資源簡介

(共44張PPT)
6.4 線段的和差
第6章 圖形的初步知識
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
線段的和差
課程目標
理解線段和差的概念，能結合圖形明確線段和差的幾何意義。
掌握線段和差的計算方法，能運用圖形中線段的位置關系進行和差運算。
學會利用線段中點等條件解決與線段和差相關的問題，提高幾何推理和計算能力。
線段的和
定義
如果一條線段可以看作是由另外兩條線段首尾順次連接組成的，那么這條線段就是另外兩條線段的和。
幾何表示：如圖，在線段\(AC\)上，點\(B\)在\(A\)、\(C\)之間，線段\(AB\)和線段\(BC\)首尾順次連接組成了線段\(AC\)，那么\(AC = AB + BC\)。
實例：一根長\(5\)厘米的線段和一根長\(3\)厘米的線段，首尾相接后組成的線段長就是\(5 + 3 = 8\)厘米，這根\(8\)厘米的線段就是前兩條線段的和。
計算方法
已知兩條線段的長度，求它們的和，直接將兩條線段的長度相加即可；若已知一條線段及其中一部分線段的長度，求另一部分線段的長度（和的逆運算），用和減去已知部分的長度。
例 1：已知線段\(AB = 4\)厘米，線段\(BC = 3\)厘米，且點\(B\)在\(A\)、\(C\)之間，求\(AC\)的長度。
解：因為\(AC = AB + BC\)，所以\(AC = 4 + 3 = 7\)厘米。
例 2：已知線段\(AC = 10\)厘米，線段\(AB = 6\)厘米，點\(B\)在\(A\)、\(C\)之間，求\(BC\)的長度。
解：因為\(AC = AB + BC\)，所以\(BC = AC - AB = 10 - 6 = 4\)厘米。
線段的差
定義
如果一條線段可以看作是由一條較長的線段去掉其中一部分線段后剩余的部分，那么這條線段就是兩條線段的差。
幾何表示：如圖，在線段\(AB\)上，點\(C\)在\(A\)、\(B\)之間，從線段\(AB\)中去掉線段\(AC\)后，剩余的線段\(CB\)就是\(AB\)與\(AC\)的差，即\(CB = AB - AC\)。
實例：一根長\(7\)厘米的線段，去掉其中\(3\)厘米長的一部分后，剩余部分的長度是\(7 - 3 = 4\)厘米，這\(4\)厘米的線段就是原來線段與去掉部分線段的差。
計算方法
已知兩條線段的長度（較長線段和較短線段），求它們的差，用較長線段的長度減去較短線段的長度；若已知線段的差及其中一條線段的長度，求另一條線段的長度，根據差的關系進行計算。
例 1：已知線段\(AB = 8\)厘米，線段\(AC = 5\)厘米，點\(C\)在\(A\)、\(B\)之間，求\(BC\)的長度。
解：因為\(BC = AB - AC\)，所以\(BC = 8 - 5 = 3\)厘米。
例 2：已知線段\(DE = 4\)厘米，\(DF - DE = 3\)厘米，且點\(E\)在\(D\)、\(F\)之間，求\(DF\)的長度。
解：因為\(DF - DE = 3\)，所以\(DF = DE + 3 = 4 + 3 = 7\)厘米。
線段和差與中點的綜合應用
當涉及線段中點時，可利用中點將線段分成相等的兩部分的性質，結合線段的和差進行計算。
例 1：如圖，點\(M\)是線段\(AB\)的中點，點\(N\)是線段\(BC\)的中點，\(AB = 6\)厘米，\(BC = 4\)厘米，求\(MN\)的長度。
解：因為點\(M\)是\(AB\)的中點，所以\(BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} 6 = 3\)厘米。
因為點\(N\)是\(BC\)的中點，所以\(BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} 4 = 2\)厘米。
又因為\(MN = BM + BN\)，所以\(MN = 3 + 2 = 5\)厘米。
例 2：線段\(AC = 12\)厘米，點\(B\)是線段\(AC\)上一點，且\(AB = 5\)厘米，點\(D\)是線段\(AB\)的中點，點\(E\)是線段\(AC\)的中點，求\(DE\)的長度。
解：因為點\(E\)是\(AC\)的中點，所以\(AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} 12 = 6\)厘米。
因為點\(D\)是\(AB\)的中點，所以\(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} 5 = 2.5\)厘米。
又因為\(DE = AE - AD\)，所以\(DE = 6 - 2.5 = 3.5\)厘米。
復雜圖形中線段和差的計算
在較復雜的圖形中，需要先明確各線段之間的位置關系，找出已知線段和未知線段之間的和差關系，再進行計算。
