資源簡介

(共32張PPT)
3.4 實數的運算
第3章 實數
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
實數的運算
課程目標
掌握實數的加、減、乘、除、乘方、開方等基本運算規則。
理解實數運算律，并能運用運算律簡化實數運算。
明確實數的運算順序，能正確進行實數的混合運算。
了解實數運算在實際生活中的應用，注意運算中的易錯點。
實數運算的基礎
實數包括有理數和無理數，實數的運算以有理數的運算為基礎。有理數的運算規則和運算律在實數范圍內仍然適用，同時還增加了關于無理數的運算。例如，無理數與有理數可以進行加、減、乘、除等運算，如\(2 + \sqrt{3}\)、\(3\sqrt{2}-2\sqrt{2}\)等。
實數的基本運算
加法
同號兩數相加：取相同的符號，并把絕對值相加。
例如：\(3 + 5 = 8\)；\(-3 + (-\sqrt{2})=-(3 + \sqrt{2})\)。
異號兩數相加：取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。
例如：\(5 + (-3)=2\)；\(\sqrt{5}+(-2)=\sqrt{5}-2\)（因為\(\sqrt{5}\approx2.236\gt2\)）。
互為相反數的兩數相加：和為 0。
例如：\(3 + (-3)=0\)；\(\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0\)。
一個數與 0 相加：仍得這個數。
例如：\(0 + 5 = 5\)；\(0 + \sqrt{3}=\sqrt{3}\)。
減法
減去一個數，等于加上這個數的相反數，即\(a - b = a + (-b)\)。
例如：\(5 - 3 = 5 + (-3)=2\)；\(\sqrt{6}-2=\sqrt{6}+(-2)\)；\(3 - \sqrt{2}=3 + (-\sqrt{2})\)。
乘法
同號兩數相乘：取正號，并把絕對值相乘。
例如：\(3\times5 = 15\)；\((-2)\times(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\)。
異號兩數相乘：取負號，并把絕對值相乘。
例如：\(3\times(-4)=-12\)；\(2\times(-\sqrt{5})=-2\sqrt{5}\)。
任何數與 0 相乘：都得 0。
例如：\(0\times5 = 0\)；\(0\times\sqrt{7}=0\)。
多個非零實數相乘：積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數有奇數個時，積為負，再把絕對值相乘。
例如：\((-2)\times3\times(-\sqrt{2})=2\times3\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}\)（負因數有 2 個，為偶數，積為正）。
除法
除以一個非零實數：等于乘這個數的倒數，即\(a\div b = a\times\frac{1}{b}\)（\(b\neq0\)）。
例如：\(6\div2 = 6\times\frac{1}{2}=3\)；\(\sqrt{8}\div\sqrt{2}=\sqrt{8}\times\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2\)。
同號兩數相除：取正號，并把絕對值相除。
例如：\(10\div5 = 2\)；\((-6)\div(-\sqrt{3})=6\div\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)。
異號兩數相除：取負號，并把絕對值相除。
例如：\(10\div(-2)=-5\)；\(9\div(-\sqrt{3})=-9\div\sqrt{3}=-3\sqrt{3}\)。
0 除以任何非零實數：都得 0。
例如：\(0\div5 = 0\)；\(0\div\sqrt{5}=0\)。
乘方
定義：求\(n\)個相同實數\(a\)的積的運算叫做乘方，記作\(a^n\)，其中\(a\)叫做底數，\(n\)叫做指數，\(a^n\)讀作 “\(a\)的\(n\)次方”。
例如：\((\sqrt{2})^2=\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\)；\((2\sqrt{3})^2=2^2\times(\sqrt{3})^2=4\times3=12\)。
性質：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；0 的任何正整數次冪都是 0。
例如：\((\sqrt{3})^3=\sqrt{3}\times\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)；\((-\sqrt{2})^3=-(\sqrt{2})^3=-2\sqrt{2}\)。
開方
開平方：求一個非負實數的平方根的運算，其中正的平方根叫做算術平方根。
例如：\(\sqrt{9}=3\)；\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)（化簡）。
開立方：求一個實數的立方根的運算。
例如：\(\sqrt[3]{8}=2\)；\(\sqrt[3]{-27}=-3\)。
實數的運算律
加法交換律：\(a + b = b + a\)。
例如：\(2 + \sqrt{3}=\sqrt{3}+2\)。
加法結合律：\((a + b)+c = a+(b + c)\)。
例如：\((2 + \sqrt{2})+\sqrt{3}=2+(\sqrt{2}+\sqrt{3})\)。
乘法交換律：\(a\times b = b\times a\)。
例如：\(2\times\sqrt{5}=\sqrt{5}\times2\)。
乘法結合律：\((a\times b)\times c = a\times(b\times c)\)。
