資源簡介

(共32張PPT)
6.6 角的大小比較
第6章 圖形的初步知識
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
角的大小比較
課程目標
掌握比較角的大小的兩種方法：疊合法和度量法，能熟練運用這兩種方法比較角的大小。
理解角的和差概念，能結合圖形表示角的和差關系。
認識角平分線，能利用角平分線的性質進行角的計算，提高幾何直觀和推理能力。
角的大小比較方法
1. 疊合法
定義：把兩個角的頂點和一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側，通過觀察另一條邊的位置關系來比較角的大小。
操作步驟：
設有兩個角\(\angle AOB\)和\(\angle COD\)。
將\(\angle AOB\)的頂點\(O\)與\(\angle COD\)的頂點\(O\)重合，使邊\(OA\)與邊\(OC\)重合，且邊\(OB\)和邊\(OD\)在重合邊\(OA\)（或\(OC\)）的同側。
結果判斷：
如果邊\(OB\)與邊\(OD\)重合，那么\(\angle AOB = \angle COD\)（如圖 1）。
如果邊\(OB\)落在\(\angle COD\)的內部，那么\(\angle AOB < \angle COD\)（如圖 2）。
如果邊\(OB\)落在\(\angle COD\)的外部，那么\(\angle AOB > \angle COD\)（如圖 3）。
實例：比較兩個三角板上的角的大小，可將兩個角的頂點和一條邊重合，通過觀察另一條邊的位置來判斷。
2. 度量法
定義：用量角器分別量出兩個角的度數，根據度數的大小來比較角的大小。
操作步驟：
用量角器分別測量出兩個角的度數（測量方法同 6.5 節角的度量）。
比較兩個角的度數：度數大的角大，度數小的角小，度數相等的角大小相等。
實例：測量得\(\angle 1 = 30 °\)，\(\angle 2 = 45 °\)，因為\(30 ° < 45 °\)，所以\(\angle 1 < \angle 2\)。
兩種方法的聯系與區別
聯系：兩種方法都能準確比較出角的大小，且結果一致。
區別：疊合法是通過圖形的重合直觀比較，不需要測量工具；度量法是通過測量度數，用數值比較，需要量角器。
角的和差
定義
類似于線段的和差，角的和差是指一個角可以看作是由兩個角通過一定的位置關系組合而成。
角的和：如果一個角的兩邊分別是另兩個角的一邊，且這個角的另一邊是另兩個角另一邊的反向延長線組合，那么這個角就是另兩個角的和。如圖，\(\angle AOC\)是\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)的和，記作\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)。
角的差：如果一個角是另一個大角減去一個小角得到的，那么這個角就是這兩個角的差。如圖，\(\angle AOB\)是\(\angle AOC\)和\(\angle BOC\)的差，記作\(\angle AOB = \angle AOC - \angle BOC\)。
計算示例
例 1：已知\(\angle AOB = 30 °\)，\(\angle BOC = 50 °\)，且\(OB\)是\(\angle AOC\)的公共邊，求\(\angle AOC\)的度數。
解：由圖可知\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 30 ° + 50 ° = 80 °\)。
例 2：已知\(\angle AOC = 100 °\)，\(\angle AOB = 30 °\)，且\(OB\)在\(\angle AOC\)內部，求\(\angle BOC\)的度數。
解：因為\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\)，所以\(\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 100 ° - 30 ° = 70 °\)。
角平分線
定義
從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。
如圖，射線\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，則\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)，也可表示為\(\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle BOC\)。
性質應用
例 1：已知\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOB = 80 °\)，求\(\angle AOC\)的度數。
解：因為\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 80 ° = 40 °\)。
例 2：已知\(OD\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOD = 35 °\)，求\(\angle AOB\)的度數。
解：因為\(OD\)是\(\angle AOB\)的平分線，所以\(\angle AOB = 2\angle AOD = 2 35 ° = 70 °\)。
例 3：\(\angle AOB = 120 °\)，\(OC\)是\(\angle AOB\)內的一條射線，\(\angle AOC = 40 °\)，判斷\(OC\)是否是\(\angle AOB\)的平分線。
解：若\(OC\)是平分線，則\(\angle AOC\)應等于\(\frac{1}{2}\angle AOB = 60 °\)，但實際\(\angle AOC = 40 ° 60 °\)，所以\(OC\)不是\(\angle AOB\)的平分線。
