資源簡介

(共37張PPT)
5.4 一元一次方程的解法
第5章 一元一次方程
【2025-2026學(xué)年】浙教版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
一元一次方程的解法
課程目標(biāo)
熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1。
能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用解題步驟，準(zhǔn)確求出一元一次方程的解。
理解每一步變形的依據(jù)，明確解方程過程中的注意事項(xiàng)。
能運(yùn)用一元一次方程的解法解決簡單的實(shí)際問題。
解一元一次方程的一般步驟
解一元一次方程的過程就是通過一系列變形，將方程轉(zhuǎn)化為\(x = a\)（\(a\)為常數(shù)）的形式。具體步驟如下：
1. 去分母
適用情況：方程中含有分母。
方法：在方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數(shù)，消除分母。
依據(jù)：等式的基本性質(zhì) 2（兩邊同時乘同一個不為 0 的數(shù)，等式仍成立）。
注意事項(xiàng)：
不要漏乘不含分母的項(xiàng)。
分子是多項(xiàng)式時，去分母后要給分子加上括號。
示例：解方程\(\frac{x - 1}{2} + 1 = \frac{2x + 1}{3}\)
各分母 2 和 3 的最小公倍數(shù)是 6，兩邊同時乘 6：\(
6\times\frac{x - 1}{2} + 6\times1 = 6\times\frac{2x + 1}{3}
\)
化簡得：\(3(x - 1) + 6 = 2(2x + 1)\)
2. 去括號
適用情況：方程中含有括號。
方法：根據(jù)乘法分配律（\(a(b + c)=ab + ac\)）去括號，先去小括號，再去中括號，最后去大括號。
依據(jù)：乘法分配律和去括號法則。
注意事項(xiàng)：
括號前是 “\(+\)” 號，去括號后括號內(nèi)各項(xiàng)符號不變。
括號前是 “\(-\)” 號，去括號后括號內(nèi)各項(xiàng)符號都要改變。
不要漏乘括號內(nèi)的每一項(xiàng)。
示例：接上面的方程\(3(x - 1) + 6 = 2(2x + 1)\)
去括號：\(3x - 3 + 6 = 4x + 2\)
3. 移項(xiàng)
適用情況：需要將含有未知數(shù)的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別放在等號兩邊。
方法：把方程中的某一項(xiàng)從等號一邊移到另一邊，同時改變該項(xiàng)的符號。
依據(jù)：等式的基本性質(zhì) 1（兩邊同時加或減同一個數(shù)，等式仍成立）。
注意事項(xiàng)：
移項(xiàng)必須變號，不移項(xiàng)的項(xiàng)符號不變。
通常把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊。
示例：接上面的方程\(3x - 3 + 6 = 4x + 2\)
移項(xiàng)：\(3x - 4x = 2 + 3 - 6\)
4. 合并同類項(xiàng)
適用情況：方程中有同類項(xiàng)。
方法：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變，將方程化為\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
依據(jù)：合并同類項(xiàng)法則。
注意事項(xiàng)：
合并同類項(xiàng)時要注意系數(shù)的符號。
確保合并后不再有同類項(xiàng)。
示例：接上面的方程\(3x - 4x = 2 + 3 - 6\)
合并同類項(xiàng)：\(-x = -1\)
5. 系數(shù)化為 1
適用情況：方程已化為\(ax = b\)（\(a\neq0\)）的形式。
方法：在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)\(a\)，得到\(x = \frac{b}{a}\)。
依據(jù)：等式的基本性質(zhì) 2（兩邊同時除以同一個不為 0 的數(shù)，等式仍成立）。
注意事項(xiàng)：
系數(shù)為負(fù)數(shù)時，除以系數(shù)后要注意符號的變化。
確保結(jié)果是最簡形式。
示例：接上面的方程\(-x = -1\)
系數(shù)化為 1：兩邊同時除以\(-1\)，得\(x = 1\)
典型例題解析
例 1：解方程\(4x - 3(5 - x) = 6\)
去括號：\(4x - 15 + 3x = 6\)（括號前是 “\(-\)” 號，去括號后各項(xiàng)變號）
移項(xiàng)：\(4x + 3x = 6 + 15\)
合并同類項(xiàng)：\(7x = 21\)
系數(shù)化為 1：\(x = 3\)
例 2：解方程\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 1}{6} = 1\)
