子\(100\times3.6 + 100\times6.4\)中，兩項都有因數 100，可利用乘法分配律的逆運算簡化為\(100\times(3.6 + 6.4)=100\times10=1000\)。
分步計算：對于復雜的混合運算，可分步進行計算，每一步只處理一種運算，減少錯誤。例如，計算\(10-( - 2)^3\div4\times( - 3)^2\)，可先算乘方得到\(10-( - 8)\div4\times9\)，再算除法得到\(10 - ( - 2)\times9\)，接著算乘法得到\(10 + 18\)，最后算加法得到\(28\)。
處理括號：當括號前是 “\(+\)” 號時，去掉括號后，括號內的各項符號不變；當括號前是 “\(-\)” 號時，去掉括號后，括號內的各項符號都要改變。例如，\(5-(3 - 2)=5 - 3 + 2=4\)。
實際應用舉例
購物消費問題：小明去超市購物，買了 3 支單價為 5 元的鋼筆，2 瓶單價為\(-3\)元的打折飲料（負號表示優惠），又買了一個價格為\(2^3\)元的筆記本，小明一共花了多少錢？
先分別計算各項費用：鋼筆總價為\(3\times5 = 15\)元，飲料總價為\(2\times( - 3)=-6\)元，筆記本價格為\(2^3=8\)元。
再計算總花費：\(15+( - 6)+8=17\)元，即小明一共花了 17 元。
工程進度問題：一個工程隊第一天完成了總工程的\(\frac{1}{4}\)，第二天完成了總工程的\(\frac{1}{3}\)，第三天比前兩天的總和少完成總工程的\(\frac{1}{6}\)，第三天完成了總工程的幾分之幾？
先算前兩天完成的總和：\(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}\)。
再算第三天完成的量：\(\frac{7}{12}-\frac{1}{6}=\frac{7}{12}-\frac{2}{12}=\frac{5}{12}\)，即第三天完成了總工程的\(\frac{5}{12}\)。
課堂練習
計算下列各題：
\(10-( - 2)^2\times3\)
\(18\div(3 - 6)\times( - 2)\)
\([( - 1)^5 + 2]\times( - 4)\)
運用運算律簡化計算：
\(25\times(4 - 0.4)\)
\( - 12\times\frac{1}{3}+12\times\frac{1}{4}-12\times\frac{1}{6}\)
總結
有理數混合運算的順序是 “先乘方，再乘除，最后加減；有括號的先算括號里的”，必須嚴格遵循。
合理運用運算律能簡化運算，提高效率，但要注意運算符號的變化。
實際應用中，需將問題轉化為數學式子，再按照混合運算順序求解，同時要注意單位和實際意義。
運算時要細心，避免因運算順序錯誤、符號錯誤等導致結果出錯，可通過分步計算和檢查減少錯誤。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握有理數混合運算的法則，會進行簡單的有理數的混合
運算。
2.能合理地運用運算律簡化運算，發展運算能力。
3.會利用有理數的混合運算解決簡單實際問題。
一般地，有理數混合運算的法則是：
先算乘方，再算乘除，最后算加減。如有括號，先進行括號里
的運算。
若屬于同級運算，則按照從左往右的順序進行計算。
進行混合運算時，可以靈活運用運算律，但應注意符
號的確定以及運算順序和方法的選擇.例如，可以根據算式的
結構特征，巧用整體思想、拆分消除等技巧，從而使運算準
確、快捷。
知識過關
　　一般地，計算有理數混合運算時，先算 　乘方　，再
算 　乘除　，最后算 　加減　.如有括號，先進行 　括號　
里的運算.
乘方
乘除
加減
括號
有理數的混合運算
1. 下列四個式子中，計算結果最小的是(　D　)
A. (－3－2)2 B. (－3)×(－2)2
C. －32÷(－2)2 D. －23－32
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 下列各式計算正確的是(　C　)
C. 3×22－2×32＝2×3×(2－3)＝－6
D. (－42×32)＝(－4×3)2＝144
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. [2024·溫州鹿城區期中]如圖是一個計算程序，若輸入a的
值為－1，則輸出的結果b為 .
－5　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 計算：
(1) × － ＋35÷7；
【解】 × － ＋35÷7
＝－ ＋ ＋5＝4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)；
【解】(－1)＋(－2)2×3－8÷(－2)
＝－1＋4×3－8÷(－2)
＝－1＋12＋4＝15.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3) ×(－2)2－ ＋(－1)2 024.
