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5.3 一元一次方程和它的解
第5章 一元一次方程
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
一元一次方程和它的解
課程目標
理解一元一次方程的定義和特征，能準確判斷一個方程是否為一元一次方程。
掌握一元一次方程的解的概念，能檢驗一個數是否為一元一次方程的解。
了解解一元一次方程的基本思路，為后續求解打下基礎。
一元一次方程的定義
只含有一個未知數（元），并且未知數的次數都是 1，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。
用字母表示為：\(ax + b = 0\)（其中\(a\)、\(b\)為常數，且\(a\neq0\)），這是一元一次方程的標準形式。
實例說明：
\(3x + 5 = 14\)：只含有一個未知數\(x\)，\(x\)的次數是 1，等號兩邊都是整式，是一元一次方程。
\(2y - 7 = 3y + 1\)：只含有一個未知數\(y\)，\(y\)的次數是 1，等號兩邊都是整式，是一元一次方程。
注意：以下方程不是一元一次方程：
\(x^2 + 2x = 5\)：未知數\(x\)的次數是 2，不是 1，所以不是。
\(2x + 3y = 7\)：含有兩個未知數\(x\)和\(y\)，所以不是。
\(\frac{1}{x} + 5 = 3\)：等號左邊含有分式\(\frac{1}{x}\)，不是整式，所以不是。
一元一次方程的特征
只含有一個未知數：方程中出現的未知數只有一個，如\(5x - 3 = 0\)中只有未知數\(x\)。
未知數的次數是 1：未知數的最高次數為 1，且系數不為 0，如\(4y + 2 = 0\)中\(y\)的次數是 1。
等號兩邊都是整式：方程的左右兩邊都必須是整式，不能含有分式或根號下的未知數等，如\(3x + 2 = \sqrt{x}\)不是一元一次方程，因為右邊含有根號下的未知數。
一元一次方程的解
使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值，叫做一元一次方程的解，也可以叫做一元一次方程的根。
實例說明：
對于方程\(2x + 3 = 7\)，當\(x = 2\)時，左邊\(=2\times2 + 3 = 7\)，右邊\(=7\)，左邊等于右邊，所以\(x = 2\)是該方程的解（根）。
對于方程\(5y - 10 = 0\)，當\(y = 2\)時，左邊\(=5\times2 - 10 = 0\)，右邊\(=0\)，所以\(y = 2\)是該方程的解。
檢驗一個數是否為一元一次方程的解
檢驗方法：將這個數代入方程的左右兩邊，分別計算出兩邊的結果，如果兩邊結果相等，那么這個數就是方程的解；如果不相等，就不是方程的解。
例 1：檢驗\(x = 3\)是不是方程\(4x - 5 = 7\)的解。
把\(x = 3\)代入左邊：\(4\times3 - 5 = 12 - 5 = 7\)。
右邊\(=7\)。
因為左邊\(=\)右邊，所以\(x = 3\)是該方程的解。
例 2：檢驗\(y = -1\)是不是方程\(3y + 4 = 1\)的解。
把\(y = -1\)代入左邊：\(3\times(-1) + 4 = -3 + 4 = 1\)。
右邊\(=1\)。
因為左邊\(=\)右邊，所以\(y = -1\)是該方程的解。
例 3：檢驗\(x = 5\)是不是方程\(2x - 6 = 5\)的解。
把\(x = 5\)代入左邊：\(2\times5 - 6 = 10 - 6 = 4\)。
右邊\(=5\)。
因為左邊\(\neq\)右邊，所以\(x = 5\)不是該方程的解。
解一元一次方程的基本思路
解一元一次方程的基本思路是通過一系列變形，把方程轉化為\(x = a\)（\(a\)為常數）的形式。這些變形主要依據等式的基本性質，具體包括：
去分母（針對含有分母的方程）。
去括號。
移項：把含有未知數的項移到等號左邊，常數項移到等號右邊（移項要變號）。
合并同類項：把方程化為\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
系數化為 1：在方程兩邊同時除以未知數的系數\(a\)，得到方程的解\(x = \frac{b}{a}\)。
簡單示例：解方程\(3x + 2 = 8\)
移項：\(3x = 8 - 2\)（依據等式基本性質 1，兩邊同時減去 2）。
