資源簡介

(共42張PPT)
3.1 平方根
第3章 實數
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
平方根
課程目標
理解平方根和算術平方根的概念，明確它們之間的區別與聯系。
掌握平方根的性質，會用符號表示一個數的平方根和算術平方根。
能夠熟練地求出一個非負數的平方根和算術平方根。
了解平方根在實際生活中的應用。
平方根的定義
如果一個數的平方等于\(a\)，那么這個數叫做\(a\)的平方根（也叫做二次方根）。也就是說，如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。
例如，因為\(3^2 = 9\)，\((-3)^2 = 9\)，所以 3 和 - 3 都是 9 的平方根。
又如，\(0.5^2 = 0.25\)，\((-0.5)^2 = 0.25\)，所以 0.5 和 - 0.5 是 0.25 的平方根。
算術平方根的概念
一般地，如果一個正數\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么這個正數\(x\)叫做\(a\)的算術平方根。\(a\)的算術平方根記為\(\sqrt{a}\)，讀作 “根號\(a\)”，\(a\)叫做被開方數。
規定：0 的算術平方根是 0，即\(\sqrt{0}=0\)。
例如，25 的算術平方根是 5，記為\(\sqrt{25}=5\)；16 的算術平方根是 4，記為\(\sqrt{16}=4\)。
平方根與算術平方根的區別和聯系
區別
定義不同：平方根是如果一個數的平方等于\(a\)，這個數就叫做\(a\)的平方根；算術平方根是如果一個正數的平方等于\(a\)，這個正數就叫做\(a\)的算術平方根。
個數不同：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；一個正數的算術平方根只有一個，且是正數。
表示方法不同：正數\(a\)的平方根表示為\(\pm\sqrt{a}\)；正數\(a\)的算術平方根表示為\(\sqrt{a}\)。
聯系
前提條件相同：都要求被開方數\(a\)是非負數（\(a\geq0\)）。
算術平方根是平方根中的一個：正數的算術平方根是它的兩個平方根中那個正數的平方根。
平方根的性質
正數有兩個平方根，它們互為相反數。
例如，121 的平方根是\(\pm11\)，11 和 - 11 互為相反數。
0 的平方根是 0。
負數沒有平方根。因為任何數的平方都是非負數，所以負數不存在平方根。
平方根的表示方法
一個非負數\(a\)的平方根記為\(\pm\sqrt{a}\)，讀作 “正負根號\(a\)”。
例如，2 的平方根記為\(\pm\sqrt{2}\)；0.81 的平方根記為\(\pm\sqrt{0.81}=\pm0.9\)。
求一個數的平方根的方法
根據定義求解：找到一個數，使得它的平方等于被開方數。例如，求 16 的平方根，因為\(4^2 = 16\)，\((-4)^2 = 16\)，所以 16 的平方根是\(\pm4\)。
利用平方與開平方的互逆關系：開平方是平方的逆運算，因此可以通過平方運算來檢驗所求的平方根是否正確。例如，求\(\sqrt{25}\)，因為\(5^2 = 25\)，所以\(\sqrt{25}=5\)。
對于小數或分數的平方根：可以先將其化為整數或最簡分數，再進行求解。例如，求 0.0009 的平方根，因為\(0.03^2 = 0.0009\)，\((-0.03)^2 = 0.0009\)，所以 0.0009 的平方根是\(\pm0.03\)；求\(\frac{16}{25}\)的平方根，因為\((\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}\)，\((-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}\)，所以\(\frac{16}{25}\)的平方根是\(\pm\frac{4}{5}\)。
平方根的應用
幾何問題：在求正方形的邊長時，若已知正方形的面積，可通過求面積的算術平方根得到邊長。例如，一個正方形的面積是 25 平方厘米，它的邊長是\(\sqrt{25}=5\)厘米。
