資源簡介

(共37張PPT)
4.3 整式
第4章 代數式
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
整式
課程目標
理解整式的概念，能區分整式與非整式。
掌握單項式和多項式的定義，明確它們的相關概念（系數、次數、項、常數項等）。
能夠準確判斷一個代數式是否為單項式或多項式，并指出其相關屬性。
了解整式在實際生活中的應用。
整式的定義
單項式和多項式統稱為整式。也就是說，整式是代數式的一部分，它不包含字母在分母中或根號下的形式。
例如：\(3x\)、\(a + b\)、\(5x^2y - 3xy + 1\)等都是整式；而\(\frac{1}{x}\)（字母在分母）、\(\sqrt{x}\)（字母在根號下）等不是整式。
單項式
定義
由數與字母的積組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也叫做單項式。
例如：\(5\)、\(a\)、\(3xy\)、\(-2x^2y^3\)等都是單項式。
相關概念
系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。
例如：單項式\(3xy\)的系數是\(3\)；單項式\(-2x^2y^3\)的系數是\(-2\)；單項式\(a\)的系數是\(1\)（省略不寫）；單項式\(-5\)的系數是\(-5\)。
次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。
例如：單項式\(3xy\)中\(x\)的指數是\(1\)，\(y\)的指數是\(1\)，次數是\(1 + 1=2\)；單項式\(-2x^2y^3\)中\(x\)的指數是\(2\)，\(y\)的指數是\(3\)，次數是\(2 + 3=5\)；單項式\(5\)是常數項，它的次數是\(0\)。
多項式
定義
幾個單項式的和叫做多項式。
例如：\(x + y\)（\(x\)和\(y\)都是單項式，它們的和是多項式）、\(3x^2 - 2xy + 5\)（\(3x^2\)、\(-2xy\)、\(5\)都是單項式，它們的和是多項式）等都是多項式。
相關概念
項：在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項。
例如：多項式\(3x^2 - 2xy + 5\)中，\(3x^2\)、\(-2xy\)、\(5\)都是它的項，其中\(5\)是常數項。
次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。
例如：多項式\(3x^2 - 2xy + 5\)中，\(3x^2\)的次數是\(2\)，\(-2xy\)的次數是\(2\)，常數項\(5\)的次數是\(0\)，所以這個多項式的次數是\(2\)。
多項式的命名：一個多項式含有幾項，就叫做幾項式。例如，\(x + y\)含有\(2\)項，叫做二項式；\(3x^2 - 2xy + 5\)含有\(3\)項，叫做三項式。通常將多項式的項數和次數結合起來命名，如\(3x^2 - 2xy + 5\)是二次三項式。
單項式與多項式的區別和聯系
區別
組成不同：單項式是數與字母的積，或單獨的數、字母；多項式是幾個單項式的和。
項數不同：單項式只有一項；多項式至少有兩項。
聯系
單項式和多項式統稱為整式。
多項式是由單項式組成的，多項式中的每一項都是單項式。
實例解析
判斷單項式及其相關屬性
代數式\(5x^3y\)：是單項式，系數是\(5\)，因為\(x\)的指數是\(3\)，\(y\)的指數是\(1\)，所以次數是\(3 + 1=4\)。
代數式\(-a\)：是單項式，系數是\(-1\)，次數是\(1\)（只有字母\(a\)，指數是\(1\)）。
代數式\(8\)：是單項式，系數是\(8\)，次數是\(0\)。
判斷多項式及其相關屬性
代數式\(4x^2 - 3x + 7\)：是多項式，由\(4x^2\)、\(-3x\)、\(7\)三項組成，所以是三項式。其中最高次項是\(4x^2\)，次數是\(2\)，因此這個多項式是二次三項式，常數項是\(7\)。
代數式\(a^3b - 2ab^2 + b - 5\)：是多項式，含有\(4\)項，是四項式。\(a^3b\)的次數是\(4\)（\(3 + 1\)），\(-2ab^2\)的次數是\(3\)（\(1 + 2\)），\(b\)的次數是\(1\)，\(-5\)的次數是\(0\)，最高次項是\(a^3b\)，次數是\(4\)，所以這個多項式是四次四項式，常數項是\(-5\)。
整式的應用
幾何問題：用整式表示圖形的周長、面積、體積等。例如，一個長方形的長為\(a\)，寬為\(b\)，它的周長可以用整式\(2(a + b)\)表示，面積可以用整式\(ab\)表示；一個正方體的棱長為\(x\)，它的體積可以用整式\(x^3\)表示。