合并同類項：\(3x = 6\)。
系數化為 1：\(x = 2\)（依據等式基本性質 2，兩邊同時除以 3）。
一元一次方程的應用場景
一元一次方程在實際生活中應用廣泛，能解決多種類型的問題：
購物問題：如 “某商品原價\(x\)元，打八折后售價為 40 元，求原價”，可列方程\(0.8x = 40\)。
工程問題：如 “一項工程，甲單獨做需要\(x\)天完成，每天完成工程的\(\frac{1}{x}\)，甲做 3 天后完成了工程的\(\frac{1}{4}\)”，可列方程\(3\times\frac{1}{x} = \frac{1}{4}\)。
比例問題：如 “某班男生人數是女生人數的 1.2 倍，男生比女生多 5 人，設女生人數為\(x\)”，可列方程\(1.2x - x = 5\)。
課堂練習
判斷下列方程是否為一元一次方程：
\(5x + 7 = 2x - 1\)
\(x^2 - 3x = 1\)
\(\frac{1}{2}y + 3 = 0\)
\(3x + 2y = 5\)
檢驗下列各數是不是相應方程的解：
\(x = 4\)是不是方程\(3x - 5 = 7\)的解。
\(y = 3\)是不是方程\(2y + 1 = 8\)的解。
根據下列問題列出一元一次方程：
一個數的 3 倍與 5 的和是 14，設這個數為\(x\)。
小明今年\(x\)歲，爸爸今年 36 歲，爸爸的年齡是小明的 4 倍。
總結
一元一次方程的定義：只含一個未知數，未知數次數為 1，等號兩邊是整式的方程，標準形式為\(ax + b = 0\)（\(a\neq0\)）。
一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，檢驗時需代入計算兩邊結果是否相等。
解一元一次方程的基本思路是通過變形化為\(x = a\)的形式，依據是等式的基本性質。
一元一次方程在實際生活中應用廣泛，是解決數量關系問題的重要工具。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.通過觀察、思考歸納出一元一次方程的概念，發展抽象能力。
2.理解一元一次方程的解的概念，能判斷一個數是不是一元一次
方程的解。
3.會利用等式的性質解簡單的一元一次方程。
1.一元一次方程：只含有一個未知數，未知數的次數都是一次，且
兩邊都是整式，
①未知數不出現在分母上，如 等不是整式；②未知數不出現在根
號內，如 等不是整式
這樣的方程叫作一元一次方程。
2.一元一次方程必備的三個要素：①只含有一個未知數；②未知數
的次數都是一次；③兩邊都是整式。三者缺一不可。
典例1 已知下列方程：；； ；
；； 。其中，是一元一次方程
的有________。（填序號）
②③⑤
解析：
序號 一元一次方程成立的條件 是否為一
元一次方
程
等號兩邊都 是整式 只含有一個未 知數 未知數的次數 都是1 ① 否
② √ √ √ 是
序號 一元一次方程成立的條件 是否為一
元一次方
程
等號兩邊都 是整式 只含有一個未 知數 未知數的次數 都是1 ③ √ √ √ 是
④ √ √ 否
⑤ √ √ √ 是
⑥ √ 否
1.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數的值
叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。
含有一個未知數的方程的解也可以稱為方程的根
2.解方程：求方程的解的過程稱為解方程。
方程的解與解方程的區別與聯系
方程的解 解方程
區別 是一個具體的數。 求方程的解的過程。
聯系 方程的解是通過解方程求得的。 典例2 判斷下列的值是不是方程 的解。
（1） ;
解：（1）當時，左邊，右邊
，左邊右邊，所以不是方程 的解。
（2） 。
（2）當時，左邊，右邊 ，
左邊右邊，所以是方程 的解。
等式的性質是方程變形的依據，利用等式的性質將一元一次方程
一步一步變形，最后變形成“（ 為已知數）”的形式，就求出
了一元一次方程的解。
（1） ；
解：（1）方程的兩邊都減去，得 。
合并同類項，得 。
兩邊都除以，得 。
典例3 利用等式的性質求下列方程的解。
（2） 。
（2）方程的兩邊都加上 ，得
。
合并同類項，得 。
兩邊都加上，得 。
兩邊都除以，得 。
（1） ；
典例3 利用等式的性質求下列方程的解。
（2） 。
知識過關
①只含有 　一　個未知數，未知數的次數都是 　一次　，且兩
邊都是 　整式　，這樣的方程叫作一元一次方程.