例如：\((2\times\sqrt{2})\times\sqrt{3}=2\times(\sqrt{2}\times\sqrt{3})=2\sqrt{6}\)。
乘法分配律：\(a\times(b + c)=a\times b + a\times c\)。
例如：\(\sqrt{2}\times(3 + \sqrt{2})=\sqrt{2}\times3+\sqrt{2}\times\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\)。
實數的運算順序
先算乘方和開方：再算乘除，最后算加減。
例如：\(\sqrt{4}+2^2\times3=2 + 4\times3=2 + 12=14\)。
同級運算：按照從左到右的順序進行。
例如：\(8\div2\times\sqrt{4}=4\times2=8\)。
有括號的運算：先算小括號里的，再算中括號里的，最后算大括號里的。
例如：\([(\sqrt{9}-2)\times3]+4=[(3 - 2)\times3]+4=(1\times3)+4=3 + 4=7\)。
實數運算的應用
幾何計算：計算邊長為\(\sqrt{2}\)的正方形的周長和面積。
周長：\(4\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)；面積：\((\sqrt{2})^2=2\)。
物理計算：一個物體做自由落體運動，下落的距離\(h\)（單位：米）與時間\(t\)（單位：秒）的關系為\(h=\frac{1}{2}gt^2\)（其中\(g\approx9.8\)米 / 秒 ），求當\(t=\sqrt{2}\)秒時，物體下落的距離。
\(h=\frac{1}{2}\times9.8\times(\sqrt{2})^2=\frac{1}{2}\times9.8\times2=9.8\)米。
實際測量：一根繩子的長度為\(5 + \sqrt{3}\)米，用去\(2\)米后，剩下的長度為\((5 + \sqrt{3})-2=3 + \sqrt{3}\)米。
運算中的注意事項
符號問題：在進行實數運算時，要特別注意符號的變化，尤其是負數的乘方和減法運算。例如，\(-(\sqrt{2})^2=-2\)，而不是\(2\)；\(3-\sqrt{5}\)不能寫成\(\sqrt{5}-3\)（除非添加負號）。
化簡問題：對于含有根號的運算結果，要化為最簡形式。例如，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，\(\frac{\sqrt{8}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)。
近似計算：當需要得到實數運算的近似值時，要按照要求的精確度進行計算。例如，計算\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)（精確到 0.01），\(\sqrt{3}\approx1.732\)，\(\sqrt{2}\approx1.414\)，則\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\approx1.732 + 1.414=3.146\approx3.15\)。
課堂練習
計算下列各題：
\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{16}\times\sqrt[3]{-8}\)
\((\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\)
\(\vert\sqrt{2}-3\vert+\sqrt{2}\)
化簡：
\(\sqrt{27}\)
\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\)
計算（結果精確到 0.1）：\(\sqrt{5}+2.34\)
總結
實數的基本運算包括加、減、乘、除、乘方、開方，其運算規則與有理數類似，同時需注意無理數的運算特點。
實數運算律與有理數運算律一致，合理運用可簡化運算。
實數運算順序為：先乘方、開方，再乘除，最后加減；有括號的先算括號里的，同級運算從左到右進行。
實數運算在幾何、物理等領域應用廣泛，運算時要注意符號、化簡和近似計算等問題。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能類比有理數的運算法則和運算律，進行簡單的實數四則
運算，體會類比思想，發展運算能力。
2.會用計算器計算平方根和立方根。
3.能用計算器進行近似計算，會按問題的要求進行簡單的近
似計算。
4.能運用實數的運算解決一些簡單的實際問題，發展應用意識。
1.數從有理數擴展到實數后，有理數的運算法則和運算律在實
數范圍內同樣適用。
2.實數運算的順序：先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減。
若遇到括號，則先進行括號里的運算。
若算式中運用運算律能夠簡化計算，則要運用運算律
計算。
敲黑板
（1）無理數與有理數的和、差，結果仍是無理數；
（2）無理數乘或除以一個不為0的有理數，結果仍是無理數；
（3）兩個無理數的和、差、積、商，結果可能是有理數也可
能是無理數。
典例1 計算：
（1） ；
解：原式
。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
我們可以用計算器進行實數的運算；近似計算時按題目的要求
將用計算器算得的結果取近似值。
（1）用計算器求一個數的算術平方根的步驟：①先按 鍵；
②然后按 鍵；③再輸入要開平方的數；④最后按 鍵顯示
結果。如求 的操作是 。
（2）用計算器求一個數的立方根的步驟：①先按 鍵；
②然后按 鍵；③再輸入需要開立方的數；④最后按 鍵
顯示結果。如求 的操作是 。
典例2 用計算器計算下列各式精確到
（1） ;
解：按鍵順序為： ，
所以 。
（2） 。
解：按鍵順序為：
，
所以 。
知識過關
實數運算的順序：先算 　乘方和開方　，再算 　乘除　，最后算 　加減　.若遇到 　括號　，則先進行 　括號　
里的運算.