例：如圖，線段\(AB = 10\)厘米，點\(C\)在\(AB\)的延長線上，\(BC = 4\)厘米，點\(D\)在\(AB\)上，\(AD = 3\)厘米，求\(CD\)的長度。
解：由圖可知，\(CD = DA + AB + BC\)（因為點\(C\)在\(AB\)延長線上，點\(D\)在\(AB\)上）。
代入數值可得：\(CD = 3 + 10 + 4 = 17\)厘米。
線段和差的應用
測量問題：在無法直接測量某條線段長度時，可通過測量與之相關的兩條線段的長度，利用和差關系求出該線段的長度。例如，測量池塘兩端的距離，可在池塘外選一點，測量這點到池塘兩端的距離，再根據位置關系用和差計算。
工程建設：在道路施工中，已知兩段道路的長度，可通過和差計算總長度；若已知總長度和其中一段的長度，可求出另一段的長度，以合理安排施工。
物品拼接：將幾根短線段拼接成一根長線段，長線段的長度就是各短線段長度的和；將一根長線段截成幾段，每段的長度可通過長線段與其他段長度的差求得。
課堂練習
已知線段\(AB = 7\)厘米，線段\(BC = 3\)厘米，點\(B\)在\(A\)、\(C\)之間，求\(AC\)的長度。
線段\(MN = 15\)厘米，線段\(MP = 9\)厘米，點\(P\)在\(M\)、\(N\)之間，求\(PN\)的長度。
點\(O\)是線段\(EF\)的中點，\(EG = 2\)厘米，\(GF = 6\)厘米，求\(EO\)的長度。
線段\(AB = 20\)厘米，點\(C\)在\(AB\)上，\(AC = 8\)厘米，點\(D\)是\(AC\)的中點，點\(E\)是\(CB\)的中點，求\(DE\)的長度。
總結
線段的和是指一條線段由另外兩條線段首尾順次連接組成，其長度為兩條線段長度之和；線段的差是指一條線段由較長線段去掉一部分后剩余，其長度為較長線段與該部分線段長度之差。
計算線段和差時，要明確線段的位置關系，結合圖形找出和差關系，若有中點，可利用中點性質將線段等分后再計算。
線段和差在實際測量、工程建設等領域有重要應用，掌握其計算方法有助于解決實際問題。
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課堂檢測
4
新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
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新知講解
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典例講解
1.理解線段的和差的意義，會用直尺和圓規作兩條線段的
和與差，發展幾何直觀。
2.理解線段的中點的概念，會用刻度尺二等分線段。
3.會進行有關線段的和、差、倍、分的簡單計算，發展
推理能力。
兩條線段的和 兩條線段的差（兩條線段的和或
差仍是一條線段）
概念 如果一條線段的長度是 另兩條線段的長度的 和，那么這條線段就叫 作另兩條線段的和。 如果一條線段的長度是另兩條線
段的長度的差，那么這條線段就
叫作另兩條線段的差。
條件 ___________________________________________________________ 圖形 _____________________________________________________ __________________________________
作法
結論
典例1 如圖，已知線段, ，用直尺和圓
規作線段，使 。
解：如圖所示，①作射線 ;
②用圓規在射線上連續截取 ；
③在線段上截取。線段 就是所求作的線段。
概念
幾何表述
圖示 ____________________________________________________
若點是線段的中點，則點一定在線段 上。
教材延伸
線段的三等分點、四等分點
將線段分成相等的三條線段,,，點，即線段 的
三等分點。同樣還可以得到線段的四等分點等。如圖所示。
類似地，還有線段的五等分點、六等分點等。
典例2 下列說法正確的是( )
D
A.若,則點為線段 的中點
B.若,則點為線段 的中點
C.若,則點為線段 的中點
D.若,則點為線段 的中點
解析：
選項 圖示
A 不能 _____________________________________
選項 圖示
B 不能
選項 圖示
C 不能 _________________________________________
D 能 _________________________________
知識過關
①一般地，如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那
么這條線段就叫作另 　兩條線段的和??；如果一條線段的長
度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫作另 　兩條
線段的差　.
