資源簡介

(共36張PPT)
4.5 整式的加減
第4章 代數式
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
整式的加減
課程目標
理解整式加減的本質是合并同類項，掌握整式加減的運算法則。
熟練掌握整式加減的運算步驟，能準確進行整式的加減運算。
學會運用整式的加減解決實際問題，明確運算中的注意事項。
整式加減的本質
整式的加減運算實質上就是合并同類項。如果有括號，要先去括號，再合并同類項。這是因為整式是單項式和多項式的統稱，而多項式是由同類項和非同類項組成的，只有通過去括號消除括號的限制后，才能將同類項進行合并，從而完成整式的加減運算。
去括號法則
在進行整式加減時，若式子中含有括號，需要先去括號，去括號的法則如下：
括號前是 “\(+\)” 號，把括號和它前面的 “\(+\)” 號去掉后，原括號里各項的符號都不改變。
例如：\(+(3x + 2y)=3x + 2y\)；\(a + (b - c)=a + b - c\)。
括號前是 “\(-\)” 號，把括號和它前面的 “\(-\)” 號去掉后，原括號里各項的符號都要改變。
例如：\(-(2x - y)=-2x + y\)；\(m - (n + p)=m - n - p\)。
整式加減的運算法則
一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。
整式加減的運算步驟
去括號：根據去括號法則，去掉整式中的括號。如果括號前有系數，要先用乘法分配律將系數乘到括號里的每一項，再去括號。
例如：計算\(2(3x - 2y) + 4x\)，先運用乘法分配律得\(6x - 4y + 4x\)。
合并同類項：按照合并同類項的法則，將去括號后得到的式子中的同類項進行合并。
接上面的例子，合并同類項得\((6x + 4x) - 4y = 10x - 4y\)。
實例演示
計算\((3x^2 + 2x - 1) + (2x^2 - 3x + 5)\)
去括號：括號前都是 “\(+\)” 號，去括號后各項符號不變，得到\(3x^2 + 2x - 1 + 2x^2 - 3x + 5\)。
合并同類項：找同類項\(3x^2\)與\(2x^2\)、\(2x\)與\(-3x\)、\(-1\)與\(5\)，合并后得\((3x^2 + 2x^2) + (2x - 3x) + (-1 + 5) = 5x^2 - x + 4\)。
計算\((5a^2 - 3ab + b^2) - (2a^2 + ab - 3b^2)\)
去括號：括號前是 “\(-\)” 號，去括號后各項符號改變，得到\(5a^2 - 3ab + b^2 - 2a^2 - ab + 3b^2\)。
合并同類項：同類項\(5a^2\)與\(-2a^2\)、\(-3ab\)與\(-ab\)、\(b^2\)與\(3b^2\)，合并后得\((5a^2 - 2a^2) + (-3ab - ab) + (b^2 + 3b^2) = 3a^2 - 4ab + 4b^2\)。
計算\(3(x^2 - 2xy) - 2(3xy - x^2) + 5\)
去括號：運用乘法分配律去括號，得到\(3x^2 - 6xy - 6xy + 2x^2 + 5\)。
合并同類項：同類項\(3x^2\)與\(2x^2\)、\(-6xy\)與\(-6xy\)，合并后得\((3x^2 + 2x^2) + (-6xy - 6xy) + 5 = 5x^2 - 12xy + 5\)。
整式加減的應用
求代數式的值：先進行整式的加減化簡，再代入數值計算，可簡化過程。例如，求當\(x = 2\)，\(y = -1\)時，代數式\((3x^2y + 2xy) - (x^2y - xy)\)的值。
先化簡：去括號得\(3x^2y + 2xy - x^2y + xy\)，合并同類項得\(2x^2y + 3xy\)。
代入計算：將\(x = 2\)，\(y = -1\)代入，得\(2\times2^2\times(-1) + 3\times2\times(-1) = 2\times4\times(-1) + (-6) = -8 - 6 = -14\)。
幾何問題：用整式表示圖形的邊長、周長、面積等，再通過整式加減解決相關問題。例如，一個三角形的第一條邊長為\(2a + b\)，第二條邊長比第一條邊長短\(a - b\)，第三條邊長是第一條邊長的 2 倍，求這個三角形的周長。
第二條邊長：\((2a + b) - (a - b) = 2a + b - a + b = a + 2b\)。
第三條邊長：\(2(2a + b) = 4a + 2b\)。
周長：三條邊長相加，\((2a + b) + (a + 2b) + (4a + 2b) = 2a + b + a + 2b + 4a + 2b = 7a + 5b\)。
實際問題：用整式表示實際中的數量關系，再通過整式加減解決問題。例如，某商店原有商品\(a\)件，第一天賣出\(b\)件，第二天購進\(c\)件，第三天又賣出\(d\)件，此時商店還有多少件商品？
原有\(a\)件，第一天賣出后剩\(a - b\)件，第二天購進后有\(a - b + c\)件，第三天賣出后剩\((a - b + c) - d = a - b + c - d\)件。
整式加減的注意事項
去括號時的符號問題：嚴格按照去括號法則進行，括號前是 “\(-\)” 號時，括號內各項的符號都要改變，不能漏改某一項的符號。例如，\(-(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1\)，不能寫成\(-x^2 - 2x + 1\)。
括號前有系數的處理：要用系數乘以括號內的每一項，不能只乘第一項。例如，\(2(3x - y) = 6x - 2y\)，不能寫成\(6x - y\)。