角的大小比較的應用
幾何作圖：在繪制幾何圖形時，需要比較角的大小來確定圖形的形狀和位置，如繪制三角形時，根據角的大小可判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形。
機械制造：在機械零件加工中，需要精確比較角的大小，確保零件的角度符合設計要求，如齒輪的齒形角度。
建筑設計：建筑物的傾斜角度、屋頂的坡度等都需要通過比較角的大小來確定，以保證建筑的穩定性和安全性。
課堂練習
用疊合法比較你手中兩個三角板上\(30 °\)角和\(45 °\)角的大小。
已知\(\angle 1 = 55 °\)，\(\angle 2 = 55 °\)，\(\angle 3 = 120 °\)，比較這三個角的大小。
如圖，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle BOC = 30 °\)，求\(\angle AOC\)的度數。
\(OE\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOE = 25 °\)，求\(\angle BOB\)的度數（此處應為\(\angle AOB\)，可能為筆誤）。
一個角的度數是\(60 °\)，它的平分線把它分成兩個角，每個角是多少度？
總結
比較角的大小有疊合法和度量法，疊合法通過頂點和邊的重合比較，度量法通過度數比較。
角的和差是角之間的數量關系，可結合圖形表示和計算。
角平分線將角分成兩個相等的角，利用其性質能進行角的相關計算。
角的大小比較在幾何作圖、機械制造等領域有重要應用，掌握相關方法有助于解決實際問題。
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課堂檢測
4
新知講解
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變式訓練
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中考考法
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小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.類比線段長短比較，會用度量法、疊合法比較兩個角的大小，
培養初步的類比思想。
2.會用量角器作一個角等于已知角。
3.會對角進行分類，體會分類思想。
條件
圖形 _______________________________________________________________________
作法
1.度量法（數的比較）：用量角器量出角的度數，然后比較
它們的大小。
2.疊合法（形的比較）：將兩個角的頂點及一條邊重合,另一
條邊放在重合邊的同側,就可以比較大小。如圖，先讓兩個角
的頂點與 重合,再讓一條邊與重合,使另一條邊和
落在（或 ）的同側。
（1）比較與 的大小；
解：由疊合法可知 。
（2）借助量角器比較與 的大小。
解：用量角器測量，得 ， ，所以
。
典例1 據圖，回答下列問題：
角的名稱 定義 各種角之間的大小關系
直角
銳角 小于直角的角 鈍角 大于直角而小于 平角的角 直角
典例2 把兩個三角尺按如圖所示的方式拼在一
起，指出其中的銳角、直角、鈍角。
解：,，,是銳角，
，是直角，
和 是鈍角。
知識過關
①如果兩個角的度數相等，那么我們就說這兩個角 　相等　；
如果兩個角的度數不相等，那么我們就說度數較大的角 　較
大　.
②比較兩個角的大小的方法有疊合法、度量法，若兩個角的度
數的單位不同，一般先換算單位.
③等于 　90°　的角是直角；小于90°的角是 　銳角　；大于
直角而小于平角的角是 　鈍角　.
相等
較
大
90°
銳角
鈍角
角的大小比較
1. [2024·紹興新昌一模]如圖，在邊長相等的正方形網格中，
∠1與∠2的大小關系為(　A　)
A. ∠1＞∠2
B. ∠1＝∠2
C. ∠1＜∠2
D. 無法確定
A
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2. [2024·杭州西湖區二模]如圖，用同樣大小的三角板比較
∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是(　A　)
A. ∠A＜∠B
B. ∠A＞∠B
C. ∠A＝∠B
D. 沒有量角器，無法確定
A
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3. 若∠A＝20°19'，∠B＝20°15'30″，∠C＝20.25°，
則(　D　)
A. ∠C＞∠A＞∠B
B. ∠B＞∠A＞∠C
C. ∠A＞∠C＞∠B
D. ∠A＞∠B＞∠C
D
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4. 比較兩個角的大小關系：小明用度量法測得∠AOB＝
45°，∠COD＝50°；小麗用疊合法比較，將兩個角的
頂點重合，邊OB與OD重合，邊OA和OC置于重合邊的
同側，則下列說法正確的是 (填序號).
①邊OA在∠COD的內部；
②邊OA在∠COD的外部；
③邊OA與邊OC重合.
①　
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用量角器作角
5. 如圖，已知∠BAD，用量角器在射線AD的右側作
∠DCP，使得∠DCP＝∠BAD.
【解】如圖.
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角的分類
6. 小于 度的角是銳角，大于 度的角是鈍角，平
角是 度，周角是 度，1周角＝ 平角，
1平角 直角，1周角＝ 直角.
