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3.2 從有理數到實數
第3章 實數
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
從有理數到實數
課程目標
了解有理數的局限性，理解無理數的概念，掌握實數的定義。
掌握實數的分類方法，明確實數與數軸上點的對應關系。
理解實數的運算及性質，能進行簡單的實數運算。
有理數的局限性
有理數包括整數和分數，都可以表示為兩個整數的比，即可以化為有限小數或無限循環小數。但在實際生活和數學研究中，存在一些數不能用有理數表示。例如，邊長為 1 的正方形的對角線長度，根據勾股定理可得其長度為\(\sqrt{2}\)，而\(\sqrt{2}\)既不是有限小數，也不是無限循環小數，不能表示為兩個整數的比，這說明有理數不能完全滿足我們的需求，由此引入了無理數。
無理數的概念
無限不循環小數叫做無理數。
例如，\(\sqrt{2}\approx1.41421356\cdots\)，\(\pi\approx3.14159265\cdots\)，\(-\sqrt{3}\approx-1.73205080\cdots\)等都是無理數。
注意：帶根號的數不一定是無理數，如\(\sqrt{4}=2\)是有理數；無限小數不一定是無理數，無限循環小數是有理數，只有無限不循環小數才是無理數。
實數的定義
有理數和無理數統稱為實數。也就是說，實數是有理數與無理數的集合，它包含了所有可以在數軸上表示出來的數。
實數的分類
按定義分類
有理數：整數（正整數、0、負整數）和分數（正分數、負分數），可化為有限小數或無限循環小數。
無理數：無限不循環小數，如\(\sqrt{5}\)、\(\pi\)等。
按性質分類
正實數：大于 0 的實數，包括正有理數和正無理數。例如，3、\(\frac{1}{2}\)、\(\sqrt{2}\)等。
0：既不是正實數，也不是負實數。
負實數：小于 0 的實數，包括負有理數和負無理數。例如，-2、\(-\frac{3}{4}\)、\(-\sqrt{3}\)等。
實數與數軸的對應關系
每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。即實數與數軸上的點是一一對應的。
例如，在數軸上可以找到表示\(\sqrt{2}\)的點：以數軸上的單位長度 1 為邊長作正方形，其對角線的長度就是\(\sqrt{2}\)，以原點為圓心，對角線長為半徑畫弧，與數軸正半軸的交點就表示\(\sqrt{2}\)。
實數的相反數和絕對值
相反數：實數\(a\)的相反數是\(-a\)，0 的相反數是 0。例如，\(\sqrt{3}\)的相反數是\(-\sqrt{3}\)，-5 的相反數是 5。
絕對值：一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0 的絕對值是 0。即對于實數\(a\)，有\(\vert a\vert=\begin{cases}a&(a\gt0)\\0&(a=0)\\-a&(a\lt0)\end{cases}\)。例如，\(\vert\sqrt{5}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert-\pi\vert=\pi\)。
實數的運算
實數的運算與有理數的運算類似，包括加、減、乘、除、乘方、開方等運算，其運算律和運算法則也與有理數的基本相同。
運算律：加法交換律\(a + b = b + a\)、加法結合律\((a + b)+c = a+(b + c)\)、乘法交換律\(a\times b = b\times a\)、乘法結合律\((a\times b)\times c = a\times(b\times c)\)、乘法分配律\(a\times(b + c)=a\times b + a\times c\)等在實數范圍內仍然成立。
運算法則：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面的。
例如，計算\(\sqrt{4}+\sqrt{9}\)，先算開方得\(2 + 3=5\)；計算\((\sqrt{2})^2\)，根據乘方運算法則得 2。
實數的性質
封閉性：實數進行加、減、乘、除（除數不為 0）、乘方運算的結果仍然是實數；非負實數可以進行開平方運算，任何實數都可以進行開立方運算，結果也都是實數。
有序性：對于任意兩個實數\(a\)和\(b\)，在\(a\gt b\)、\(a = b\)、\(a\lt b\)三種關系中，有且只有一種成立。
稠密性：任意兩個不相等的實數之間，都存在著無數個實數。
實際應用舉例
幾何計算：計算半徑為 2 的圓的面積，根據圓的面積公式\(S=\pi r^2\)，可得\(S=\pi\times2^2 = 4\pi\)，這里的\(4\pi\)就是一個實數。
測量問題：測量一個球體的直徑為\(2\sqrt{3}\)厘米，這個長度就是一個無理數，屬于實數范疇，可用于進一步計算球體的體積等。