合并同類項要徹底：確保合并后不再有同類項，否則結果不正確。例如，\(3x + 2x^2 + 5x\)合并后應為\(2x^2 + 8x\)，不能保留\(3x + 5x\)未合并的形式。
運算順序：有多層括號時，一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號。例如，計算\([2x - (3x + 1)] + 4\)，先去小括號得\([2x - 3x - 1] + 4\)，再去中括號得\(2x - 3x - 1 + 4\)，最后合并同類項得\(-x + 3\)。
課堂練習
計算下列各題：
\((2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 5)\)
\((5m^2 - 2n^2) - (3m^2 + n^2)\)
\(3(a^2 - 2ab) - 2(ab - b^2) + 5\)
先化簡，再求值：
代數式\((4x^2y - 5xy^2) - (3x^2y - 4xy^2)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)。
一個多項式與\(x^2 - 2x + 1\)的和是\(3x^2 - x + 2\)，求這個多項式。
總結
整式的加減本質是合并同類項，運算時先去括號，再合并同類項。
去括號是整式加減的關鍵步驟，要注意符號變化和系數的分配；合并同類項要徹底，確保結果正確。
整式的加減在求代數式的值、幾何問題和實際生活中都有廣泛應用，是代數運算的重要基礎。
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課堂檢測
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新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
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新知講解
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典例講解
1.掌握去括號法則，能準確去括號，感悟去括號的本質是乘法的
分配律。
2.理解整式的加減運算是建立在數的運算基礎上的，數的運算律
及運算法則在整式加減運算中仍然成立，體會“數式通性”，感
悟數學結論的一般性。
3.能熟練進行整式的加減運算、化簡求值，提升運算能力。
4.會運用整式的加減解決簡單的實際問題。
1.去括號法則：
括號前的符號 方法
括號前是“-”號 把括號和它前面的“-”號去掉,括號里各項都改
變符號。
去括號時，要將括號連同它前面的符號一起去掉。
教材延伸
添括號法則
（1）當所添括號前面是“ ”號時，括到括號里的各項都不改變
符號。
（2）當所添括號前面是“-”號時，括到括號里的各項都改變符號。
2.去多重括號的方法：
去多重括號時，一般由內向外,即先去小括號，再去中括號，最后
去大括號;也可由外向內，即先去大括號,再去中括號,最后去小括號,
且去大括號時,要將中括號看成一個整體,去中括號時,要將小括號看
成一個整體。
典例1 化簡：
（1） ;
解：（1）
（去括號）
。（合并同類項得到最簡結果）
（2） ；
（3） 。
（2）
。
（3）
。
解題通法
括號前有數字因數時,去括號的方法
若括號前面的系數不是或 ，則應先按照乘法對加法的分配
律，將括號內各項都乘系數的絕對值，再按照法則去括號，或者
將系數直接與原括號里的各項分別相乘。
整式加減的應用類型：
應用類型 方法
直接的整式加減 實質是合并同類項，若有括號，則先去括號再
合并同類項。
間接的整式加減 求整式的和差時，先用括號將每一個整式括起
來，再用加減運算符號連接。
化簡求值 求多項式的值時，一般先化簡，再把字母的值
代入化簡后的式子求值。
整式加減的結果仍是整式，一般按某個字母的降冪（或升冪）排列。結果中不能含有同類項。
典例2 已知多項式 與另一個多項式的和是
,求另一個多項式。
解：由題意，得
。
所以另一個多項式為 。
知識過關
整式的加減可以歸結為 　去括號　與 　合并同類項　.
去括號
合并同類項
整式的加減
1. 化簡(2a＋b)－(2a－b)的結果是(　B　)
A. 4a B. 2b
C. 0 D. 4a＋2b
2. 多項式3a2＋2a與a2－2a＋1的和是(　A　)
A. 4a2＋1 B. 4a2－4a＋1
C. 4a2＋4a＋1 D. －2a2＋4a＋1
B
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3. [2024·德陽]若一個多項式加上y2＋3xy－4，結果是3xy＋
2y2－5，則這個多項式為 .
4. 已知關于x，y的多項式2x＋my－12與多項式nx－3y＋
6的差中不含有關于x，y的一次項，則m＋n＋mn
＝ .
y2－1　
－7　
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(1)M＋N；　　
【解】M＋N＝－a＋3b＋(3a＋b)
＝－a＋3b＋3a＋b＝2a＋4b.
【解】2M－N＝2(－a＋3b)－(3a＋b)
＝－2a＋6b－3a－b＝－5a＋5b.
5. [2024·湖州吳興區期末]設M＝－a＋3b，N＝3a＋b，
化簡下列各式：
(2)2M－N.
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6. [2024·杭州西湖區期中]老師在黑板上寫了一個正確的演算
過程，隨后用手捂住了一個多項式，形式如下：
＋2(a2－4ab＋4b2)＝5a2＋2b2.