物理學問題：在勻加速直線運動中，速度與位移的關系涉及平方根。例如，某物體做勻加速直線運動，加速度為\(2m/s^2\)，位移為 16 米，根據公式\(v^2=2ax\)（其中\(v\)為末速度，\(a\)為加速度，\(x\)為位移），可得\(v=\sqrt{2ax}=\sqrt{2\times2\times16}=\sqrt{64}=8m/s\)。
實際測量：在測量一些不規則圖形的邊長、對角線等時，有時需要通過計算平方根來得到結果。例如，測量一個長方形的對角線長度，已知長方形的長為 3 米，寬為 4 米，根據勾股定理，對角線長度為\(\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5\)米。
課堂練習
求下列各數的平方根和算術平方根：
81
0.04
\(\frac{49}{100}\)
0
判斷下列說法是否正確：
5 是 25 的平方根。
25 的平方根是 5。
0 的平方根是 0。
-9 的平方根是\(\pm3\)。
若一個數的算術平方根是 5，求這個數。
總結
平方根的定義是如果\(x^2 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的平方根，算術平方根是正數\(x\)滿足\(x^2 = a\)時的\(x\)。
正數有兩個平方根，互為相反數；0 的平方根是 0；負數沒有平方根。
平方根表示為\(\pm\sqrt{a}\)，算術平方根表示為\(\sqrt{a}\)，求平方根可根據定義和平方與開平方的互逆關系。
平方根在幾何、物理和實際測量等領域有重要應用，要理解其概念并能熟練運用。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.了解平方根、算術平方根的概念，會用根號表示非負數的
平方根、算術平方根。
2.了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求完全平方
數的平方根，發展運算能力。
1.平方根
平方根 內容 示例
概念
平方根 內容 示例
表示 方法
平方根 內容 示例
事實 （1）一個正數有正、負兩個平方 根，它們互為相反數； （2）零的平方根是零； （3）負數沒有平方根。
2.開平方：求一個數的平方根的運算叫作開平方。
開平方時，被開方數必須是非負數。
敲黑板
（1）開平方是一種運算，是求平方根的過程，平方根是數，
是開平方的結果。
（2）平方和開平方互為逆運算，我們可以用平方運算來檢驗
開平方的結果是否正確。如：因為，
所以 。
典例1 求下列各數的平方根：
（1）36；
解：因為,所以36的平方根是，即 。
（2） ；
解：因為,所以的平方根是，
即 。
（3） 。
解：因為， ，
所以的平方根是，即 。
先化為假分數，再求平方根
1.算術平方根
算術平方根 內容 示例
概念 正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。
表示方法
算術平方根 內容 示例
性質
2.平方根和算術平方根的區別與聯系
算術平方根 平方根
區別 個數 一個正數的算術平方根只有一個。 一個正數的平方根有兩個。
表示 方法
取值 范圍 正數的算術平方根一定是正數。 正數的平方根為一正一負，它們互為相反數。
算術平方根 平方根
聯系 （1）平方根包含算術平方根，一個正數的正平方根就是它的算術平方根； （2）只有非負數才有平方根和算術平方根； （3）0的平方根與算術平方根均為0。 與 的區別
含義
運算順序 先開方，再平方。 先平方，再開方。
運算結果
典例2 求下列各數的算術平方根：
（1）1.96；
解：因為，所以1.96的算術平方根是 ，
即 。
（2） ；
解：因為，，
所以 的算術平方根是，即 。
由典例2可以看出：被開方數越大，對應的算術平方
根也越大。
（3） ；
解：因為，，所以 的算術平方根是3，
即 。
（4） 。
解：因為 ,，
所以 的算術平方根是5，即 。
典例3 先說出下列各式的意義，再計算：
（1） ；
解：表示的平方根， 。
（2） ；
解：表示的負平方根， 。
（3） ；
解：表示的算術平方根， 。
（4） 。
解：表示0.25的算術平方根的平方， 。
知識過關
①一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫作a
的 　平方根　，也叫作a的 　二次方根　.
②一個正數a的平方根表示為 　 　，它們互為 　相反
數　；0的平方根是 　0　；負數 　沒有平方根　.
③正數的正平方根稱為 　算術平方根　，一個數a(a≥0)的算
術平方根表示為 　 ，0的算術平方根是 　0　.
