資源簡介

(共31張PPT)
5.2 等式的基本性質
第5章 一元一次方程
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
等式的基本性質
課程目標
理解并掌握等式的兩條基本性質。
能運用等式的基本性質對等式進行變形。
學會利用等式的基本性質解簡單的方程。
體會等式基本性質在解決實際問題中的作用。
等式的基本性質 1
等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，所得結果仍是等式。
用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（其中\(c\)為任意整式）。
實例說明：
若\(x = 5\)，在等式兩邊同時加上 3，得到\(x + 3 = 5 + 3\)，即\(x + 3 = 8\)，等式仍然成立。
若\(2m + 3 = n\)，在等式兩邊同時減去\(2m\)，得到\(2m + 3 - 2m = n - 2m\)，即\(3 = n - 2m\)，等式依然成立。
生活實例：天平兩邊各放有質量相等的物體，此時天平平衡（即等式成立）。如果在天平兩邊同時加上相同質量的砝碼，天平仍然保持平衡，這直觀地體現了等式的基本性質 1。
等式的基本性質 2
等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為 0 的整式，所得結果仍是等式。
用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（其中\(c\)為任意不為 0 的整式）。
實例說明：
若\(y = 4\)，在等式兩邊同時乘 2，得到\(2y = 4\times2\)，即\(2y = 8\)，等式成立。
若\(6x = 18\)，在等式兩邊同時除以 3（3 不為 0），得到\(\frac{6x}{3}=\frac{18}{3}\)，即\(2x = 6\)，等式成立。
特別注意：等式兩邊同時除以一個數時，這個數不能為 0。因為 0 不能作為除數，否則無意義。例如，若\(3 = 3\)，若兩邊同時除以 0，式子就變得無意義了，所以這種情況不允許出現。
生活實例：天平兩邊平衡時，若將兩邊物體的質量同時擴大相同的倍數（或縮小到原來的幾分之一，且不為 0），天平仍然保持平衡，這體現了等式的基本性質 2。
等式基本性質的應用
利用性質變形等式
根據等式的基本性質，可以對等式進行各種合理變形，以滿足解決問題的需求。
例如，對等式\(3x - 5 = 7\)進行變形：
利用性質 1，兩邊同時加上 5，得到\(3x - 5 + 5 = 7 + 5\)，即\(3x = 12\)。
再利用性質 2，兩邊同時除以 3，得到\(\frac{3x}{3}=\frac{12}{3}\)，即\(x = 4\)。
利用性質解簡單方程
解方程的過程，其實就是利用等式的基本性質把方程逐步變形為\(x = a\)（\(a\)為常數）的形式。
例 1：解方程\(x - 6 = 10\)
根據等式基本性質 1，兩邊同時加上 6，得\(x - 6 + 6 = 10 + 6\)，即\(x = 16\)。
例 2：解方程\(5x = 35\)
根據等式基本性質 2，兩邊同時除以 5，得\(\frac{5x}{5}=\frac{35}{5}\)，即\(x = 7\)。
例 3：解方程\(2x + 3 = 11\)
第一步，根據等式基本性質 1，兩邊同時減去 3，得\(2x + 3 - 3 = 11 - 3\)，即\(2x = 8\)。
第二步，根據等式基本性質 2，兩邊同時除以 2，得\(\frac{2x}{2}=\frac{8}{2}\)，即\(x = 4\)。
等式基本性質的注意事項
運用性質 1 時，兩邊加上（或減去）的必須是同一個整式，否則等式可能不成立。例如，若\(a = b\)，左邊加 2，右邊加 3，得到\(a + 2\neq b + 3\)。
運用性質 2 時，要注意兩點：
兩邊乘（或除以）的是同一個整式。
除以的這個整式不能為 0，因為 0 做除數無意義。
等式變形時，要保持等式兩邊的平衡，每一步變形都要嚴格依據等式的基本性質，不能隨意進行操作。
等式基本性質與方程的聯系
等式的基本性質是解方程的理論依據。通過運用等式的基本性質，我們可以把方程中的未知數逐步分離出來，最終求出方程的解。例如，對于方程\(4x - 7 = 9\)，利用性質 1 兩邊加 7 得到\(4x = 16\)，再利用性質 2 兩邊除以 4 得到\(x = 4\)，整個過程都是以等式的基本性質為基礎的。
課堂練習
利用等式的基本性質填空：
若\(m = n\)，則\(m + 4 = n +\)（ ）。
若\(2x = 6y\)，則\(x = \)（ ）（根據性質 2，兩邊同時除以 2）。