(1)求手捂住的多項式；
【解】根據題意，得手捂住的多項式為(5a2＋2b2)－
2(a2－4ab＋4b2)＝5a2＋2b2－2a2＋8ab－8b2＝3a2＋
8ab－6b2.
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【解】因為(a＋1)2＋ ＝0，
所以a＋1＝0，b－ ＝0，
所以a＝－1，b＝ ，
所以3a2＋8ab－6b2＝3－4－ ＝－2.5.
(2)若a，b滿足(a＋1)2＋ ＝0，請求出手捂住的多
項式的值.
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整式加減的應用
7. 一根鐵絲正好可以圍成一個長是2a＋b、寬是a＋3b的
長方形，現把它剪去一段，若剪去的鐵絲正好可以圍成一
個長是a、寬是2b的長方形(均不計接縫)，則剩下的鐵絲
長是(　A　)
A. 4a＋4b B. 2a＋2b
C. 4a＋2b D. 5a＋6b
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8. 某牧民共有牛羊120只，每只牛每天的食草量是羊的4倍，
若每只羊每天需要4千克草，設牛有x只，該牧民每天需
準備 千克草.
(12x＋480)　
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【解】由題意可得第二天銷售了(2x＋5)件，
所以第三天銷售了3(2x＋5)－8＝(6x＋7)件，
所以三天的銷售總量為x＋(2x＋5)＋(6x＋7)＝(9x＋
12)件.
9. 某服裝店新開張，第一天銷售服裝x件，第二天的銷
售量比第一天的2倍還多5件，第三天的銷售量比第二
天的3倍少8件，請用含x的代數式表示這三天一共銷售
的服裝件數.
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10. 如果M和N都是三次多項式，那么M＋N一定是
(　D　)
A. 三次多項式
B. 六次多項式
C. 次數不低于3的多項式或單項式
D. 次數不高于3的多項式或單項式
D
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11. 若P＝ (x2－y2＋3)，Q＝ (x2－2y2＋2)，則P，Q的
大小關系是(　A　)
A. P＞Q B. P＜Q
C. P＝Q D. P≤Q
A
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12. 一塊菜地共占地(6m＋2n)畝，其中(3m＋6n)畝種植白
菜，種植黃瓜的地是種植白菜的地的 ，剩下的地種植
時令蔬菜，則種植時令蔬菜的地有(　A　)
A. (2m－6n)畝 B. (2m＋6n)畝
C. (m＋6n)畝 D. (m－6n)畝
A
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13. [2024·杭州拱墅區期中]小明粗心大意，在求一個多項式
減去2x2－3x＋7的值時，把“減去2x2－3x＋7”看成了
“加上2x2－3x＋7”，得到答案是5x2－2x＋4，你能幫
小明求出正確的答案嗎？請寫出求解過程.
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【解】原多項式為5x2－2x＋4－(2x2－3x＋7)
＝5x2－2x＋4－2x2＋3x－7
＝3x2＋x－3，
故可得正確結果＝(3x2＋x－3)－(2x2－3x＋7)
＝3x2＋x－3－2x2＋3x－7
＝x2＋4x－10.
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14. [新考向·知識情境化]如圖，公園有一塊長為(2a－1)米、
寬為a米的長方形土地(一邊靠著墻)，現將三面留出寬都
是b米的小路，余下部分設計成花圃ABCD，并用籬笆
把花圃不靠墻的三邊圍起來.
(1)花圃的寬AB為 米，花圃的長BC為
米(用含a，b的式子表示)；
(a－b)　
(2a
－2b－1)　
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(2)求籬笆的總長度(用含a，b的式子表示)；
【解】籬笆的總長度為(2a－2b－1)＋2(a－b)＝2a
－2b－1＋2a－2b＝(4a－4b－1)米.
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(3)若a＝30，b＝5，籬笆的單價為60元/米，請計算籬笆
的總價.
【解】當a＝30，b＝5時，籬笆的總價為(4a－4b－1)×60＝(4×30－4×5－1)×60＝5 940(元).
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15. [新考法·閱讀類比法]閱讀：證明命題“一個三位數各位
數字之和可以被3整除，則這個數就可以被3整除”.設
表示一個三位數.
則 ＝100a＋10b＋c＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c)＝
9(11a＋b)＋(a＋b＋c).
因為9(11a＋b)能被3整除，a＋b＋c也能被3整除，所
以 能被3整除.
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運用：
(1)一個四位數 ，如果a＋b＋c＋d能被9整除.請
說明 能被9整除；
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【解】因為 是一個四位數，
所以 ＝1 000a＋100b＋10c＋d
＝(999a＋99b＋9c)＋(a＋b＋c＋d)
＝9(111a＋11b＋c)＋(a＋b＋c＋d).
因為9(111a＋11b＋c)能被9整除，a＋b＋c＋d能
被9整除，
所以四位數 能被9整除.
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(2)若一個三位數 的各位數字是任意三個連續的正整
數，則 的最小正因數一定是 (數字“1”除
外).
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謝謝觀看！

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