7. 下列各角中，一定屬于銳角的是(　A　)
D. 兩個銳角的和
90　
90　
180　
360　
2　
2　
4　
A
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8. 從一個鈍角的頂點出發畫一條射線，把這個鈍角分成∠1
和∠2兩個角，下列說法不正確的是(　C　)
A. ∠1和∠2中可能有一個是鈍角
B. ∠1和∠2中可能有一個是直角
C. ∠1和∠2可能都是鈍角
D. ∠1和∠2中可能有一個是銳角
C
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9. [母題 教材P182例2]如圖，A，O，E三點在同一條直線
上，∠AOC＝90°，比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，
∠AOE的大小，并指出其中的銳角、直角、鈍角、平角.
【解】∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE，其中銳角是∠AOB，直角是∠AOC，鈍角是∠AOD，平角是∠AOE.
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10. 如圖，在4×4的正方形網格中，記∠ABF＝α，∠FCH
＝β，∠DGE＝γ，則(　B　)
A. β＜α＜γ B. β＜γ＜α
C. α＜γ＜β D. α＜β＜γ
B
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11. [2024·杭州拱墅區期末]在綜合與實踐課上，將∠A與
∠B兩個角的關系記為∠A＝n∠B(n＞0)，探索n的大
小與兩個角的類型之間的關系是(　A　)
A. 當n＝2時，若∠A為銳角，則∠B為銳角
B. 當n＝2時，若∠A為鈍角，則∠B為鈍角
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因為∠A＝n∠B(n＞0)，所以當n＝2時，有∠A
＝2∠B. 又因為∠A為銳角，所以0°＜∠A＜90°，
所以0°＜2∠B＜90°，所以0°＜∠B＜45°，所以
∠B為銳角，故選項A正確；因為∠A為鈍角，所以
90°＜∠A＜180°，所以90°＜2∠B＜180°，所以
45°＜∠B＜90°，所以∠B為銳角，故選項B不正
確；當n＝ 時，有∠A＝ ∠B.
【點撥】
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又因為∠A為銳角，所以0°＜∠A＜90°，所以0°＜
∠B＜90°，所以0°＜∠B＜180°，所以∠B可能是銳角
也可能是鈍角，還可能是直角，故選項C，選項D均不正確.
故選A.
【答案】
A
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12. 如圖，直線m外有一定點O，點A是直線m上的一個動
點，當點A從左向右運動時，觀察∠α和∠β是如何變化
的，∠α和∠β之間有關系嗎？
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【解】因為∠α是鈍角，∠β是銳角，
所以當點A從左向右運動時，∠α越來越小，∠β越來
越大.
又因為∠α和∠β組成了一個平角，
所以∠α和∠β之間有關系，且∠α＋∠β＝180°.
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13. 把一副三角板按如圖所示的方式拼在一起.
(1)寫出圖中∠A，∠B，∠BCD，∠D的度數；
【解】∠A＝30°，∠B＝90°，
∠BCD＝150°，∠D＝45°；
(2)用“＜”將上述各角連接起來；
【解】∠A＜∠D＜∠B＜
∠BCD；　
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(3)指出∠A，∠B，∠BCD，∠D中的銳角、鈍角和
直角.
【解】∠A，∠D是銳角；∠B是
直角；∠BCD是鈍角.
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14. 如圖，小華在街心花園的步道AB上觀看宣傳畫廊MN，
他發現在點C處觀看效果最佳.
(1)請測量∠BCN，∠MCA，∠CMN，∠MNC的度
數，發現哪兩個角近似相等？
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【解】測量發現：∠BCN，∠MCA，∠CMN，∠MNC的度數分別約為67°，42°，67°，42°，所以∠BCN與∠CMN近似相等，∠MCA與∠MNC近似相等.
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(2)請在步道AB上點C的兩邊分別任意取一點D，E，
畫出∠MDN，∠MEN，測量∠MDN∠MCN，
∠MEN的度數，并指出它們中的最大角.
【解】如圖所示.
測量∠MDN，∠MCN，∠MEN
的度數約為54°，71°，64°，所
以最大角是∠MCN.
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15. [新視角·規律探究題]如圖，點P是直線l外一點，過點P
畫直線PA，PB，PC，…，分別交l于點A，B，
C，…，請你用量角器量∠1，∠2，∠3的度數，并用刻
度尺量線段PA，PB，PC的長度.那么你發現的規律
是：
.
過直線l外一點P，畫直線PA，PB，PC，…，
與l相交所得的角度越大，線段的長度越短　
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謝謝觀看！

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