資源簡介

(共30張PPT)
5.1 認識方程
第5章 一元一次方程
【2025-2026學年】浙教版 數(shù)學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
認識方程
課程目標
理解方程的定義，明確方程的組成要素。
能區(qū)分方程與等式，掌握兩者的區(qū)別和聯(lián)系。
理解方程的解和解方程的概念，能判斷一個數(shù)是否為方程的解。
學會根據(jù)簡單的實際問題列出方程。
方程的定義
含有未知數(shù)的等式叫做方程。
例如：\(2x + 3 = 7\)（含有未知數(shù)\(x\)且是等式）、\(5y - 1 = 2y + 4\)（含有未知數(shù)\(y\)且是等式）、\(x^2 - 5 = 4\)（含有未知數(shù)\(x\)且是等式）等都是方程。
注意：方程必須同時滿足兩個條件：一是含有未知數(shù)，二是是等式。兩者缺一不可。如\(3x + 2\)雖然含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程；\(5 + 3 = 8\)雖然是等式，但不含有未知數(shù)，所以也不是方程。
方程的組成要素
方程由未知數(shù)、已知數(shù)和等號三部分組成。
未知數(shù)：是指在方程中需要求解的數(shù)，通常用字母\(x\)、\(y\)、\(z\)等表示。例如，在方程\(3x - 5 = 10\)中，\(x\)是未知數(shù)。
已知數(shù)：是指方程中已知的固定數(shù)值。例如，在方程\(2y + 7 = 15\)中，2、7、15 是已知數(shù)。
等號：表示左右兩邊的式子在數(shù)值上相等，是方程的重要標志。
方程與等式的區(qū)別和聯(lián)系
區(qū)別
定義不同：方程是含有未知數(shù)的等式；等式是表示左右兩邊相等關系的式子，不一定含有未知數(shù)。
范圍不同：方程一定是等式，但等式不一定是方程。也就是說，等式包含方程，方程是等式的一部分。
例如：\(4 + 5 = 9\)是等式，但不是方程；\(3x = 12\)既是等式，也是方程。
聯(lián)系
方程和等式都含有等號，都表示左右兩邊的數(shù)量關系是相等的。
方程是特殊的等式，是含有未知數(shù)的等式。
方程的解和解方程
方程的解
使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。
例如：對于方程\(2x + 3 = 7\)，當\(x = 2\)時，左邊\(=2\times2 + 3=7\)，右邊\(=7\)，左邊等于右邊，所以\(x = 2\)是方程\(2x + 3 = 7\)的解。
又如：方程\(x + 5 = 9\)，當\(x = 4\)時，左邊\(=4 + 5 = 9\)，右邊\(=9\)，所以\(x = 4\)是該方程的解。
解方程
求方程的解的過程叫做解方程。
例如：求方程\(3y - 1 = 8\)的解的過程就是解方程。通過移項可得\(3y=8 + 1\)，即\(3y=9\)，兩邊同時除以 3，得到\(y = 3\)，這個過程就是解方程。
方程的解與解方程的區(qū)別
方程的解是一個具體的數(shù)值，而解方程是一個過程。
實例解析
判斷一個式子是否為方程
式子\(4x - 7\)：含有未知數(shù)，但不是等式，所以不是方程。
式子\(6 + 8 = 14\)：是等式，但不含有未知數(shù)，所以不是方程。
式子\(5m + 2 = 12\)：含有未知數(shù)\(m\)且是等式，所以是方程。
判斷一個數(shù)是否為方程的解
判斷\(x = 3\)是不是方程\(2x - 1 = 5\)的解：把\(x = 3\)代入方程左邊，得\(2\times3 - 1 = 5\)，方程右邊是 5，左邊等于右邊，所以\(x = 3\)是該方程的解。
判斷\(y = 2\)是不是方程\(3y + 4 = 10\)的解：把\(y = 2\)代入方程左邊，得\(3\times2 + 4 = 10\)，方程右邊是 10，左邊等于右邊，所以\(y = 2\)是該方程的解。
根據(jù)實際問題列方程
問題：一個數(shù)的 3 倍加上 5 等于 20，求這個數(shù)。
設這個數(shù)為\(x\)，根據(jù)題意可列方程：\(3x + 5 = 20\)。
問題：小明有 50 元錢，買了一本單價為\(x\)元的書后，還剩 35 元。
根據(jù)題意可列方程：\(50 - x = 35\)。
列方程的步驟
設未知數(shù)：根據(jù)實際問題，選擇合適的字母表示未知數(shù)，通常用\(x\)、\(y\)等。
找等量關系：分析實際問題中數(shù)量之間的相等關系，這是列方程的關鍵。
