資源簡介

(共31張PPT)
4.2 代數式的值
第4章 代數式
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
代數式的值
課程目標
理解代數式的值的概念，明確代數式的值與代數式中字母取值的關系。
掌握求代數式值的步驟和方法，能準確求出代數式的值。
了解求代數式值的注意事項，能運用代數式的值解決實際問題。
代數式的值的定義
用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果，叫做代數式的值。
例如，對于代數式\(x + 5\)，當\(x = 3\)時，代入可得\(3 + 5 = 8\)，那么 8 就是當\(x = 3\)時，代數式\(x + 5\)的值；當\(x=-2\)時，\(-2 + 5 = 3\)，3 就是此時該代數式的值。
注意：代數式的值是由代數式中字母的取值決定的，字母的取值不同，代數式的值可能不同。
求代數式值的步驟
代入：把代數式中字母所取的數值代入代數式中，注意原來的運算符號和數字都要保留。如果字母的值是負數或分數，代入時要加上括號。
例如，求代數式\(2x - 3\)當\(x=-1\)時的值，代入得\(2\times(-1)-3\)。
計算：按照代數式中規定的運算順序進行計算，得出結果。
接上面的例子，\(2\times(-1)-3=-2 - 3=-5\)，所以當\(x=-1\)時，代數式\(2x - 3\)的值是\(-5\)。
求代數式值的方法
直接代入法：直接將字母的取值代入代數式進行計算。這是最基本、最常用的方法。
例如，求代數式\(3a + 2b\)當\(a = 2\)，\(b=-1\)時的值，直接代入得\(3\times2 + 2\times(-1)=6-2 = 4\)。
整體代入法：當代數式中字母的取值不易直接求出，或代數式與已知條件存在整體關系時，可將一個代數式作為一個整體代入求值。
例如，已知\(x + y=5\)，求代數式\(2(x + y)+3\)的值，把\(x + y\)看作一個整體代入得\(2\times5 + 3=10 + 3=13\)。
化簡后代入法：先將代數式進行化簡，再代入字母的取值計算，能簡化計算過程。
例如，求代數式\(3x^2 + 5x - 2x^2 - x\)當\(x = 3\)時的值，先化簡得\((3x^2-2x^2)+(5x - x)=x^2 + 4x\)，再代入\(x = 3\)得\(3^2+4\times3=9 + 12=21\)。
實例解析
直接代入計算
求代數式\(x^2 - 2x + 3\)當\(x = 4\)時的值：
代入：\(4^2-2\times4 + 3\)
計算：\(16-8 + 3=11\)，所以該代數式的值是 11。
求代數式\(\frac{a - b}{a + b}\)當\(a = 5\)，\(b = 2\)時的值：
代入：\(\frac{5 - 2}{5 + 2}\)
計算：\(\frac{3}{7}\)，所以該代數式的值是\(\frac{3}{7}\)。
整體代入計算
已知\(a^2 + 2a=3\)，求代數式\(2a^2 + 4a + 5\)的值：
觀察發現\(2a^2 + 4a=2(a^2 + 2a)\)，把\(a^2 + 2a=3\)整體代入得\(2\times3 + 5=6 + 5=11\)。
若\(m - n=3\)，求代數式\(4(m - n)-2m + 2n + 5\)的值：
先變形代數式，\(-2m + 2n=-2(m - n)\)，則原式可化為\(4(m - n)-2(m - n)+5=2(m - n)+5\)，代入\(m - n=3\)得\(2\times3 + 5=11\)。
化簡后代入計算
求代數式\(5(x^2y - xy^2)-3(x^2y - xy^2)\)當\(x = 2\)，\(y=-1\)時的值：
先化簡：\((5 - 3)(x^2y - xy^2)=2(x^2y - xy^2)=2x^2y-2xy^2\)
代入：\(2\times2^2\times(-1)-2\times2\times(-1)^2=2\times4\times(-1)-2\times2\times1=-8 - 4=-12\)
求代數式值的注意事項
代入數值要準確：代入時要注意字母與數值的對應關系，不能代錯。例如，代數式\(a + b\)中，\(a = 1\)，\(b = 2\)，不能代入成\(a = 2\)，\(b = 1\)（除非題目允許）。
注意運算順序：計算時要嚴格按照代數式中規定的運算順序進行，先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里的。
符號問題：當字母的取值是負數時，代入后要注意符號的變化。例如，求代數式\(x^2\)當\(x=-3\)時的值，代入得\((-3)^2=9\)，不能寫成\(-3^2=-9\)。
分數或小數的計算：當字母的取值是分數或小數時，計算要細心，避免出錯。例如，求代數式\(2a^2\)當\(a=\frac{1}{2}\)時的值，代入得\(2\times(\frac{1}{2})^2=2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。
整體代入要合理變形：運用整體代入法時，要對代數式進行適當變形，使其與已知條件的形式一致，以便代入計算。
代數式的值的應用
實際問題計算：在實際生活中，可通過求代數式的值解決與數量相關的問題。例如，某商店的利潤計算公式為\(y = 2x - 50\)（其中\(x\)是銷售量，\(y\)是利潤），當銷售量\(x = 100\)時，利潤\(y=2\times100 - 50=150\)元，即此時利潤為 150 元。