去分母：兩邊同時乘 6，得\(2(2x - 1) - (x + 1) = 6\)（注意分子是多項(xiàng)式加括號，漏乘不含分母的項(xiàng) 1）
去括號：\(4x - 2 - x - 1 = 6\)（括號前是 “\(-\)” 號，去括號后各項(xiàng)變號）
移項(xiàng)：\(4x - x = 6 + 2 + 1\)
合并同類項(xiàng)：\(3x = 9\)
系數(shù)化為 1：\(x = 3\)
例 3：解方程\(3(x + 2) - 2(2x - 3) = 12\)
去括號：\(3x + 6 - 4x + 6 = 12\)
移項(xiàng)：\(3x - 4x = 12 - 6 - 6\)
合并同類項(xiàng)：\(-x = 0\)
系數(shù)化為 1：\(x = 0\)
解方程的技巧與注意事項(xiàng)
靈活選擇步驟：不是所有方程都需要經(jīng)過五個步驟，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活取舍。例如，方程\(5x - 8 = 2x + 1\)沒有分母和括號，可直接移項(xiàng)。
去分母的細(xì)節(jié)：
確定各分母的最小公倍數(shù)時要準(zhǔn)確。
分子是多項(xiàng)式時，一定要加括號，避免符號錯誤。
去括號的順序：一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號，每一步都要嚴(yán)格遵循去括號法則。
移項(xiàng)與項(xiàng)的區(qū)別：移項(xiàng)是指改變位置并變號，而在等號同一側(cè)交換項(xiàng)的位置不需要變號。
檢驗(yàn)解的正確性：解完方程后，可將解代入原方程檢驗(yàn)，看左右兩邊是否相等，確保結(jié)果正確。
實(shí)際應(yīng)用舉例
問題：某商店將進(jìn)價為 100 元的商品按標(biāo)價的 8 折銷售，仍可獲利 20 元，求該商品的標(biāo)價。
設(shè)該商品的標(biāo)價為\(x\)元。
根據(jù)題意列方程：\(0.8x - 100 = 20\)
解方程：
移項(xiàng)：\(0.8x = 20 + 100\)
合并同類項(xiàng)：\(0.8x = 120\)
系數(shù)化為 1：\(x = 150\)
答：該商品的標(biāo)價為 150 元。
課堂練習(xí)
解下列方程：
\(5(x - 1) = 1\)
\(\frac{2x + 1}{3} = x - 1\)
\(2(x - 2) - 3(4x - 1) = 9(1 - x)\)
當(dāng)\(x\)為何值時，代數(shù)式\(2x - 1\)的值等于代數(shù)式\(x + 3\)的值？
某數(shù)的 3 倍減去 5 等于這個數(shù)的 2 倍加上 1，求這個數(shù)。
總結(jié)
解一元一次方程的一般步驟為去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為 1，每一步都有其依據(jù)和注意事項(xiàng)。
解方程時要根據(jù)方程的具體特點(diǎn)靈活運(yùn)用步驟，避免機(jī)械套用。
解完方程后可通過代入檢驗(yàn)確保結(jié)果正確，一元一次方程的解法是解決實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)。
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課堂檢測
4
新知講解
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變式訓(xùn)練
7
中考考法
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小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1.會將方程中的項(xiàng)從方程的一邊移到另一邊。
2.會利用移項(xiàng)、去括號、去分母等解一元一次方程。
3.掌握解一元一次方程的基本程序，逐步提高運(yùn)算能力，體會
化歸思想。
移項(xiàng)：一般地，把方程中的項(xiàng)改變符號后，從方程的一邊移到另一
邊，這種變形叫作移項(xiàng)。移項(xiàng)時，通常把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號
的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊。
移項(xiàng)與加法交換律的區(qū)別
移項(xiàng)是把某些項(xiàng)從方程的一邊移到另一邊，移動的項(xiàng)要變號；而加
法交換律中加數(shù)交換位置只是改變排列的順序，不改變符號。
移項(xiàng)的依據(jù)是等式的性質(zhì)1，移項(xiàng)的目的是將含有未知數(shù)
的項(xiàng)移到方程的左邊，將常數(shù)項(xiàng)（不含未知數(shù)的項(xiàng)）移到方程的右
邊，將方程化成 的形式。
典例1 解方程: 。
解：移項(xiàng)，得。（將含 的項(xiàng)移到方程的一邊，常