列方程：根據(jù)找到的等量關系，把未知數(shù)和已知數(shù)用等式表示出來。
方程的應用
方程在實際生活中有著廣泛的應用，能幫助我們解決很多實際問題。
購物問題：已知總價、數(shù)量，求單價；或已知單價、數(shù)量，求總價等，都可以通過列方程解決。例如，買 3 支鋼筆花了 24 元，求每支鋼筆的價格，設每支鋼筆\(x\)元，可列方程\(3x = 24\)。
行程問題：已知路程、速度、時間中的兩個量，求第三個量，可列方程。例如，一輛汽車以每小時\(x\)千米的速度行駛，3 小時行駛了 180 千米，可列方程\(3x = 180\)。
年齡問題：根據(jù)幾個人的年齡關系列方程。例如，小明今年\(x\)歲，爸爸今年 35 歲，爸爸的年齡比小明的 3 倍還多 5 歲，可列方程\(3x + 5 = 35\)。
課堂練習
判斷下列式子是不是方程：
\(3x + 5\)
\(7 + 8 = 15\)
\(2y - 1 = 3\)
\(x^2 + 2x = 0\)
判斷下列各數(shù)是不是相應方程的解：
\(x = 4\)是不是方程\(2x - 5 = 3\)的解。
\(y = -1\)是不是方程\(3y + 4 = 1\)的解。
根據(jù)下列實際問題列出方程：
一個數(shù)的 5 倍減去 8 等于 12，設這個數(shù)為\(x\)。
小紅有\(zhòng)(x\)本故事書，小麗比小紅多 5 本，小麗有 12 本。
總結(jié)
方程是含有未知數(shù)的等式，必須同時滿足含有未知數(shù)和是等式兩個條件。
方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，解方程是求方程解的過程。
列方程時要先設未知數(shù)，再找等量關系，最后列出方程，方程在實際生活中應用廣泛。
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課堂檢測
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新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結(jié)梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
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典例講解
1.能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義，能判斷一個式子是不是方程。
2.能根據(jù)簡單實際問題列方程，發(fā)展模型觀念。
3.理解方程的解的意義，會用嘗試檢驗的方法估計方程的解。
1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程。
2.方程必須具備兩個條件：（1）是等式；（2）含有未知數(shù)。
兩者缺一不可。
典例1 已知下列式子：；； ；
；；；;; 。
其中方程的個數(shù)為( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
解析：， 不是等式，所以它們不是方程；
是等式，但不含未知數(shù)，所以它不是方程；
， （未知數(shù)的個數(shù)不一定是一個），
， （未知數(shù)也可以用其他字母表示），
， 都符合方程的定義，所以都是方程。
1.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。
2.檢驗方程的解的方法：檢驗一個值是不是方程的解，要把這個值
分別代入方程的左右兩邊，當左邊 右邊時，這個值是方程的解，
當左邊 右邊時，這個值不是方程的解。
解：將代入方程的左邊，得 ，
將代入方程的右邊，得 。
因為左邊 右邊，
所以是方程 的解。
典例2 檢驗是不是方程 的解。
對于一些較簡單的方程，先確定未知數(shù)的一個較小的取值范圍，
逐一將這些可取的值代入方程進行嘗試檢驗，能使方程兩邊相等
的未知數(shù)的值就是方程的解。
典例3 用嘗試檢驗的方法解方程： 。
分析：先取和分別代入 得到4和11，而
5.4介于4和11之間，故取0和1之間的小數(shù)；再取 ，代入
得,介于4與7.5之間，故 取0和0.5之間的
小數(shù)。
解：令依次取0,,,,, ，可以得到下表：
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
4 4.7 5.4 6.1 6.8 7.5
觀察發(fā)現(xiàn)，當時，，所以 是方程
的解。
知識過關
①含有 　未知數(shù)　的等式叫作方程.
②使方程左右兩邊相等的 　未知數(shù)的值　，叫作方程的解.