②點C把線段AB分成相等的兩條線段AC與BC，點C叫作線
段AB的 　中點　.這時，AC＝ 　BC　＝ 　 AB　，AB
＝ 　2AC?。?　2BC　.
兩條線段的和
兩條
線段的差
中點
BC
AB　
2AC
2BC
線段的和差
1. [2024·杭州余杭區期末]如圖，下列關系式中與圖不一定符
合的式子是(　C　)
A. AD－CD＝AB＋BC
B. AC－BC＝AD－BD
C. AC－BC＝BD－BC
D. AC－AB＝BD－CD
C
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2. 線段AB的長為2 cm，延長AB到C，使AC＝3AB，再延
長BA到D，使BD＝2BC，則線段CD的長為(　D　)
A. 10 cm B. 8 cm
C. 6 cm D. 12 cm
D
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3. [2024·西安模擬]若點P在線段AB的延長線上，AP＝8，
BP＝3，則AB的長為 .
4. 已知點C，D在線段AB上，且AC＝BD＝1.5，若AB
＝7，則CD的長為 .
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尺規作圖作線段的和差
5. 如圖，已知線段a，b，畫一條射線OM，在射線OM上
依次截取OA＝AB＝a，在線段BO上截取BC＝b.則
(　D　)
A. OB＝a＋b B. OB＝2b－a
C. OC＝b－a D. OC＝2a－b
D
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6. [母題 教材P175作業題T2]如圖，已知線段a，b，用尺規
作一條線段c，使c＝2a＋b.(保留作圖痕跡，不寫作法)
【解】如答圖所示：AE＝2a＋b＝c.
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線段的中點
7. [2024·臺州溫嶺期末]如圖，M是線段AB的中點，N是線
段BM上一點，下列各式可以表示MN的長度的是
(　B　)
A. AB－BN B. AN－BM
B
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8. [母題 教材P174例2]如圖，點M是AB的中點，點N是BD
的中點，AB＝6 cm，BC＝10 cm，CD＝8 cm.則MN的
長為(　A　)
A. 12 cm B. 11 cm
C. 13 cm D. 10 cm
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所以BM＝AM＝ AB＝ ×6＝3(cm).
因為BC＝10 cm，CD＝8 cm，
所以BD＝BC＋CD＝10＋8＝18(cm).
因為點N是BD的中點，
【點撥】
因為點M是AB的中點，AB＝6 cm，
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所以BN＝DN＝ BD＝ ×18＝9(cm)，
所以MN＝MB＋BN＝3＋9＝12(cm).
故選：A.
【答案】
A
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9. [2024·湖州期末]兩根木條，一根長10 cm，另一根長12 cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時兩根木條的中點之間的距離為 cm.
11或1　
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10. [2024·紹興諸暨期末]如圖，M是線段AB的中點，點C
在線段AB上，N是線段AC的中點，且AN＝2 cm，
CM＝1 cm，求線段AB的長.
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【解】因為N是線段AC的中點，且AN＝2 cm，
所以NC＝2 cm.
因為CM＝1 cm，所以AM＝5 cm.
因為M是線段AB的中點，
所以AB＝2AM＝10 cm.
