資源簡介

(共34張PPT)
5.5 一元一次方程的應用
第5章 一元一次方程
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
一元一次方程的應用
課程目標
掌握列一元一次方程解決實際問題的一般步驟。
能分析不同類型實際問題中的數量關系，準確列出方程并求解。
體會一元一次方程在解決實際問題中的作用，提高運用數學知識解決問題的能力。
列一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列一元一次方程解決實際問題的關鍵是找到等量關系，具體步驟如下：
審：認真審題，理解題意，明確問題中的已知量、未知量以及它們之間的數量關系。
設：設未知數，一般有直接設元法（直接設問題中所求的量為未知數）和間接設元法（當直接設元有困難時，設與所求量相關的其他量為未知數）。
找：找出問題中的等量關系，這是列方程的核心。等量關系通常可以從題目中的關鍵詞句（如 “等于”“比…… 多”“比…… 少”“是…… 的幾倍” 等）或基本公式中找到。
列：根據找到的等量關系，列出一元一次方程。
解：解所列的方程，求出未知數的值。
驗：檢驗所求的解是否符合實際意義，即檢驗解是否滿足方程且符合問題的實際情況。
答：寫出答案，回答問題。
常見類型及實例解析
1. 行程問題
行程問題的基本公式：路程 = 速度 × 時間（\(s=vt\)），常見的有相遇問題和追及問題。
相遇問題：總路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程。
例：甲、乙兩人分別從相距 300 千米的 A、B 兩地同時出發，相向而行，甲的速度是 60 千米 / 小時，乙的速度是 40 千米 / 小時，經過幾小時兩人相遇？
審：已知兩地距離 300 千米，甲、乙速度分別為 60 千米 / 小時和 40 千米 / 小時，求相遇時間。
設：設經過\(x\)小時兩人相遇。
找：等量關系為甲走的路程 + 乙走的路程 = 總路程。
列：\(60x + 40x = 300\)。
解：合并同類項得\(100x = 300\)，系數化為 1 得\(x = 3\)。
驗：\(x = 3\)時，甲走的路程為\(60 3 = 180\)千米，乙走的路程為\(40 3 = 120\)千米，總路程\(180 + 120 = 300\)千米，符合題意。
答：經過 3 小時兩人相遇。
追及問題：快者走的路程 = 慢者走的路程 + 兩者初始距離。
例：小明以 5 千米 / 小時的速度步行，他出發 2 小時后，爸爸騎自行車以 15 千米 / 小時的速度追他，爸爸經過幾小時能追上小明？
設：設爸爸經過\(x\)小時能追上小明。
找：等量關系為爸爸走的路程 = 小明走的路程 + 小明提前走的路程。
列：\(15x = 5x + 5 2\)。
解：移項得\(15x - 5x = 10\)，合并同類項得\(10x = 10\)，系數化為 1 得\(x = 1\)。
驗：\(x = 1\)時，爸爸走的路程為\(15 1 = 15\)千米，小明走的總路程為\(5 (2 + 1)=15\)千米，符合題意。
答：爸爸經過 1 小時能追上小明。
2. 工程問題
工程問題的基本公式：工作量 = 工作效率 × 工作時間，通常把總工作量看作單位 “1”。
例：一項工程，甲單獨做需要 10 天完成，乙單獨做需要 15 天完成，兩人合作需要幾天完成？
審：已知甲、乙單獨完成工程的時間，求兩人合作完成的時間。
設：設兩人合作需要\(x\)天完成。
找：等量關系為甲的工作量 + 乙的工作量 = 總工作量（單位 “1”）。甲的工作效率為\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率為\(\frac{1}{15}\)。
列：\(\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 1\)。
解：去分母（兩邊同時乘 30）得\(3x + 2x = 30\)，合并同類項得\(5x = 30\)，系數化為 1 得\(x = 6\)。
驗：\(x = 6\)時，甲的工作量為\(\frac{1}{10} 6=\frac{3}{5}\)，乙的工作量為\(\frac{1}{15} 6=\frac{2}{5}\)，總工作量\(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1\)，符合題意。
答：兩人合作需要 6 天完成。
3. 利潤問題
利潤問題的常見公式：
利潤 = 售價 - 進價；
利潤率 =\(\frac{ }{è ·} 100\%\)；
售價 = 進價 ×（1 + 利潤率）。
例：某商店將進價為 80 元的商品按標價的九折銷售，仍可獲利 20 元，求該商品的標價。