若\(a - 5 = b - 5\)，則\(a = \)（ ）（根據性質 1，兩邊同時加上 5）。
利用等式的基本性質解下列方程：
\(x + 8 = 15\)
\(3x = 24\)
\(2x - 5 = 13\)
判斷下列變形是否正確，并說明理由：
由\(5x = 4x + 3\)，得\(5x - 4x = 3\)。
由\(7x = 8\)，得\(x = \frac{7}{8}\)。
總結
等式的基本性質 1：兩邊同時加上（或減去）同一個整式，結果仍是等式。
等式的基本性質 2：兩邊同時乘（或除以）同一個不為 0 的整式，結果仍是等式。
等式的基本性質是解方程的重要依據，運用時要注意相關事項，確保變形正確。
掌握等式的基本性質，能幫助我們更好地處理等式變形和解決方程問題，為后續學習更復雜的方程奠定基礎。
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課堂檢測
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新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
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新知講解
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典例講解
1.借助天平理解并掌握等式的基本性質。
2.能利用等式的基本性質進行等式的變形。
3.能利用等式的基本性質解方程，體會化歸思想。
內容 字母表示
等式的 性質1 等式的兩邊都加上（或都減去） 同一個數或式，所得結果仍是等 式。
等式的 性質2 等式的兩邊都乘或都除以同一個 數或式（除數不能為零），所得 結果仍是等式。
教材延伸
等式的其他性質
（1）等式的對稱性：如果，那么 。
（2）等式的傳遞性：如果，，那么 。
典例1 （易錯題）下列變形中，不正確的是( )
D
A.若,則 B.若,則
C.若，則 D.若，則
解析：
選項 變形形式 分析 結論
A 兩邊同時加3。 符合等式的性質1。 正確
B 符合等式的性質2。 正確
C 符合等式的性質2。 正確
D 不正確
知識過關
①等式的兩邊都 　加上　(或都 　減去　)同一個 　數或式　，
所得結果仍是等式.用字母可以表示為： 　如果a＝b，那么
a±c＝b±c　.
②等式的兩邊都 　乘　或都 　除以　同一個 　數或式(除數不
能為零)　，所得結果仍是等式.用字母可以表示為： 　如果
a＝b，那么ac＝bc或 ＝ (c≠0)　.
加上
減去
數或式
如果a＝b，那么
a±c＝b±c
乘
除以
數或式(除數不
能為零)
如果
a＝b，那么ac＝bc或 ＝ (c≠0)　
等式的基本性質
1. 根據等式的性質，下列各式變形不正確的是(　D　)
A. 若x＝y，則x＋3＝y＋3
B. 若－2x＝－2y，則x＝y
D
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2. [2024·金華期末]已知等式a＝b，則下列等式中不一定成
立的是(　B　)
A. a－c＝b－c
C. an＝bn D. a2＝b2
B
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3. [母題 教材P130作業題T3]如圖，在天平上放若干蘋果和
香蕉(每個蘋果的質量相同，每根香蕉的質量也相同)，其
中①②的天平保持平衡，現要使③中的天平也保持平衡，
需要在天平右盤中放入砝碼(　C　)
A. 350克 B. 300克
C. 250克 D. 200克
C
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4. 把方程 x＝1變形為x＝3，其依據是(　C　)
A. 分數的基本性質 B. 等式的基本性質1
C. 等式的基本性質2 D. 以上都不對
C
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5. 如果a＝b，那么 ＝ 成立時c應滿足的條件
是 .
c≠1　
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利用等式的基本性質解方程
6. 下列過程正確的是(　C　)
A. 從12－2x＝－6，得到12－6＝2x
B. 從－8x＋4＝－5x－2，得到8x＋5x＝－4－2
C. 從5x＋3＝4x＋2，得到5x－2＝4x－3
D. 從－3x－4＝2x－8，得到8－4＝2x－3x
C
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7. 在方程4x－3＝5的兩邊都 ，得到4x＝8，這是
根據 ；在方程－2x＝ 的兩邊都
，得到x＝－ ，這是根據 .