物理計算：在計算自由落體運動的位移時，位移公式為\(h=\frac{1}{2}gt^2\)（其中\(g\approx9.8m/s^2\)為重力加速度，\(t\)為時間），當\(t=\sqrt{2}\)秒時，\(h=\frac{1}{2}\times9.8\times(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\times9.8\times2 = 9.8\)米，這里涉及到實數的運算。
課堂練習
判斷下列各數哪些是有理數，哪些是無理數：
3.14
\(\sqrt{7}\)
\(\frac{22}{7}\)
\(\pi\)
0.1010010001…（每兩個 1 之間依次多一個 0）
求下列各數的相反數和絕對值：
\(\sqrt{6}\)
-5
0
\(-\sqrt{2}\)
計算：
\(\sqrt{16}+\sqrt[3]{-8}\)
\(\vert\sqrt{3}-2\vert+\sqrt{3}\)
總結
由于有理數存在局限性，引入了無理數，有理數和無理數統稱為實數。
實數可按定義分為有理數和無理數，按性質分為正實數、0、負實數。
實數與數軸上的點一一對應，實數的相反數和絕對值的定義與有理數類似。
實數的運算律和運算法則與有理數基本相同，在實際生活和科學計算中應用廣泛。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.了解無理數和實數，知道實數由有理數和無理數組成，感悟
數的擴充。
2.會求實數的相反數、絕對值。
3.了解實數與數軸上的點一一對應，能用數軸上的點表示實數，
能比較實數的大小，體會數形結合思想，發展幾何直觀。
4.能用有理數估計一個無理數的大致范圍。
求一個正數（非完全平方數）的算術平方根的近似值，通常
有兩種方法：一是用計算器；二是夾逼法。對算術平方根進
行估算時，通常利用與被開方數比較接近的兩個完全平方數
的算術平方根來估計這個被開方數的算術平方根的大小。
例如，與50最接近的兩個完全平方數是49和64，因為
，，，所以，即 。
典例1 估算的近似值（精確到 ）。
解：因為, ，
所以 。（確定整數部分為2）
因為, ，
所以 。（確定十分位上的數為6）
因為, ，
所以 。
因為， ，
所以 ，
所以 。（ 四舍五入法確定百分位上的數為5）
敲黑板
夾逼法按照精確度估計 的近似值
（1）確定的整數部分：根據算術平方根的定義，若 夾
在兩個連續非負整數,之間,則的整數部分是 。
（2）確定的小數部分：從較小整數開始，逐步加 ，并求其平方，采用與（1）類似的方法確定 的十分位上的數；
再用同樣的方法確定其他數位上的數，直到能按照精確度估計近似值為止。（注意：若要求精確到百分位，估算過程中需計算到千分位，再用四舍五入法確定百分位上的數，如典例1中，計算到后，需進一步
估算出 ）
1.概念：無限不循環小數叫作無理數。
2.無理數的三種重要形式：
（1）化簡后含有開方開不盡的數的方根，如 ；
（2）圓周率 及一些化簡后含有 的數，如 ；
（3）具有特殊結構的數，如 （兩個“1”
之間依次多一個“0”）。
典例2 下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？
，，，，， ， （兩個“3”
之間依次多一個“7”）。
解：屬于有理數的有：-，， 。
屬于無理數的有：，， ，（兩個
“3”之間依次多一個“7”）。
提示：判斷一個數是無理數還是有理數，應遵循“一化簡，二辨析，三判斷”的原則，如 是有理數。
1.實數的概念：有理數和無理數統稱實數。
2.實數的分類：
（1）按定義分類：
數的范圍從有理數擴充到實數
（2）按性質分類：
典例3 把下列各數分別填在相應的括號內。
，，，，0，，，，， ，
（兩個“1”之間依次多一個“0”）。
整數：( ) ；分數：( ) ；
正數：（
）
，，，，，
（兩個“1”之間依次多一個“0”）
負數：( ) ；
有理數：( ) ；
無理數：（
）。
，，，，
（兩個“1”之間依次多一個“0”）
把數從有理數擴充到實數以后，有理數中的相反數和絕對值
的概念同樣適用。
名稱 表示 性質
相反數
名稱 表示 性質
絕對值
典例4 求下列各數的相反數和絕對值。
（1） ；
解：的相反數是，絕對值是 。
（2） ；
解：的相反數是，絕對值是 。
（3） 。
解： 的相反數是 ，即，
絕對值是，即 。
1.實數與數軸上的點的對應關系
實數和數軸上的點一一對應。（ ）
2.實數的大小比較
名稱 內容
大小比較的 幾何方法 在數軸上表示的兩個實數，右邊的數總比左邊的數大。
大小比較的 代數方法 正數大于0，正數大于一切負數；0大于一切負數；兩個正數，絕對值大的數大；兩個負數，絕對值大的數反而小。
典例5 把下列實數表示在數軸上，并比較它們的大小（用
“ ”連接）。
，， ，0。
解：把，， ,0表示在數軸上如圖所示。
故 。
知識過關
① 　無限不循環小數　叫作無理數.有理數和無理數統稱 　實
數　.
②　實數　和數軸上的點是一一對應的；在數軸上表示的兩個
實數， 　右邊　的數總比 　左邊　的數大.