實際生活問題：用整式表示實際中的數量關系。例如，某水果的單價為每千克\(m\)元，買\(n\)千克需要花費\(mn\)元（單項式）；某書店賣書，一本故事書\(a\)元，一本科技書\(b\)元，買\(2\)本故事書和\(3\)本科技書一共需要\((2a + 3b)\)元（多項式）。
科學計算：在一些科學公式中，整式也有廣泛應用。例如，物理學中勻速直線運動的路程公式\(s=vt\)（\(s\)表示路程，\(v\)表示速度，\(t\)表示時間），這是一個單項式；圓柱體的體積公式\(V=\pi r^2h\)（\(r\)表示底面半徑，\(h\)表示高），也是一個單項式。
課堂練習
判斷下列代數式是否為整式，若是整式，指出是單項式還是多項式，并說明其相關屬性（系數、次數、項數等）：
\(3x^2y\)
\(\frac{1}{x} + 2\)
\(5a - 3b + 1\)
\(-7\)
\(x^3 - 2x^2 + x - 6\)
說出下列多項式是幾次幾項式，指出其常數項：
\(2x + 1\)
\(3x^2y - 2xy^2 + y^3 - 4\)
總結
整式包括單項式和多項式，它不包含字母在分母或根號下的形式。
單項式是數與字母的積或單獨的數、字母，有系數和次數；多項式是幾個單項式的和，有項、項數、次數、常數項等概念。
能準確區分單項式和多項式，并明確它們的相關屬性，是學習整式后續內容的基礎。
整式在幾何、實際生活和科學計算中都有重要應用，是表示數量關系的重要工具。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解整式的概念，能說出單項式、多項式、整式之間的聯系。
2.能正確識別單項式、多項式、整式，并能準確說出單項式的系
數、次數、多項式的次數和項。
3.能分析具體問題中的數量關系，并能用整式表示，逐步建立數
學符號意識，提升抽象能力。
1.單項式的概念：由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫作
單項式。單獨一個數或一個字母也叫單項式，如0，， 。
單項式中不含加減運算，也不含對字母的開方運算，并且
分母中不含字母，如,, 都不是單項式。
2.單項式的系數：單項式中的數字因數叫作這個單項式的系數。如
的系數是， 的系數是1。
（1）當一個單項式的系數是1或 時，1通常省略不寫，
如寫成，寫成 。（2）當單項式的系數是假分數時，不
要寫成帶分數，如不要將寫成 。（3）單項式的系數包括
前面的符號，如的系數是 。
3.單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫作這個單
項式的次數。如的次數是1，的次數是 。
（1）常數項的次數規定為零，如1的次數為0；
（2）單獨一個字母的次數為1，如 的次數是1。
典例1 （易錯題）判斷下列各式哪些是單項式,并指出單項式的系
數與次數。
;;;;; 。
解：單項式有，，， 。
單項式
單項式的系數
單項式的次數 1 2
解題通法
確定單項式及其系數、次數的方法
1.多項式的概念：由幾個單項式相加組成的代數式叫作多項式。
2.多項式的項：在多項式中，每個單項式叫作多項式的項，不含字
母的項叫作常數項。例如，的項有，， ，常數
項是 。
多項式中的每一項都是單項式，且每一項都包括它前面的
符號，特別注意項的符號為負號時，一定不要漏掉該項的符號。
3.多項式的次數：在多項式中，次數最高的項的次數就是這個多項
式的次數。例如，次數最高的項 的次數是2，所以多
項式的次數是2， 稱為二次三項式。
典例2 指出下列多項式的項和次數，并說出它是幾次幾項式。
（1） ；
解：（1）多項式的項分別為,,,
，共四項，最高次項的次數是3,所以它是三次四項式。
（2） 。
（2）多項式 的項分別為， ,共二項，最高次項的次數
是2,所以它是二次二項式。
整式的概念：單項式和多項式統稱整式。
整式一定是代數式，但代數式不一定是整式。分母中含
有字母的代數式都不是整式，如代數式 就不是整式。
典例3 下列代數式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？
，，，，，，，, 。
解：單項式：，，， 。
多項式：，， 。
整式：，，，，，， 。
知識過關
①由 　數與字母或字母與字母相乘　組成的代數式叫作單項
式.單獨 　一個數　或 　一個字母　也叫單項式.
②單項式中的 　數字因數　叫作這個單項式的系數.一個單項
式中， 　所有字母的指數的和　叫作這個單項式的次數.
數與字母或字母與字母相乘
一個數
一個字母
數字因數
所有字母的指數的和
③由 　幾個單項式相加　組成的代數式叫作多項式.在多項式中，每個單項式叫作多項式的 　項　，不含字母的項叫
作 　常數項　， 　次數最高的項的次數　就是這個多項式的
次數.
④ 　單項式　和 　多項式　統稱整式.
