資源簡介

(共36張PPT)
3.3 立方根
第3章 實數
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
立方根
課程目標
理解立方根的概念，掌握立方根的表示方法。
掌握立方根的性質，能熟練求出一個數的立方根。
了解開立方運算的意義，明確立方根與平方根的區別和聯系。
學會運用立方根解決實際問題。
立方根的定義
如果一個數的立方等于\(a\)，那么這個數叫做\(a\)的立方根（也叫做三次方根）。也就是說，如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根。
例如，因為\(2^3 = 8\)，所以 2 是 8 的立方根；因為\((-2)^3=-8\)，所以 - 2 是 - 8 的立方根；因為\(0^3 = 0\)，所以 0 是 0 的立方根。
立方根的表示方法
一個數\(a\)的立方根記為\(\sqrt[3]{a}\)，讀作 “三次根號\(a\)”，其中\(a\)叫做被開方數，3 叫做根指數。
注意：根指數 3 不能省略，這是與平方根的表示方法的重要區別（平方根的根指數 2 通常省略）。例如，8 的立方根表示為\(\sqrt[3]{8}\)，-27 的立方根表示為\(\sqrt[3]{-27}\)。
立方根的性質
正數的立方根是正數：例如，\(8\)是正數，它的立方根\(\sqrt[3]{8}=2\)也是正數。
負數的立方根是負數：例如，\(-8\)是負數，它的立方根\(\sqrt[3]{-8}=-2\)也是負數。
0 的立方根是 0：即\(\sqrt[3]{0}=0\)。
唯一性：每個數都有且只有一個立方根，這與平方根不同（正數有兩個平方根）。
開立方運算
求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方與立方互為逆運算，我們可以利用這種逆運算關系來求一個數的立方根。
例如，因為\(5^3 = 125\)，所以\(\sqrt[3]{125}=5\)（開立方是立方的逆運算）；因為\((-0.3)^3=-0.027\)，所以\(\sqrt[3]{-0.027}=-0.3\)。
求立方根的方法
根據定義求解：找到一個數，使得它的立方等于被開方數。例如，求\(\sqrt[3]{27}\)，因為\(3^3 = 27\)，所以\(\sqrt[3]{27}=3\)。
利用立方與開立方的互逆關系：通過立方運算來檢驗所求的立方根是否正確。例如，要驗證\(\sqrt[3]{-64}=-4\)，只需計算\((-4)^3=-64\)，與被開方數相等，說明結果正確。
對于小數或分數的立方根：可以將其化為整數或最簡分數的形式，再進行求解。例如，求\(\sqrt[3]{0.125}\)，因為\(0.5^3 = 0.125\)，所以\(\sqrt[3]{0.125}=0.5\)；求\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\)，因為\((\frac{2}{3})^3=\frac{8}{27}\)，所以\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\)。
立方根與平方根的區別和聯系
區別
定義不同：立方根是如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根；平方根是如果\(x^2 = a\)（\(a\geq0\)），那么\(x\)叫做\(a\)的平方根。
表示方法不同：立方根表示為\(\sqrt[3]{a}\)，根指數 3 不能省略；平方根表示為\(\pm\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)），根指數 2 通常省略。
性質不同：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0 的立方根是 0，每個數都有且只有一個立方根；正數有兩個互為相反數的平方根，0 的平方根是 0，負數沒有平方根。
被開方數的取值范圍不同：立方根的被開方數可以是任意實數；平方根的被開方數必須是非負數（\(a\geq0\)）。
聯系
開方運算不同：開立方與立方互為逆運算，開平方與平方互為逆運算。
運算結果的表示：都用根號表示運算結果。
立方根的應用
幾何問題：在求正方體的棱長時，若已知正方體的體積，可通過求體積的立方根得到棱長。例如，一個正方體的體積是 125 立方厘米，它的棱長是\(\sqrt[3]{125}=5\)厘米。