數(shù)項(xiàng)移到方程的另一邊）
合并同類項(xiàng)，得。將方程化為的形式
兩邊同除以2，得。將方程化為的形式
當(dāng)方程中的一邊或兩邊有括號時，我們往往先去掉括號，再進(jìn)行
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形求解。
知識點(diǎn)2 去括號解一元一次方程 重點(diǎn)
典例2 解方程： 。
解：去括號，得 。
移項(xiàng)，得 。
合并同類項(xiàng)，得 。
兩邊同除以，得 。
知識點(diǎn)2 去括號解一元一次方程 重點(diǎn)
括號前是“-”,去括號
時括號里的各項(xiàng)都要變號
去分母的步驟：
（1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)（每項(xiàng)都乘）；（2）由于分
數(shù)線具有括號的作用，因此若分子是多項(xiàng)式，則去分母后，要將分
子作為一個整體加上括號。
典例3 解方程： 。
解一元一次方程的基本程序如下表：
變形名稱 變形依據(jù) 具體做法 易錯點(diǎn)
去分母 等式的性 質(zhì)2 在方程兩邊同 時乘各分母的 最小公倍數(shù)。 （1）不要漏乘不含分母
的項(xiàng)；（2）分子是多項(xiàng)
式時，去分母后應(yīng)將分
子作為一個整體加上括
號。
變形名稱 變形依據(jù) 具體做法 易錯點(diǎn)
去括號 分配律、去 括號法則 先去小括號，再 去中括號，最后 去大括號 （也可以先去大 括號，再去中括 號，最后去小括 號）。 （1）不要漏乘括號
里的任何一項(xiàng)；
（2）若括號前是負(fù)
號，則去括號后，括
號內(nèi)各項(xiàng)都要變號。
變形名稱 變形依據(jù) 具體做法 易錯點(diǎn)
移項(xiàng) 等式的性 質(zhì)1 把含有未知數(shù)的項(xiàng) 移到方程的一邊， 常數(shù)項(xiàng)移到方程的 另一邊。 移項(xiàng)要改變項(xiàng)的符
號。
合并同類項(xiàng) 合并同類 項(xiàng)法則 系數(shù)相加，字母及
其指數(shù)均不變。
變形名稱 變形依據(jù) 具體做法 易錯點(diǎn)
兩邊同除以未 知數(shù)的系數(shù) 等式的性 質(zhì)2 （1）切忌分
子、分母位置
顛倒；（2）不
要忘記未知數(shù)
系數(shù)的符號。
典例4 解方程： 。
解：將原方程化為 。
去分母，得 。
去括號，得 12。
易錯：去分母時，不可漏乘不含分母的項(xiàng)
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 ，
解得 。
知識過關(guān)
解一元一次方程的基本步驟是：
①去分母，依據(jù)是 　等式的性質(zhì)2　；
②去括號，依據(jù)是 　去括號法則　；
③移項(xiàng)，依據(jù)是 　等式的性質(zhì)1　；
④合并同類項(xiàng)，依據(jù)是 　合并同類項(xiàng)法則　；
⑤兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，依據(jù)是 　等式的性質(zhì)2　.
等式的性質(zhì)2
去括號法則
等式的性質(zhì)1
合并同類項(xiàng)法則
等式的性質(zhì)2
解分母是整數(shù)的一元一次方程
1. 在解方程 － ＝2時，去分母正確的是(　D　)
A. 3(x－1)－2(2x＋1)＝2
B. 3x－1－2(2x＋1)＝12
C. 3(x－1)－4x＋1＝12
D. 3(x－1)－2(2x＋1)＝12
D
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2. 如果4x－1的值的一半比3x－2的值大1，那么x的值
是 .
3. [2024·金華月考]解方程： － ＝1.
【解】去分母，得2y－3(y－1)＝6.
去括號，得2y－3y＋3＝6.
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－y＝3.
系數(shù)化為1，得y＝－3.
　
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4. [新考法·過程性學(xué)習(xí)]以下是圓圓解方程 － ＝1的解
答過程.
解：去分母，得2(x＋1)－3(x－3)＝1.
去括號，得2x＋2－3x－9＝1.
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－x＝8.
系數(shù)化為1，得x＝－8.
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圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解
答過程.
【解】圓圓的解答過程有錯誤，正確的解答過程如下：
去分母，得2(x＋1)－3(x－3)＝6，
去括號，得2x＋2－3x＋9＝6，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得－x＝－5，
系數(shù)化為1，得x＝5.