幾個單項式相加
項
常數項
次數最高的項的次數
單項式
多項式
單項式及其相關概念
1. 在代數式5x＋y， a2b， ， ，0中，是單項式的有
(　A　)
A. 3個 B. 4個
C. 5個 D. 2個
A
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2. [2024·溫州龍灣區月考]代數式－3ab2c的系數與次數分別
是(　B　)
A. －3，2 B. －3，4
C. 3，2 D. 3，4
B
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3. [新視角·結論開放題]寫出一個單項式：
，要求此單項式含有字母a，b，系數是3，次數
是3.
4. 已知－8xmy2是一個六次單項式，求－2m＋10的值.
【解】因為－8xmy2是一個六次單項式，
所以m＋2＝6，所以m＝4.
當m＝4時，－2m＋10＝－2×4＋10＝2.
3ab2(或
3a2b)　
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多項式及其相關概念
5. 下列式子是多項式的是(　B　)
D. 4x3
B
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6. [2024·金華期末]對于多項式x2－5x－6，下列說法正確的
是(　C　)
A. 它是三次三項式
B. 它的常數項是6
C. 它的一次項系數是－5
D. 它的二次項系數是2
C
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7. 已知多項式－8x3ym＋xy2－3x3＋6y是六次四項式，則m
的值是 .
8. 填表：
多項式 項數 次數 常數項
3a－1 2 1 －1
－x＋5x2＋7 3 2 7
－2x2y＋6xy2－3 3 3 －3
3　
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3
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－3
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9. [母題 教材P111課內練習]列出表示下列各題結果的代數
式，并指出這些代數式是單項式還是多項式.
(1)某產品前年的產量是n件，去年的產量是前年產量的
m倍，則去年的產量是多少件？
【解】mn件，式子mn是單項式.
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(2)某班總人數為m人，女生人數是男生人數的 ，那么該
班男生人數為多少？
【解】 m人，式子 m是單項式.
(3)媽媽在超市購買物品共需a元，結賬時買購物袋又花了
0.5元，媽媽共花了多少元？
【解】(a＋0.5)元，式子a＋0.5是多項式.
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整式
10. [2024·杭州余杭區期末]在 ，2m2n＋5mn2， ，2xy，
－ 中，整式有(　C　)
A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
C
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11. [2023·紹興期中]已知關于x的整式(｜k｜－3)x3＋(k－
3)x2－k.
(1)若是二次式，求k的值；
【解】因為關于x的整式是二次式，
所以｜k｜－3＝0且k－3≠0，解得k＝－3.
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(2)若是二項式，求k的值.
【解】因為關于x的整式是二項式，
所以①｜k｜－3＝0且k－3≠0，解得k＝－3；
②k＝0.故k的值是－3或0.
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12. 下列結論正確的是(　B　)
B. 多項式2x2－x＋5是二次三項式
D. 32ab3的次數是6
13. 若多項式xy｜m－n｜＋(n－2)x2y2＋1是關于x，y的三次
多項式，則mn＝ .
B
0或8　
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14. 已知單項式－ xy2m－1與－22x2y2的次數相同.
(1)求m的值；
【解】根據題意，得1＋2m－1＝2＋2，
解得m＝2.
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(2)當x＝－9，y＝－2時，求單項式－ xy2m－1的值.
【解】當m＝2時，－ xy2m－1＝－ xy3.
當x＝－9，y＝－2時，原式＝－ ×(－9)×(－2)3＝
－48.
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15. [情境題·游戲活動型]游戲規則：(1)每人抽取4張卡片，
如果抽到白色卡片，那么加上卡片上式子最高次項的系
數；如果抽到灰色卡片，那么減去卡片上式子的常數
項；(2)比較兩人所抽取的4張卡片的計算結果，結果大
的為勝者.
小玉抽到了如圖①的4張卡片：
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小明抽到了如圖②的4張卡片：
他們兩人誰獲勝了？
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【解】小玉所抽取的卡片的計算結果是－(＋4)＋1－0＋
2＝－1，
小明所抽取的卡片的計算結果是0＋3－(－5)＋(－1)＝7.
因為－1＜7，所以小明獲勝.
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16. [新視角·規律探究題]觀察下列單項式：－x，3x2，－
5x3，7x4，…，－37x19，39x20，….寫出第n個單項
式，為了解決這個問題，特提供下面的解題思路.
(1)這組單項式的系數依次為多少？系數的符號規律是什
么？系數的絕對值規律是什么？
【解】這組單項式的系數依次為－1，3，－5，
7，…，系數為奇數且奇次項為負數；系數的符號規
律是(－1)n；系數的絕對值規律是2n－1.
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(2)這組單項式的次數的規律是什么？
【解】這組單項式的次數是從1開始的連續自然數.
(3)根據上面的歸納，你可以猜想出第n個單項式是什
么嗎？
【解】第n個單項式是(－1)n (2n－1)xn.
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(4)請你根據猜想，寫出第2 024個、第2 025個單項式.
【解】第2 024個單項式是4 047x2 024，第2 025個單項
式是－4 049x2 025.
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謝謝觀看！

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