物理問題：在計算物體的密度時，密度公式為\(\rho=\frac{m}{V}\)（其中\(\rho\)為密度，\(m\)為質量，\(V\)為體積），若已知質量和密度，求體積\(V=\frac{m}{\rho}\)，當體積涉及開立方時，就需要用到立方根。例如，已知某物體的質量為 216 克，密度為 1 克 / 立方厘米，可得體積\(V = 216\)立方厘米，該正方體物體的棱長為\(\sqrt[3]{216}=6\)厘米。
實際測量：在測量一些不規則物體的體積時，有時需要通過計算立方根來得到相關的長度數據。例如，一個球體的體積是\(\frac{4}{3}\pi\)立方分米，根據球體體積公式\(V=\frac{4}{3}\pi r^3\)（其中\(r\)為半徑），可得\(r^3 = 1\)，則半徑\(r=\sqrt[3]{1}=1\)分米。
課堂練習
求下列各數的立方根：
64
-125
0.008
\(\frac{27}{64}\)
0
判斷下列說法是否正確：
64 的立方根是 4。
-8 沒有立方根。
0 的立方根是 0。
立方根等于它本身的數只有 0。
若一個數的立方根是 - 3，求這個數。
總結
立方根的定義是如果\(x^3 = a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的立方根，記為\(\sqrt[3]{a}\)。
正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0 的立方根是 0，每個數都有唯一的立方根。
開立方與立方互為逆運算，求立方根可根據定義和這種逆運算關系。
立方根與平方根在定義、表示方法、性質等方面有區別也有聯系，在幾何、物理等領域有重要應用。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
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中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.了解立方根的概念，會用根號表示數的立方根。
2.理解立方根的事實。
3.了解開立方與立方互為逆運算，會用立方運算求完全立方數
的立方根（及對應的負整數），發展運算能力。
名稱 內容
立方根
立方根的 表示
開立方 求一個數的立方根的運算，叫作開立方。
（1） 中的根指數3不能省略，要寫在根號的左上角；
（2）開立方與立方是互逆的運算，所以可以運用立方運算求
一個數的立方根；
（3）開立方時，被開方數可以是任意實數，且立方根的符號
與被開方數的符號相同。
典例1 求下列各數的立方根：
（1）343；
解：因為，所以343的立方根為7，即 。
（2） ；
解：因為， ，
所以的立方根為，即 。
（3） 。
解：因為，，
所以的立方根為 ，
即 。
1.立方根的事實：一個正數有一個正的立方根；一個負數有
一個負的立方根；零的立方根是零。
2.平方根與立方根的區別與聯系
名稱 關系 平方根 立方根
區別 被開方數 的取值范 圍不同
名稱 關系 平方根 立方根 區別 特征不同 正數有兩個平方根，它們互為相反數。 只有非負數才有平方根。 正數的立方根是正數。 負數也
有立方
根。
負數沒有平方根。 負數的立方根是負數。 名稱 關系 平方根 立方根
區別 表示不同
聯系 零的平方根和立方根都是零。
敲黑板
（1）互為相反數的兩個數，它們的立方根也互為相反數，即
。利用“ ”可以把求一個負數的立方
根轉化為求一個正數的立方根的相反數。例如，
。
（2）,。例如，,
。
典例2 計算：
（1） ；
解： 。
（2） ;
解： 。
（3） 。
解： 。
知識過關
①一般地，一個數的立方等于a，這個數就叫作a的 　立方
根　，也叫作a的 　三次方根　，記作 　 　.
②一個正數有一個 　正　的立方根；一個負數有一個 　負　的立方根；0的立方根是 　0　.
立方
根
三次方根
　
正
負
0
立方根的概念及計算
1.64的立方根是(　B　)
A. ±4 B. 4
C. －4 D. 不存在
2. [2024·溫州龍灣區一模]下列各數中，立方根不等于它本身
的是(　B　)
A. 1 B. 2 C. 0 D. －1
B
B
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3. [母題 教材P90作業題T1]下列說法不正確的是(　B　)
A. 2是8的立方根
B. ±5是125的立方根
D. (－4)3的立方根是－4
B
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4. 體積為16的正方體，其棱長等于(　C　)
A. 16的平方根 B. 16的算術平方根
C. 16的立方根 D. 4的算術平方根
C
5. 的立方根是 .