幾何問題求解：已知圖形的相關代數式，當字母取具體值時，可求出圖形的周長、面積等。例如，三角形的面積公式為\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(a\)為底，\(h\)為高），當\(a = 6\)厘米，\(h = 4\)厘米時，面積\(S=\frac{1}{2}\times6\times4=12\)平方厘米。
數據分析比較：通過計算不同字母取值時代數式的值，進行數據比較和分析。例如，代數式\(x^2 + 1\)，當\(x = 1\)時的值為 2；當\(x = 2\)時的值為 5；當\(x = 0\)時的值為 1，可比較得出當\(x = 2\)時該代數式的值最大。
課堂練習
求下列代數式的值：
代數式\(4x^2 - 2x + 1\)，當\(x = 3\)時。
代數式\(\frac{2m + n}{m - n}\)，當\(m = 4\)，\(n = 1\)時。
已知\(x - 2y=3\)，求代數式\(3x - 6y + 5\)的值。
先化簡，再求值：代數式\(3(a^2 - ab)-2(a^2 - ab)\)，其中\(a = -2\)，\(b = 3\)。
總結
代數式的值是用數值代替代數式中的字母后，按運算關系計算得出的結果，其值由字母的取值決定。
求代數式值的步驟為代入和計算，方法有直接代入法、整體代入法和化簡后代入法。
求代數式值時要注意代入準確、運算順序正確、符號無誤，整體代入時需合理變形代數式。
代數式的值在實際問題、幾何計算和數據分析中都有重要應用，能幫助我們解決具體的數量問題。
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課堂檢測
4
新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
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典例講解
1.理解代數式的值的概念，知道當字母取不同的數值時，代數式
的值一般也不同，體會從抽象到具體的過程。
2.會把具體數代入代數式進行計算，提高運算能力。
1.代數式的值：一般地，用數值代替代數式里的字母，計算后所得
的結果叫作代數式的值。例如，9是代數式當 時的值。
代數式中字母的取值一要保證代數式本身有意義，二要保
證代數式表示的量有意義。例如，中的不能等于0。因為當
時，就沒有意義了；表示正方形的邊長時， 只能取正數。
2.求代數式的值的步驟：
典例1 已知，，求代數式 的值。
知識過關
一般地，用 　數值　代替代數式里的 　字母　，計算后所得
的結果叫作代數式的值.
數值
字母
求代數式的值
1. 已知有理數x的值是－2，則代數式x＋2的值等于(　B　)
A. －2 B. 0
C. 4 D. －4
B
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2. [2024·溫州期末]當a＝－1，b＝2時，代數式a2－2ab的
值是(　D　)
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
3. 下列表示a的數中，不能使 ＋a＝0成立的是(　B　)
A. －0.1 B. 1
C. 0
D
B
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4. 定義一種新運算法則是 ＝ad－bc，則
＝ .
－10　
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(1)(a－b)2； (2)a2－2ab＋b2.
【解】(1)當a＝2，b＝－3時，
(a－b)2＝ ＝52＝25.
(2)當a＝2，b＝－3時，
a2－2ab＋b2＝22－2×2×(－3)＋(－3)2＝4＋12＋9＝
25.
5. 當a＝2，b＝－3時，求下列代數式的值：
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6. 若代數式x－3y的值為2，求2x－6y＋5的值.
【解】因為x－3y＝2，
所以2x－6y＋5＝2(x－3y)＋5＝2×2＋5＝9.
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代數式求值的簡單應用
7. 飛機著陸后滑行t秒的距離為 米，當滑行的
時間為30秒時，滑行的距離為(　A　)
A. 1 200米 B. 1 100米
C. 1 000米 D. 900米
A
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8. [新趨勢跨學科2024廣州] 如圖，把R1，R2，R3三個電阻
串聯起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1
＋IR2＋IR3.當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝
2.2時，U的值為 .
220　
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9. [情境題生活應用2024衢州期中] 學校組織學生參加紅色研
學活動，共有m名教師與n名學生參加.學校咨詢了甲、
乙兩家旅行社，兩家旅行社給出了不同的報價.甲旅行
社：教師全價，80元/人，學生半價，40元/人；乙旅行
社：全部成員，六折優惠，即48元/人.兩家旅行社提供的
服務項目與服務質量均相同.