設：設該商品的標價為\(x\)元。
找：等量關系為售價 - 進價 = 利潤。售價為標價的九折，即\(0.9x\)。
列：\(0.9x - 80 = 20\)。
解：移項得\(0.9x = 20 + 80\)，合并同類項得\(0.9x = 100\)，系數化為 1 得\(x=\frac{1000}{9}\approx111.11\)。
驗：標價約為 111.11 元，九折后售價為\(0.9 111.11\approx100\)元，利潤為\(100 - 80 = 20\)元，符合題意。
答：該商品的標價約為 111.11 元。
4. 數字問題
數字問題要注意數的表示方法，如一個兩位數，十位上的數字為\(a\)，個位上的數字為\(b\)，則這個兩位數可表示為\(10a + b\)。
例：一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大 3，且這個兩位數比它的兩個數字之和的 4 倍大 3，求這個兩位數。
設：設個位上的數字為\(x\)，則十位上的數字為\(x + 3\)，這個兩位數可表示為\(10(x + 3)+x\)。
找：等量關系為兩位數 = 4×（兩個數字之和）+3。
列：\(10(x + 3)+x = 4[(x + 3)+x]+3\)。
解：去括號得\(10x + 30 + x = 4(2x + 3)+3\)，即\(11x + 30 = 8x + 12 + 3\)；移項得\(11x - 8x = 15 - 30\)；合并同類項得\(3x=-15\)；系數化為 1 得\(x=-5\)（不符合實際，舍去）。
重新分析：可能設錯未知數，設十位上的數字為\(x\)，則個位上的數字為\(x - 3\)，兩位數為\(10x+(x - 3)=11x - 3\)。
列：\(11x - 3 = 4[x+(x - 3)]+3\)。
解：去括號得\(11x - 3 = 4(2x - 3)+3\)，即\(11x - 3 = 8x - 12 + 3\)；移項得\(11x - 8x=-9 + 3\)；合并同類項得\(3x=-6\)；\(x=-2\)（仍不符合，說明題目數據可能有誤，此處僅展示方法）。
5. 調配問題
調配問題要明確調配前后各量的變化情況，找到調配后的等量關系。
例：某車間有甲、乙兩個生產小組，甲組有 28 人，乙組有 20 人，現從甲組調多少人到乙組，使兩組人數相等？
設：設從甲組調\(x\)人到乙組。
找：等量關系為調配后甲組人數 = 調配后乙組人數。調配后甲組人數為\(28 - x\)，乙組人數為\(20 + x\)。
列：\(28 - x = 20 + x\)。
解：移項得\(-x - x = 20 - 28\)，合并同類項得\(-2x=-8\)，系數化為 1 得\(x = 4\)。
驗：調 4 人后，甲組有\(28 - 4 = 24\)人，乙組有\(20 + 4 = 24\)人，兩組人數相等，符合題意。
答：從甲組調 4 人到乙組，使兩組人數相等。
列方程解應用題的注意事項
審題要仔細：確保理解題意，不要遺漏關鍵信息，明確已知量和未知量。
設未知數要合理：根據問題特點選擇直接設元或間接設元，設元時要帶單位。
等量關系要準確：這是列方程的核心，可借助線段圖、表格等輔助手段分析數量關系。
列方程要規范：方程兩邊的單位要統一，代數式的書寫要符合規范。
求解過程要正確：嚴格按照一元一次方程的解法步驟求解，避免計算錯誤。
檢驗要全面：不僅要檢驗解是否滿足方程，還要檢驗是否符合實際意義，對于不符合實際的解要舍去。
課堂練習
甲、乙兩地相距 480 千米，一列慢車從甲地開出，每小時行 60 千米，一列快車從乙地開出，每小時行 80 千米。兩車同時開出，相向而行，經過幾小時相遇？
一件商品的進價為 200 元，按標價的八折銷售時，利潤率為 10%，求該商品的標價。
某工廠有工人 85 人，平均每人每天可加工大齒輪 16 個或小齒輪 10 個，2 個大齒輪和 3 個小齒輪配成一套，問如何安排工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的齒輪剛好配套？
總結
列一元一次方程解決實際問題的步驟為審、設、找、列、解、驗、答，其中找到等量關系是關鍵。
常見的實際問題類型有行程問題、工程問題、利潤問題、數字問題、調配問題等，每種類型都有其特定的數量關系和解題思路。
解決實際問題時要注意檢驗解的合理性，確保答案符合實際情況，提高運用數學知識解決實際問題的能力。
5
課堂檢測
4
新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
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典例講解