②能使一元一次方程兩邊相等的 　未知數的值　叫作一元一次
方程的解，也叫作方程的根.
一
一次
整式
未知數的值
一元一次方程的定義
1. [2024·寧波鎮海區期末]下列四個方程中，屬于一元一次方
程的是(　D　)
A. 2x2－1＝0 B. x－y＝12
D. 6x＝0
D
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2. 若2xa－2－3＝0是關于x的一元一次方程，則a的值
為 .
3　
1
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4
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6
7
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9
10
一元一次方程的解
3. 下列方程中，解為x＝3的是(　B　)
A. －2x＋5＝1
B
1
2
3
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5
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4. 若x＝2是關于x的一元一次方程2x＋3m－1＝0的解，
則m的值等于 .
－1　
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)x＝2；　(2)x＝3.
【解】(1)將x＝2代入，左邊＝8，右邊＝11，左邊≠右
邊，故x＝2不是方程5x－2＝7＋2x的解；
(2)將x＝3代入，左邊＝13，右邊＝13，左邊＝右邊，
故x＝3是方程5x－2＝7＋2x的解.
5. 檢驗下列各數是不是方程5x－2＝7＋2x的解，并寫出檢
驗過程.
1
2
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10
解一元一次方程
6. [2024·杭州期末]若代數式3x－1的值為5，則x等于
(　A　)
A. 2 B. －2
C. 3 D. －3
A
1
2
3
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10
7. 利用等式的性質，解下列一元一次方程：
(1)x－6＝2x－1；　 (2)x－3＝3x＋5.
【解】x＝－5；　　　　　
8. 觀察下列按一定規律排列的n個數：1，3，5，7，
9，…，2n－1，若最后三個數之和是99，要求這列數中
最大的數，可列關于n的方程為
，這列數中最大的數為 .
9. 已知方程(m－1)x｜m｜＋3＝0是關于x的一元一次方程.
(1)m的值為 ；
2n－5＋2n－3＋2n－
1＝99　
35　
－1　
【解】x＝－4.
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(2)判斷x＝ ，x＝ 是不是方程的解.
【解】原方程為－2x＋3＝0，
當x＝ 時，左邊＝－2× ＋3＝ ，左邊≠右邊，故x
＝ 不是方程的解；
當x＝ 時，左邊＝－2× ＋3＝0＝右邊，故x＝ 是
方程的解.
1
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10. [新視角·新定義題]我們定義：如果兩個一元一次方程的
解相加之和為1，我們就稱這兩個方程為“和一方程”.
如：方程2x＝4和x＋1＝0為“和一方程”.
(1)已知關于x的方程ax＋b＝0(a≠0)的解是最小的正
整數，這個方程和以下的 是“和一方
程”；(填序號)
③　
①2x＋2＝4；②3x＝2x－1；③1－ x＝2x＋1
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(2)若關于x的方程 x－ ＝2與方程4x＋2＝x－10是
“和一方程”，則m的值為 ；
± 　
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(3)若關于x的一元一次方程 x＋3＝2x＋k和 x
＋1＝0是“和一方程”，則關于y的一元一次方程
(y＋1)＋3＝2y＋k＋2的解為 .
y＝2 024　
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謝謝觀看！

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