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[易錯題]點與線段的位置未分類討論而出錯
11. [2024·無錫期末]已知線段AB＝7，點C為直線AB上一
點，且AC∶BC＝4∶3，點D為線段AC的中點，則線段
BD的長為(　C　)
A. 5 B. 7
C. 5或7 D. 5.5或7
C
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12. [2024·菏澤期末]如圖，C，D是線段AB上兩點(點D
在點C右側)，E，F分別是線段AD，BC的中點.下列
結論：
①EF＝ AB；②若AE＝BF，則AC＝BD；③AB－
CD＝2EF；④AC－BD＝EC－DF. 其中正確的結論
是(　B　)
B
A. ①② B. ②③
C. ②④ D. ③④
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13. [新考向·知識情境化][2024·舟山調研] A，B，C三個住
宅區分別住有某公司職工30人、15人、10人，且這三個
住宅區在一條大道上(A，B，C三點共線)，如圖所示，
已知AB＝100米，BC＝200米，為了方便職工上下班，
該公司的接送車打算在此區間內設一個?？奎c，為使所
有人步行到?？奎c的路程之和最小，那么該?？奎c的位
置應設在(　A　)
A
A. 點A B. 點B
C. 點A，B之間 D. 點B，C之間
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14. 如圖，A，B，C，D是直線l上的四個點，M，N分
別是AB，CD的中點.
(1)如果MB＝2 cm，NC＝1.8 cm，BC＝5 cm，則AD
的長為 cm；
12.6　
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【點撥】
因為MB＝2 cm，NC＝1.8 cm，
所以MB＋NC＝3.8 cm.
因為M，N分別是AB，CD的中點，
所以AB＝2BM，CD＝2CN，
所以AB＋CD＝2BM＋2CN＝2(BM＋CN)＝
7.6 cm，
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所以AD＝AB＋CD＋BC＝7.6＋5＝12.6(cm).
故答案為：12.6；
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(2)如果MN＝10 cm，BC＝6 cm，則AD的長
為 cm；
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【點撥】
因為MN＝10 cm，BC＝6 cm，
所以BM＋CN＝MN－BC＝10－6＝4(cm).
因為M，N分別是AB，CD的中點，
所以AB＝2BM，CD＝2CN，
所以AB＋CD＝2BM＋2CN＝2(BM＋CN)＝8 cm，
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所以AD＝AB＋CD＋BC＝8＋6＝14(cm).
故答案為：14；
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(3)如果MN＝a，BC＝b，求AD的長.
【解】因為MN＝a，BC＝b，所以BM＋CN＝a－b.因為M，N分別是AB，CD的中點，
所以AB＝2BM，CD＝2CN，
所以AB＋CD＝2BM＋2CN＝2(BM＋CN)＝2(a－
b)，所以AD＝AB＋CD＋BC＝2(a－b)＋b＝2a－2b＋b＝2a－b.
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15. 已知線段AB，M，N分別是AC，BC的中點.
(1)如圖，若點C在線段AB上，AC＝12 cm，CB＝9 cm，求線段MN的長.
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【解】因為AC＝12 cm，CB＝9 cm，M，N分別是
AC，BC的中點，
所以CM＝ AC＝6 cm，CN＝ BC＝4.5 cm，
所以MN＝CM＋CN＝6＋4.5＝10.5(cm)；
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(2)若C為線段AB上任意一點，滿足AC＋CB＝a cm，
你能猜出MN的長度嗎？請說明理由.
【解】MN＝ cm，理由如下：
因為M，N分別是AC，BC的中點，
所以CM＝ AC，CN＝ BC，
所以MN＝CM＋CN＝ (AC＋BC)＝ cm；
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(3)若點C在線段AB的延長線上，且滿足AC－BC＝
b cm，你能猜出MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的
結論，并說明理由.
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因為M，N分別是AC，BC的中點，
所以CM＝ AC，CN＝ BC，
所以MN＝CM－CN＝ (AC－BC)＝ cm.
【解】如答圖，MN＝ cm，理由如下：
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