1.掌握列方程解應用題的一般過程,并能熟練地利用相等關系列
方程，解決實際問題，建立模型觀念。
2.會列方程解決工程問題、等積變形問題、行程問題、銷售問
題等。
3.能列表或畫示意圖分析題中的數量關系，發展幾何直觀。
（1）審題：分析題意，找出題中的數量及其關系。
（2）設元：選擇一個適當的未知數用字母表示。
（3）列方程：根據相等關系列出方程。
（4）解方程：求出未知數的值。
（5）檢驗：檢查求得的值是否正確和符合實際情形，并作答。
（1）設未知數時，如果有單位，要加上單位；（2）列方
程時，等號兩邊量的單位要一致。
敲黑板
設未知數的常見方法
（1）一般情況下，題中問什么就設什么，即設直接未知數。
（2）特殊情況下，設直接未知數難以列出方程時，可設另
一個相關的量為未知數，即設間接未知數。
（3）在某些問題中，為了便于列方程，可以設輔助未知數，
設的輔助未知數一般在求解過程中會消掉，設而不求。
典例1 (廣州中考)粵港澳大灣區自動駕駛產業聯盟積極推進自動駕駛出租車應用
落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標。某公交集團擬在今明兩年共投資
9 000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場。今年每輛無人駕駛出租車的改
裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降 。
（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是多少萬元；
（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛。
設明年改裝的無人駕駛出租車是 輛。
今年 明年 合計
改裝出租車數量/輛 260
改裝費用/萬元 9 000
（2）設明年改裝的無人駕駛出租車是 輛，則今年改裝的無人駕
駛出租車是 輛。
由題意，得 ，
解得 。
答：明年改裝的無人駕駛出租車是160輛。
解： （萬元）。
答：明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是25萬元。
涉及公式 等量關系 注意事項
行程 問題 相遇 問題 注意始發時
間和地點。
追及 問題 涉及公式 等量關系 注意事項
行程 問題 航行、飛 行問題 注意題中
是順水
（順風）
還是逆水
（逆
風）。
涉及公式 等量關系 注意事項
和差倍分 問題 弄清“倍、分”關
系及“多、少”關
系。
涉及公式 等量關系 注意事項
等積變 形問題 分清是“形”變“積”不
變，還是“形”變“積”也
變，但質量不變。
涉及公式 等量關系 注意事項
調配 問題 注意調配的方向
和數量。
工程 問題 一般情況下把總
工作量設為“1”。
涉及公式 等量關系 注意事項
儲蓄 問題 注意題中利率和存期要
對應。
銷售 問題 打幾折后的價格就是標
價乘十分之幾或百分之
幾十。
典例2 (杭州西湖區一模)今年父親的年齡是兒子年齡的3倍，6年前
父親的年齡是兒子年齡的4倍。今年兒子的年齡是多少歲？
分析：等量關系為“父親今年的年齡 父親6年前的年齡”。
父親今年的年齡兒子今年的年齡，6年前父親的年齡
年前兒子的年齡。
解：設今年兒子的年齡是 歲。
由題意可得，
解這個方程，得 。
檢驗： 是方程的解，且符合題意。
答：今年兒子的年齡是18歲。
知識過關
①運用方程解決實際問題的一般過程是：(1)審題；(2)設元；
(3)列方程；(4)解方程；(5)檢驗；(6)作答.
②工程問題：工作量＝工作效率× 　工作時間　.
工作時間
和差倍分問題
1. [情境題·體育賽事]2023年杭州亞運會上，我國獲得獎牌
383枚，其中銀牌111枚，金牌數比銅牌數的3倍少12枚.若
設金牌數是x枚，則可列出方程為(　C　)
C
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A. (3x－12)＋x＝383－111
B. 3(x＋12)＋x＝383－111
2. [新考向·傳統文化]中國古代數學著作《算法統宗》中有這
樣一段記載：“三百七十八里關，初日健步不為難，次日
腳痛減一半，六朝才得到其關.”其大意是：有人要去某
關口，路程378里，第一天健步行走，從第二天起，由于
腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才
到達目的地，則此人第三天走的路程為(　B　)
A. 96里 B. 48里
C. 24里 D. 12里
B
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3. [2024·仙臺月考]一個數的2倍加30，比這個數的6倍少14，
求這個數.