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解分母中含有小數(shù)的一元一次方程
5. [母題 教材P140例4]將方程 ＝1＋ 中的分母化為
整數(shù)，正確的是(　C　)
C
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6. [2024·紹興上虞區(qū)期中]解方程：
(1) － ＝3；　
【解】方程可化為 － ＝3，
即5(x－3)－2(x＋2)＝3，
去括號，得5x－15－2x－4＝3，
移項(xiàng)，得5x－2x＝3＋15＋4，
合并同類項(xiàng)，得3x＝22，系數(shù)化為1，得x＝ .
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方程可化為x－ ＝ ，
去分母，得3x－(x－20)＝10＋15x，
去括號，得3x－x＋20＝10＋15x，
移項(xiàng)，得3x－x－15x＝10－20，
合并同類項(xiàng)，得－13x＝－10，
系數(shù)化為1，得x＝ .
(2)x－ ＝ .
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[易錯題]去分母時漏乘常數(shù)項(xiàng)
7. 下列方程中，去分母正確的是(　D　)
D
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8. 解方程 ＝7，下列變形較簡便的是(　C　)
A. 方程兩邊都乘20，得4(5x－120)＝140
C. 去括號，得x－24＝7
C
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9. [2024·石家莊期末]若單項(xiàng)式－ amb3與2a2bn的和仍是單
項(xiàng)式，則關(guān)于x的方程 － ＝1的解為(　C　)
A. x＝－2 B. x＝2
C. x＝－7 D. x＝7
C
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10. [新考法·將錯就錯法]小軍同學(xué)在解關(guān)于x的方程 ＝
－1去分母時，方程右邊的－1沒有乘2，因而求出
的解為x＝3，則方程的正確解為 .
x＝2　
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【解】方法一：去分母，得3(12x－1)－2(18x＋1)＝4x，
去括號，得36x－3－36x－2＝4x，
移項(xiàng)，得36x－36x－4x＝3＋2，
合并同類項(xiàng)，得－4x＝5，
系數(shù)化為1，得x＝－ ；
11. 用不同方法解方程 － ＝ ，你認(rèn)為哪一種方
法更簡便？
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方法二：原方程化為3x－ － ＝ ，
－ － ＝ ， ＝－ ，
方程兩邊都乘3，得x＝－ .
方法二更簡便.
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12. [新考向·新定義問題][2024·麗水期末]給出定義如下：
若有理數(shù)a，b滿足等式a＋b＝ab－1，則我們稱a，
b為一對“伴生有理數(shù)”，記為(a，b).例如：2＋3＝
2×3－1，則稱2，3是一對“伴生有理數(shù)”，記為(2，3).
(1)分別判斷 ，－3和7， 是不是“伴生有理數(shù)”，請
說明理由；
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【解】因?yàn)?－3＝－ ， ×(－3)－1＝－ ，
所以 －3＝ ×(－3)－1，
所以 ，－3是“伴生有理數(shù)”.
因?yàn)?＋ ＝ ，7× －1＝ ，
所以7＋ ≠7× －1，
所以7， 不是“伴生有理數(shù)”.
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(2)若(4，m)為“伴生有理數(shù)”，求m的值.
【解】由題意得4＋m＝4m－1，解得m＝ .
故m的值為 .
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13. [2024·杭州期末]已知關(guān)于x的一元一次方程 －
＝2，其中a，b，k為常數(shù).
(1)當(dāng)k＝3，a＝－1，b＝1時，求該方程的解；
【解】當(dāng)k＝3，a＝－1，b＝1時，原方程為 －
＝2.
所以3x－1－2x＋6＝12.所以x＝7.
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(2)當(dāng)k＝2時，若原方程有無數(shù)多個解，求此時a＋4b
的值；
【解】當(dāng)k＝2時，原方程為 － ＝2.
所以2x＋a－2x＋4b＝12.
所以0·x＝12－a－4b.
因?yàn)榉匠逃袩o數(shù)多個解，所以12－a－4b＝0.
所以a＋4b＝12.
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(3)若無論k為何值時，該方程的解總是x＝－3，求ab
的值.
【解】該方程可化為kx＋a－2x＋2bk＝12，
把x＝－3代入方程，得－3k＋a＋6＋2bk＝12.
所以(2b－3)k＝6－a.
因?yàn)闊o論k為何值，等式恒成立，
所以2b－3＝0，6－a＝0.
所以a＝6，b＝ .所以ab＝6× ＝9.
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