8. 若x＝2是關于x的方程2x＋3m－1＝0的解，則m的值
為 .
加上3　
等式的性質1　
除以
－2　
等式的性質2　
－1　
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(1) x＝－12；
(2)3－2x＝9；
【解】x＝－16；
【解】x＝－3；
9. 利用等式的性質解下列方程：
(3)4x＋8＝－14x；
(4)3－ x＝ .
【解】x＝－ ；
【解】x＝ .
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10. 根據等式的性質，下列變形正確的是(　A　)
B. 若ac＝bc，則a＝b
C. 若a2＝b2，則a＝b
A
[易錯題]忽視除式不為零而錯用等式的基本性質
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11. [2024·嘉興期末]已知m－n＝0，且m－a＝n＋b，則
a，b一定滿足的關系式是(　D　)
A. ab＝0 B. ab＝1
C. a－b＝0 D. a＋b＝0
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12. 若a，b，c，m都是有理數，并且a＋2b＋3c＝m，
a＋b＋2c＝m，則b與c(　C　)
A. 互為倒數 B. 互為負倒數
C. 互為相反數 D. 相等
C
13. 在等式4x－7＝3x＋5的兩邊同時減去一個多項式可以
得到等式x＝12，則這個多項式是 .
3x－7　
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14. [新趨勢·過程性學習]有一個愛思考的同學，有一天他對
媽媽說：“我發現2和5是可以一樣大的，我這里有一個
方程5x－2＝2x－2.方程兩邊同時加2，得5x－2＋2＝
2x－2＋2①，即5x＝2x.方程兩邊同時除以x，得5＝2
②.”你認為這個同學的說法正確嗎？如果正確，請說明
上述①②步的理由；如果不正確，請指出錯在哪里，并
加以改正.
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【解】不正確，解5x＝2x時不能給方程的兩邊同時除
以x，正確過程如下：
5x－2＝2x－2，
方程兩邊同時加2，得5x＝2x，
方程兩邊同時減去2x，得3x＝0，
方程兩邊同時除以3，得x＝0.
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15. 已知t＝ (a，b是常數，x≠－a)①.
(1)若a＝－2，b＝ ，求t；
【解】當a＝－2，b＝ 時，
t＝ ＝ ＝ ；
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(2)試將等式①變形成“Ax＝B”的形式，其中A，B表
示關于a，b，t的整式；
【解】將t＝ 兩邊都乘以(x＋a)，得
tx＋ta＝bx－1，
兩邊都減去(ta＋bx)，得tx－bx＝－1－ta，
兩邊都乘以－1，得bx－tx＝ta＋1，
即(b－t)x＝ta＋1.
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(3)若t的取值與x無關，請說明ab＝－1.
【解】因為t的取值與x無關，
所以b－t＝0，即b＝t，
ta＋1＝0，即ab＋1＝0，
所以ab＝－1.
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16. [新考法·閱讀類比法]閱讀下列材料：
問題：怎樣將0. 表示成分數的形式？
小明的探究過程如下：
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根據以上信息，回答下列問題：
(1)從步驟①到步驟②，變形的依據是 ，從
步驟⑤到步驟⑥，變形的依據是 .
等式的性質2　
等式的性質1　
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(2)仿照上述探究過程，請你將0. 表示成分數的形式.
【解】設x＝0. ，
兩邊同時乘以10，得10x＝10×0. ，
則10x＝3. ，即10x＝3＋0. ，
所以10x＝3＋x，
兩邊同時減去x，得9x＝3，
兩邊同時除以9，x＝ ，即0. ＝ .
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謝謝觀看！

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