平方根
二次方根
± 　
相反
數
0
沒有平方根
算術平方根
　
0
平方根
1. [2024·內江]16的平方根是(　D　)
A. 2 B. －4
C. 4 D. ±4
2. 下列數中沒有平方根的是(　D　)
A. 0 B. 2
C. (－2)2 D. －｜－2｜
D
D
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3. 下列說法不正確的是　(　C　)
A. 6是36的平方根
B. －6是36的平方根
C. 36的平方根是6
D. 36的平方根是±6
C
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4. 下列說法正確的是(　D　)
A. 任何非負數都有兩個平方根
B. 一個正數的平方根仍然是正數
C. 只有正數才有平方根
D. 負數沒有平方根
D
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5. [母題 教材P78例1]求下列各數的平方根：
(1)64；　
【解】因為(±8)2＝64，
所以64的平方根是±8，即± ＝±8.
因為 ＝ ，
所以 的平方根是± ，即± ＝± .
(2) ；
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因為(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是
±0.02，即± ＝±0.02.
因為2 ＝ ， ＝ ，
所以2 的平方根是± ，即± ＝± .
　(3)0.000 4；
　(4)2 .
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算術平方根
6.9的算術平方根為(　A　)
A. 3 B. ±3
D. －9
7. 下列運算中，正確的是(　C　)
A
C
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8. [2024·杭州拱墅區期中]若一個數和它的算術平方根相等，
則這個數是 .
1或0　
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(1)－ ；　
【解】－ 表示 的負平方根，－ ＝－ .　
9. [母題 教材P79例2]說出下列各式的意義，并計算.
± 表示289的平方根，± ＝±17.
(2)± ；　
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表示(－4)2的算術平方根，
＝4.
－ 表示52的負平方根，－ ＝－5.
(3) ；　
(4)－ .
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[易錯題]求平方根時忽略根號而出錯
10. 的算術平方根是(　D　)
A. ±9 B. 9
C. ±3 D. 3
D
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11. 若一個數的兩個平方根分別是2a＋2和3a－7，則這個數
是(　D　)
A. 1 B. ±4
C. 4 D. 16
D
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12. [母題·教材P81作業題T6 2024·廣東]完全相同的4個正方
形面積之和是100，則正方形的邊長是(　B　)
A. 2 B. 5
C. 10 D. 20
B
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13. 一個正整數的算術平方根為a，則比這個正整數大3的數
的算術平方根是(　C　)
A. a＋3
【點撥】
根據題意得這個正整數為a2，則比這個正整數大3的
數的算術平方根是 .
C
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14. 如圖，方格中每個小正方格的邊長為1，若把陰影部分剪
拼成一個正方形，那么新正方形的邊長是 .
【點撥】
根據題圖，得S陰影＝2×2×2× ＋2×2×1× ＝4
＋2＝6，則新正方形的邊長為 .
　
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15. [新考法·分類討論法]已知數3，27，加入數a，使這三個
數中，有一個數為另外兩個數的乘積的一個平方根，則
a的值可以是 .(寫出所有可能結果)
±9或243或 　
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①a2＝3×27，所以a＝±9；
②3a＝272，所以a＝243；
③27a＝32，所以a＝ .
綜上，a的值可以是±9或243或 .
【點撥】
依題意，可分為三種情況：
1
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16. [母題 教材P81作業題T7]探究發散：
(1)完成下列填空：
① ＝ ；
② ＝ ；
③ ＝ ；
④ ＝ ；
3　
0.5　
6　
0　
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⑤ ＝ 　 　；
⑥ ＝ 　 　.
　
　
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(2)觀察(1)中的計算結果，你發現其中的規律了嗎？請用
數學語言描述出來：
.
(3)利用你總結的規律計算，若x＜2，則
＝ .
正數和0的平方的算術平方根
為其本身，負數的平方的算術平方根為其相反數　
2－x　
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【解】因為x＝ ，所以x＝5.
因為 ＝2，所以y＝4.
因為z是9的平方根，所以z＝±3.
所以當z＝3時，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×3＝－1；
當z＝－3時，2x＋y－5z＝2×5＋4－5×(－3)＝29.
綜上，2x＋y－5z的值是－1或29.
17. 已知x＝ ， ＝2，z是9的平方根，求2x＋y－5z
的值.
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謝謝觀看！

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