(1)用含m，n的代數式分別表示兩家旅行社的收費.
【解】由題意得甲旅行社的收費為(80m＋40n)元，乙
旅行社的收費為48(m＋n)元.
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(2)當m＝20，n＝500時，選擇哪家旅行社更優惠？
【解】當m＝20，n＝500時，甲旅行社的收費為
80×20＋40×500＝1 600＋20 000＝21 600(元)，
乙旅行社的收費為48×(20＋500)＝48×520＝24
960(元).
因為21 600＜24 960，
所以選擇甲旅行社更優惠.
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10. 若x＝－3，y＝－2，則x2－2xy＋y2的值是(　C　)
A. －10 B. －2
C. 1 D. 25
【點撥】
當x＝－3，y＝－2時，
原式＝(－3)2－2×(－3)×(－2)＋(－2)2＝9－12＋4
＝1.
C
[易錯題]代入負數求值時因漏寫括號而出錯
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11. [2024·嘉興期末]已知2x＋y＝－6，則代數式9－2y－4x
的值為(　A　)
A. 21 B. 15
C. 3 D. －3
A
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12. 若a是最大的負整數，b是9的算術平方根，m與n互為
倒數，則 －2 024mn的值為 .
13. 有理數a，b，c均不為0，且a＋b＋c＝0，設x＝
＋ ＋ ，則代數式x2 025＋2 025x－2 025
的值為 .
－2 022　
1或－4 051　
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因為有理數a，b，c均不為0，且a＋b＋c＝0，
所以a，b，c不能同為正數或同為負數，故分以下情況
討論：①三個數中有兩個正數，一個負數，設a＞0，b
＞0，c＜0.因為a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a，c＋
a＝－b，a＋b＝－c，所以x＝ ＋ ＋
＝－1－1＋1＝－1；
【點撥】
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②三個數中有兩個負數，一個正數，設a＞0，b＜0，c＜0.
因為a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a，c＋a＝－b，a＋b
＝－c，所以x＝ ＋ ＋ ＝－1＋1＋1＝1.
當x＝－1時，原式＝(－1)2 025＋2 025×(－1)－2 025＝－4
051；當x＝1時，原式＝12 025＋2 025×1－2 025＝1.綜上所
述，答案為1或－4 051.
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14. 華氏溫度f(℉)與攝氏溫度c(℃)之間存在如下的關系：f
＝ c＋32.
(1)如果某地早晨的溫度為5 ℃，那么此地早晨的華氏溫
度是多少？
【解】當c＝5時，
f＝ ×5＋32＝9＋32＝41.
答：此地早晨的華氏溫度是41 ℉.
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(2)李華對瀟瀟說：“現在室內的攝氏溫度是20 ℃，此時
對應的華氏溫度應該是68 ℉.”請你通過計算說明李
華的說法對嗎？
【解】當c＝20時，f＝ ×20＋32＝68.
故李華的說法正確.
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15. [新考法·知識情境化] 如圖，某學校辦公樓前有一塊長為
x m，寬為y m的長方形空地，在中心位置留出一個半徑
為a的圓形區域建一個噴泉，兩邊是兩個長方形的休息
區，陰影部分為綠地.
(1)用含字母a，b，x，y的式子表示陰影部分的面積
(結果保留π).
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【解】長方形空地的面積是xy m2，圓形區域的面積是πa2 m2，兩個長方形的休息區的面積是
2ab m2，所以陰影部分的面積為(xy－πa2－2ab)m2.
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(2)當x＝5，y＝4，a＝1，b＝2時，陰影部分的面積是
多少(π取3)？
【解】當x＝5，y＝4，a＝1，b＝2時，
陰影部分的面積為xy－πa2－2ab≈5×4－3×12－2×1×2＝13(m2).
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16. 自從有了用字母表示數，我們發現表達有關的數和數量
關系更加簡潔明了，也發現了更多有趣的結論，請你按
要求試一試.
(1)用代數式表示：
①a與b的差的平方；
②a與b兩數的平方和與a，b兩數積的2倍的差；
【解】①(a－b)2.②a2＋b2－2ab.
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(2)當a＝3，b＝－2時，求第(1)題中①②所列的代數式
的值.
【解】當a＝3，b＝－2時，
(a－b)2＝25，a2＋b2－2ab＝25.
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(3)由第(2)題的結果，你發現了什么等式？
【解】(a－b)2＝a2＋b2－2ab.
(4)利用你發現的結論，求2 0252－4 050×2 024＋2 0242
的值.
【解】原式＝2 0252－2×2 025×2 024＋2 0242＝(2
025－2 024)2＝1.
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