2　
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6. [母題 教材P88例1]求下列各數的立方根：
(1)125；
【解】因為53＝125，
所以125的立方根是5，即 ＝5.
因為(－0.6)3＝－0.216，所以－0.216的立方根是－0.6，即 ＝－0.6.
(2)－0.216；
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(3)－ ；
因為 ＝－ ，
所以－ 的立方根是－ ，即 ＝－ .
因為(－10)3＝－1 000，所以－1 000的立方根是－10，即 ＝－10.
(4)－1 000；
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因為15 ＝ ， ＝ ，
所以15 的立方根為 ，即 ＝ .
　(5)15 .
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7. 分別求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
【解】原式＝9.
【解】原式＝0.1.
(3) ；
(4)－ .
【解】原式＝－ .
【解】原式＝ .
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立方根的性質
8. 下列結論正確的是(　D　)
A. 216的立方根是±6
D
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9. 下列說法正確的是(　D　)
A. 負數沒有立方根
B. 如果一個數有立方根，那么它一定有平方根
C. 一個數的立方根有兩個，它們互為相反數
D. 一個數的立方根與被開方數同號
D
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10. [2024·杭州西湖區期中]若a＋b＝0，a≠0，則 與
的關系是(　B　)
A. 相等 B. 互為相反數
C. 互為倒數 D. 相等或互為相反數
B
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[易錯題]對立方根與平方根的性質理解不透徹而出錯
11. 下列正確的有(　B　)
①只有正數才有平方根；②a一定有立方根；③ 沒
意義；④ ＝－ ；⑤只有正數才有立方根.
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
B
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12. 估計68的立方根的大小在(　C　)
A. 2與3之間 B. 3與4之間
C. 4與5之間 D. 5與6之間
【點撥】
因為43＝64，53＝125，64＜68＜125，所以4＜
＜5.
C
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13. a是(－8)2的平方根，則a的立方根是(　C　)
A. －8 B. 2
C. 2或－2 D. 8或－8
C
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14. 計算：
(1) ＋ － ＝ ；
(2) － ＋ ＝ 　 　.
－1　
　
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15. [2024·紹興期中]已知一個立方體的體積是1 000 cm3，現
在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小立方體，
截去后余下部分的體積為488 cm3，則截去的每個小立方
體的棱長是 cm.
16. 正整數a，b分別滿足 ＜a＜ ， ＜b＜
，則a＋b＝ .
4　
6　
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【解】因為2a－1的平方根是±3，
所以2a－1＝9，所以a＝5.
因為3a＋b－1的算術平方根是4，
所以3a＋b－1＝16，所以b＝2.
所以50a－17b＝250－34＝216.
因為216的立方根為6，所以50a－17b的立方根為6.
17. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算術平方根是
4，求50a－17b的立方根.
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18. [母題 教材P90作業題T6]如圖，這是由8個同樣大小的立
方體組成的魔方，體積為216 cm3.
(1)求出這個魔方的棱長；
【解】 ＝6(cm)，
所以這個魔方的棱長是6 cm.
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(2)圖中陰影部分是一個正方形，求出陰影部分的面積及
其邊長.
【解】因為魔方的棱長為6 cm，
所以小立方體的棱長為6÷2＝3(cm)，
所以陰影部分的面積為 ×3×3×4＝
18(cm2)，邊長為 cm.
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19. [母題 教材P90探究活動]類比平方根(二次方根)、立方根
(三次方根)的定義可給出四次方根、五次方根的定義：
①如果x4＝a(a≥0)，那么x叫作a的四次方根；
②如果x5＝a，那么x叫作a的五次方根.
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請根據以上兩個定義并結合有關數學知識回答問題：
(1)81的四次方根為 ；－32的五次方根為 .
(2)若 有意義，則a的取值范圍為 ；若
有意義，則a的取值范圍為 .
±3　
－
2　
a≥1　
全體實數　
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(3)解方程：
①x4＝16；　②100 000x5＝243.
【解】①因為x4＝16， ＝16，
所以x＝±2.
②因為100 000x5＝243，所以x5＝ ，
因為 ＝ ，所以x＝ .
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