【解】 ×(－2)2－ ＋(－1)2 024
＝ ×4－ ＋1
＝1－5 ＋1＝－3 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
有理數混合運算的應用
5. 某地區高度每增加100米，氣溫降低0.9 ℃，昊恩和美琪
兩名同學想出一個測量山峰高度的辦法，美琪在山腳，昊
恩跑到山頂，他們在同一時刻測得山腳的溫度是3.8 ℃，
山頂的溫度是－1.6 ℃，求山峰的高度.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】[3.8－(－1.6)]÷0.9×100
＝(3.8＋1.6)÷0.9×100
＝5.4÷0.9×100
＝600(米).
所以山峰的高度為600米.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 已知一個棱長為8 cm的立方體鐵塊.
(1)如圖，把鐵塊放入裝滿水的圓柱形杯子中(杯子的底面
直徑和高度均為20 cm)，則溢出水的體積
為 cm3(溢出水的體積＝鐵塊的體積)；
512　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)將鐵塊恰好分割成16個棱長為2 cm的立方體與6個棱長
為a cm的立方體，求a的值.
【解】棱長為a cm的立方體的體積為(512－16×23)÷6
＝64(cm3).
因為43＝64，所以a＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. [新考向·傳統文化]我國古代《易經》一書中記載，遠古時
期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩計
數”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打
結，滿七進一，用來記錄孩子自出生后的天數，由圖可
知，孩子自出生后的天數是(　C　)
C
A. 84
B. 336
C. 167
D. 326
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. [2024·溫州鹿城區月考]若計算式子(2□7)△ 的結果
為最大，則應分別在□，△中填入下列選項中的(　D　)
A. ＋，－ B. ×，－
C. ÷，－ D. －，÷
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. [2024·杭州西湖區期中]小明編制了一個計算機計算程序如
圖所示，如果輸入的數是5，則輸出的數是 .
6　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. [新視角·新定義題]規定一種新的運算：a★b＝ab－a
－b2＋1.例如：3★(－4)＝3×(－4)－3－(－4)2＋1＝
－30，請用上述規定計算下面各式：
(1)2★8；
【解】2★8＝2×8－2－82＋1＝16－2－64＋1＝－49.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)(－7)★[5★(－2)].
【解】因為5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★[5★(－2)]＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
【解】因為5★(－2)＝5×(－2)－5－(－2)2＋1＝－10
－5－4＋1＝－18，
所以(－7)★
＝(－7)★(－18)＝(－7)×(－18)
－(－7)－(－18)2＋1＝126＋7－324＋1＝－190.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. [母題 教材P66作業題T6]有一種“24”點游戲，其游戲
規則是：任取一副撲克牌，去掉大小王，我們約定A為
1，J，Q，K分別為11，12，13，并規定方塊、紅桃牌
為正，黑桃、梅花牌為負.任取4張牌將這4張牌的牌面所
表示的數進行加、減、乘、除、乘方運算(可使用括號).
每個數用且只用一次，使其結果等于24.
如：抽出4張牌分別為黑桃4、梅花2、方塊4、紅桃3，可
做運算：(－4)÷(－2)×4×3＝24.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)若抽出黑桃3、梅花1、方塊5、紅桃3，請寫出1種算
式，并寫出計算過程，驗證結果為24；
【解】答案不唯一，如
(－3)×(－1)×(5＋3)
＝(－3)×(－1)×8
＝24.
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方塊8、紅桃Q，請寫出2種
不同的算式，并寫出計算過程，驗證結果為24；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解】答案不唯一，如
①(－3)×8×(－13＋12)
＝(－3)×8×(－1)
＝24；
②12×[(－3)－(－13)－8]
＝12×2
＝24.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方塊2、紅桃3，請設計1種含
“乘方”的混合運算的算式，并寫出計算過程，驗證
結果為24.
【解】答案不唯一，如
[(－4)－(－7)]×23
＝3×8
＝24.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. [新視角·新定義題]類比乘方運算，我們規定：求n個相
同有理數(均不為0)的商的運算叫作除方.例如
2÷2÷2÷2，記作2“4”，讀作“2的引4次商”；一般
地，把 (a≠0，n≥2，且為整數)記
作a“n”，讀作“a的引n次商”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)直接寫出計算結果： ＝ ，(－3)“5”
＝ ；
(2)歸納：負數的引正奇數次商是 數，負數的引正
偶數次商是 數(填“正”或“負”)；
4　
－ 　
負　
正　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)計算：(－16)÷2“3”＋12× .
【解】(－16)÷2“3”＋12×
＝(－16)÷ ＋12×9
＝(－32)＋108
＝76.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