無限不循環小數
實
數
實數
右邊
左邊
實數的概念及分類
1. [2024·福建]下列實數中，無理數是(　D　)
A. －3 B. 0
D
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2. 下列說法中，正確的是(　C　)
A. 無理數包括正無理數、零和負無理數
B. 無限小數都是無理數
C. 正實數包括正有理數和正無理數
D. 實數可以分為正實數和負實數兩類
C
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3. [母題 教材P85作業題T1]把下列各數填在相應的橫線上：
0，－ ，－ ， ，－3. ，＋9，π，1.212 212
221…(相鄰兩個“1”之間依次多一個“2”).
(1)有理數： ；
(2)無理數：
.
0，－ ， ，－3. ，＋9　
－ ，π，1.212 212 221…(相鄰兩個“1”
之間依次多一個“2”)　
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實數與數軸的對應關系
4. 如圖，實數 在數軸上的對應點可能是點 .
5. 數軸上距離原點的距離為 的點表示的數
是 .
B　
± 　
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實數的相反數與絕對值
6. [2024·寧波模擬]－5的絕對值是(　D　)
D. 5
7. 如果 －1是a的相反數，則a的值是(　B　)
D
B
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實數大小的比較
8. [2024·威海]下列各數中，最小的數是(　A　)
A. －2
9. [母題 教材P85課內練習T3]估算 的值在(　C　)
A. 1和2之間 B. 2和3之間
C. 3和4之間 D. 4和5之間
A
C
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10. [2023·舟山]下面四個數中，比1小的正無理數是(　A　)
【點撥】
因為4＜6＜9，所以2＜ ＜3.
所以－ ＜ ＜ ＜1＜ .
所以比1小的正無理數是 .
A
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11. [2024·安徽]我國古代數學家張衡將圓周率取值為 ，
祖沖之給出圓周率的一種分數形式的近似值為 .比較
大小： (填“＞”或“＜”).
【點撥】
＝ ， ＝10＝ ，
因為 ＜ ，所以 ＜ .
所以 ＞ .
＞　
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12. [母題·教材P85作業題T4 2024·溫州龍灣區期中]把｜－
4｜，－3，－ ， 分別表示在數軸上，并比較它們的
大小，用“＜”連接.
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【解】因為｜－4｜＝4， ≈1.414，
所以將各數在數軸上表示出來，如圖：
－3＜－ ＜ ＜｜－4｜.
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[易錯題]誤認為帶分數的數即為有理數
13. 下列說法正確的是(　D　)
C. π－3.14是有理數
D
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14. 已知實數a＝ ，則下列關于a的說法正確的是(　D　)
A. a是有理數 B. a不能表示在數軸上
C. 3＜a＜4
15. 若m，n是兩個連續的整數，且m＜ ＜n，則m＋
n的相反數是 .
D
－7　
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16. 如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點A在數軸上，且
點A表示的數為1.若點E也在數軸上(點E在點A的左
側)，且AD＝AE，則點E所表示的數為 .
1－ 　
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17. [母題·教材P97目標與評定T4 2024·杭州蕭山區期中]如圖
①，4×4網格是由16個邊長為1的小正方形組成的.
(1)圖①中陰影正方形的頂點在網格的格點上，這個陰影
正方形的面積為 ，若這個陰影正方形的邊長為
a，則a＝ ；
10　
　
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(2)估計陰影正方形的邊長的值在相鄰整數 和
之間；
3　
4　
(3)在圖②的數軸上作出陰影正方形邊長的值的對應點(要
求保留作圖痕跡).
【解】如圖②，點P表示的數是 .
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18. [2024·重慶巴南區期末]閱讀下面文字，然后回答問題.
給出定義：一個實數的整數部分是不大于這個數的最大
整數，這個實數的小數部分為這個數與它的整數部分的
差的絕對值.例如：2.4的整數部分為2，小數部分為2.4
－2＝0.4； 的整數部分為1，小數部分可用 －1表
示；－2.6的整數部分為－3，小數部分為｜－2.6－(－
3)｜＝0.4.
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由此我們得到：如果 ＝x＋y，其中x是整數，且0
＜y＜1，那么x＝1，y＝ －1.
(1)如果 ＝a＋b，其中a是整數，且0＜b＜1，那么
a＝ ，b＝ ；
(2)如果－ ＝c＋d，其中c是整數，且0＜d＜1，那
么c＝ ，d＝ ；
2　
－2　
－3　
3 　
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【解】因為m＋ ＝7＋n，其中m是整數，且0＜
n＜1，所以易得m＝5，n＝ －2.
所以｜m－n｜－(1－n)＝｜5－(－2)｜－
＝4，
所以｜m－n｜－(1－n)的平方根是±2.
(3)已知m＋ ＝7＋n，其中m是整數，且0＜n＜1，求｜m－n｜－(1－n)的平方根.
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謝謝觀看！

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