未知數(shù)
未知數(shù)的值
方程的定義
1. [2024·嘉興期末]下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2
＋x－2＝0；④ ＋2＝0；⑤3x－2；⑥x－y＝0，是方
程的有(　B　)
A. 3個 B. 4個
C. 5個 D. 6個
B
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2. [2024·寧波鎮(zhèn)海區(qū)期末]關于式子①2x＝3和②1－3＝－2，下列說法正確的是(　B　)
A. ①、②均是方程
B. ①是方程，②不是方程
C. ①不是方程，②是方程
D. ①、②均不是方程
B
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方程的解
3. 下列方程中，解為x＝4的是(　B　)
A. x－3＝－1
B
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4. [母題 教材P130 T4]由表可知，方程2x－1＝x＋2的解
是 .
x的值 … 1 2 3 4 …
2x－1的值 … 1 3 5 7 …
x＋2的值 … 3 4 5 6 …
x＝3　
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【解】把x＝6代入方程，左邊＝12－3＝9，右邊＝
5×3＝15，左邊≠右邊，
所以x＝6不是方程的解；
把x＝4代入方程，左邊＝8－3＝5，右邊＝5×1＝5，
左邊＝右邊，
所以x＝4是方程的解.
5. 檢驗下列各題括號內(nèi)的值是否為相應方程的解.
(1)2x－3＝5(x－3)；(x＝6，x＝4)
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(2)4x＋5＝8x－3；(x＝3，x＝2)
【解】把x＝3代入方程，左邊＝12＋5＝17，右邊＝24
－3＝21，左邊≠右邊，
所以x＝3不是方程的解；
把x＝2代入方程，左邊＝8＋5＝13，右邊＝16－3＝
13，左邊＝右邊，
所以x＝2是方程的解.
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列方程
6. [新考向·數(shù)學文化] 《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學
專著之一，其中記錄的一道題其內(nèi)容是：“分田地，三人
分之二，留三畝，問田地幾何？”設田地有x畝，則可列
方程為(　B　)
B
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7. 根據(jù)“比a的2倍大5的數(shù)等于8”可列方程為
.
8. 某班學生分組參加活動，原來每組8人，后來重新編組，
每組6人，這樣比原來增加了兩組，這個班共有多少名學
生？若設共有x名學生，可列方程為 .
2a＋5＝
8　
＋2＝ 　
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9. [情境題·植樹造林]在一次植樹活動中，甲班植樹的棵數(shù)比
乙班多20％，乙班植樹的棵數(shù)比甲班的一半多10棵.設乙
班植樹x棵.
(1)根據(jù)題意列出含未知數(shù)x的方程；
【解】(1＋20％)x＝2(x－10).
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(2)檢驗乙班、甲班植樹的棵數(shù)是不是分別為25棵和35棵.
【解】把x＝25分別代入(2)中方程的左邊和右邊，得
左邊＝(1＋20％)×25＝30，
右邊＝2×(25－10)＝30.
因為左邊＝右邊，所以x＝25是方程(1＋20％)x＝2(x
－10)的解，即乙班植樹的棵數(shù)是25棵.
由上面的檢驗過程可得，甲班植樹的棵數(shù)是30棵，而
不是35棵.
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10. [新考法·類比求解法]若關于x的一元一次方程 x＋5
＝3x－b的解為x＝－3，則關于y的一元一次方程
(y＋2)＋5＝3(y＋2)－b 的解為(　C　)
A. y＝－3 B. y＝－4
C. y＝－5 D. y＝－6
C
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11. [新考法·圖文信息法][2024·杭州上城區(qū)期末]在矩形
ABCD中放入六個長、寬都相同的小長方形，所標尺寸
如圖所示，求小長方形的寬AE. 若AE＝x cm，依題意
可得方程(　B　)
B
A. 6＋2x＝14－3x
B. 6＋2x＝x＋(14－3x)
C. 14－3x＝6
D. 6＋2x＝14－x
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12. 如果x＝－2是關于x的方程ax＋b＝5－2x的解，那么3
－4a＋2b＝ .
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13. 觀察下列方程：
① ＋ ＝1的解是x＝2，
② ＋ ＝1的解是x＝3，
③ ＋ ＝1的解是x＝4，
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(1)根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x＝6的方程，并
檢驗.
【解】 ＋ ＝1的解是x＝6.
當x＝6時，左邊＝ ＋ ＝1＝右邊，所以x＝6是
方程 ＋ ＝1的解.
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(2)請寫出第100個方程和它的解.
【解】第100個方程是 ＋ ＝1，方程的解是x
＝101.
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謝謝觀看！

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