乘方和開方
乘除
加減
括號
括號
實數的運算
1. 計算 ＋ ＋｜－4｜的結果是(　C　)
A. 8 B. －4
C. 4 D. 12
2. 計算：2× －2×(－1)的結果是(　A　)
A. 2 B. 1
C
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. [2024·金華期中]下列說法：
①兩個無理數的和一定是無理數；
②一個有理數與一個無理數的和一定是無理數；
③一個有理數與一個無理數的積一定是無理數.
其中正確的個數是(　B　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 計算：
(1)22＋｜－3｜－ ；
【解】原式＝4＋3－
＝4＋3－5
＝7－5＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2) － ；
【解】原式＝10＋3
＝13.
(3) × － ；
【解】原式＝5×3－(－1)
＝15＋1＝16.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(4)2×(3－ )＋2× －6.
【解】原式＝6－2× ＋2× －6
＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
利用計算器計算
5. 用計算器計算時，按鍵順序是：2ndF 4 · 2 ＝，則它
表示的算式是(　B　)
D. 以上均不對
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. [母題 教材P91例2]在計算器上依次按鍵 7 － 2ndF
8 ＝，則計算器顯示的結果與下列各數最接近的一個
數是(　B　)
A. 0.5 B. 0.6
C. 0.8 D. 0.9
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 用計算器計算(結果精確到0.01)：
(1) － ；
【解】原式≈1.35.
(2) －4π＋3× ；
【解】原式≈－6.07.
(3) ＋ .
【解】原式≈0.59.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. [母題 教材P92例3]天氣晴朗時，一個人能看到大海的最遠
距離s(單位：km)可用公式s2＝16.88h來估計，其中
h(單位：m)是眼睛離海平面的高度，如果一個人站在岸
邊觀察，當眼睛離海平面的高度是1.5 m時，能看到多遠
(精確到0.01 km)？如果登上觀望臺，當眼睛離海平面的
高度是35 m時，能看到多遠(精確到0.01 km)？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】當h＝1.5時，s2＝16.88h＝16.88×1.5＝
25.32，則s＝ ≈5.03，即能看到5.03 km遠.
當h＝35時，s2＝16.88h＝16.88×35＝590.8，則s＝
≈24.31，即能看到24.31 km遠.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. [2023·麗水調研]已知a，b是兩個實數，滿足a＋b＝0，
下列是關于a，b的五個結論：
① ＋ ＝0；②a2－b2＝0；③ ＋ ＝0；④a3
－b3＝0；⑤｜a｜＝｜b｜.則所有正確結論的序號是
(　C　)
A. ②④⑤ B. ①④⑤
C. ②③⑤ D. ①③⑤
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [2024·衢州期中]實數a，b在數軸上對應點的位置如圖
所示，則化簡 －｜a＋b｜＋ 的結果是
(　D　)
A. 2a B. 2b
C. 2a＋2b D. 0
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 按如圖所示的運算程序，能使輸出的結果為5的是
(　D　)
A. a＝0，b＝5 B. a＝9，b＝4
C. a＝16，b＝1 D. a＝36，b＝1
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. [新視角·新定義題2024寧波模擬] 對于兩個不相等的實數
a，b，定義一種新的運算：a*b＝ (a＋b＞0).例
如：3*2＝ ＝ ，則15*(6*3)＝ 　 　.
　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知x是 ＋2的小數部分，y是 －1的整數部
分，求(－x)y的平方根.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】因為 ＜ ＜ ，所以4＜ ＜5.
所以6＜ ＋2＜7，3＜ －1＜4.
因為x是 ＋2的小數部分，y是 －1的整數部
分，
所以x＝ ＋2－6＝ －4，y＝3.
所以(－x)y＝[－(－4)]3＝43＝64.
所以(－x)y的平方根為± ＝±8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 某地氣象資料表明：當地雷雨持續的時間t(單位：h)可
以用下面的公式來估計：t2＝ ，其中d(單位：km)是
雷雨區域的直徑.
(1)如果雷雨區域的直徑為9 km，那么這場雷雨大約能持
續多長時間？
【解】當d＝9時，t2＝ ＝ .
因為t＞0，所以t＝ ＝ .
答：這場雷雨大約能持續 h.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)如果一場雷雨持續了1 h，那么這場雷雨區域的直徑大
約是多少千米？(已知 ≈9.65，結果精確到
0.1 km)
【解】把t＝1代入t2＝ ，得d3＝900，
所以d＝ ≈9.65≈9.7.
答：這場雷雨區域的直徑大約是9.7 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