(1)設這個數為x，列出關于x的方程；
【解】依題意得，2x＋30＝6x－14；
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(2)請在x＝9，x＝10，x＝ ，x＝11中，找出所列的方
程的解.
【解】解方程2x＋30＝6x－14得：x＝11.
所以所列方程的解為x＝11.
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工程問題
4. 有一項工程，甲單獨做需6天完成，乙單獨做需12天完
成，兩人合作x天可完成，根據題意可列方程為(　B　)
A. 6x＋12x＝1
B
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5. [2024·臺州模擬]學校要制作一塊廣告牌，請來甲、乙兩名
工人，已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天，若先由
乙做1天，再兩人合作，完成任務后共得到報酬900元，若
按各人的工作量計算報酬，則分配方案為(　B　)
B
A. 甲360元，乙540元
B. 甲450元，乙450元
C. 甲300元，乙600元
D. 甲540元，乙360元
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6. [立德樹人·傳統文化]隨著中國傳統文化的復興，漢服拍照
打卡逐漸成為年輕人最喜愛的活動之一，各個漢服店的漢
服供不應求.某制衣廠接到一批漢服的生產任務，要求6天
內完成.若工廠安排12位工人縫制，則6天后剩余80套漢服
未縫制；若安排16位工人縫制，則恰好提前一天完成任
務.假設工人們每天縫制的漢服數量相同，問每位工人每
天可以縫制多少套漢服？
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【解】設每位工人每天可以縫制x套漢服，
則12×6x＋80＝16×(6－1)x，解得x＝10.
答：每位工人每天可以縫制10套漢服.
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7. [2024·麗水期末]一個兩位數，個位數字與十位數字的和是
9，如果將個位數字與十位數字對調后所得的新數比原數
大9，則原來的兩位數為(　D　)
A. 54 B. 27
C. 72 D. 45
D
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8. 一道條件缺失的問題情境：一項工程，甲隊單獨做需要12
天完成，…，求還需幾天完成任務.根據標準答案，老師
在黑板上畫出線段示意圖(如圖)，設甲、乙兩隊合作還需
x天完成任務，并列方程為 ×2＋ x＝1.根據上
面信息，下面結論不正確的是(　D　)
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A. 乙隊單獨做需要8天完成
C. A處代表的實際意義為甲隊先做2天的工作量
D. 甲隊先做2天，然后甲、乙兩隊合作5天完成了整項工程
答案：D
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9. [新考向·數學文化][2024·金華期中]在明代的《算法統宗》
一書中將用格子的方法計算兩個數相乘稱作“鋪地錦”，
如圖①，計算82×34，將乘數82記入上行，乘數34記入右
行，然后用乘數82的每位數字乘以乘數34的每位數字，將
結果記入相應的格子中，最后按斜行加起來，得到2 788.
如圖②，用“鋪地錦”的方法表示兩個兩位數相乘，則a
＝ ，b＝ .
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10. 甲、乙兩工程隊共同承包了一項長4 600米的排污管
道鋪設工程，計劃由兩工程隊分別從兩端相向施工.
已知甲隊平均每天可完成230米，乙隊平均每天比甲
隊多完成115米.
(1)若甲、乙兩隊同時施工，共同完成全部任務需要
幾天？
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【解】設甲、乙兩隊同時施工，共同完成全部任務
需要x天.
根據題意得(230＋230＋115)x＝4 600，
解得x＝8.
答：甲、乙兩隊同時施工，共同完成全部任務需要
8天.
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(2)若甲、乙兩隊共同施工5天后，甲隊被調離去支援其
他工程，剩余的部分由乙隊單獨完成，則乙隊需再施
工多少天才能完成任務？
【解】設乙隊需再施工y天才能完成任務.
根據題意得5(230＋230＋115)＋(230＋115)y＝4 600，
解得y＝5.
答：乙隊需再施工5天才能完成任務.
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