資源簡介

(共46張PPT)
6.7 角的和差
第6章 圖形的初步知識
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
角的和差
課程目標
深入理解角的和差的概念，能結合具體圖形清晰表述角的和差關系。
熟練掌握角的和差的計算方法，能根據圖形中角的位置關系準確進行和差運算。
能綜合運用角的和差與角平分線等知識解決較復雜的角的計算問題，提升幾何思維能力。
角的和差的概念
角的和差與線段的和差類似，是基于角的位置關系產生的數量關系。
角的和：當一個角的兩邊分別是另外兩個角的一邊，且這個角的內部包含了另外兩個角的內部，那么這個角的度數等于另外兩個角的度數之和。簡單來說，就是一個角可以看作是由兩個較小的角 “拼接” 而成的。
幾何表示：如圖 1，射線\(OB\)在\(\angle AOC\)的內部，那么\(\angle AOC\)是\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)的和，記作\(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\)。
角的差：當一個角是另一個較大的角的一部分時，這個角的度數等于較大角的度數減去剩余部分角的度數。即一個較大的角可以看作是由一個角 “減去” 另一個較小的角得到的。
幾何表示：如圖 1，因為\(\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC\)，所以\(\angle AOB=\angle AOC-\angle BOC\)，\(\angle BOC=\angle AOC-\angle AOB\)，這里\(\angle AOB\)和\(\angle BOC\)分別是\(\angle AOC\)與另一個角的差。
角的和差的幾何意義
從幾何圖形上看，角的和差體現了角與角之間的包含關系：
角的和對應的圖形中，兩個較小的角共同組成了一個較大的角，且它們有公共的頂點和一條公共邊，另一條邊分別在較大角的兩邊上。
角的差對應的圖形中，較小的角是較大角的一部分，它們有公共的頂點和一條公共邊，較小角的另一條邊在較大角的內部。
角的和差的計算方法
直接計算
已知兩個角的度數以及它們的位置關系（能構成和或差），直接根據和差關系進行計算。
例 1：已知\(\angle 1 = 35 °\)，\(\angle 2 = 45 °\)，且\(\angle 1\)和\(\angle 2\)可以組成\(\angle 3\)，求\(\angle 3\)的度數。
解：因為\(\angle 3\)是\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的和，所以\(\angle 3=\angle 1+\angle 2 = 35 °+45 °=80 °\)。
例 2：已知\(\angle \alpha = 120 °\)，\(\angle \beta = 50 °\)，且\(\angle \beta\)是\(\angle \alpha\)的一部分，求\(\angle \alpha\)與\(\angle \beta\)的差。
解：\(\angle \alpha-\angle \beta=120 ° - 50 °=70 °\)。
結合圖形計算
根據圖形中角的位置關系，找出已知角和未知角之間的和差關系，再代入數據計算。
例 3：如圖 2，已知\(\angle AOD = 150 °\)，\(\angle AOB = \angle COD = 40 °\)，求\(\angle BOC\)的度數。
解：由圖可知\(\angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD\)，所以\(\angle BOC=\angle AOD-\angle AOB-\angle COD=150 ° - 40 °-40 °=70 °\)。
例 4：如圖 3，\(\angle AOB = 90 °\)，\(\angle COD = 90 °\)，\(\angle AOC = 20 °\)，求\(\angle BOD\)的度數。
解：因為\(\angle AOB = 90 °\)，所以\(\angle BOC=\angle AOB-\angle AOC=90 ° - 20 °=70 °\)。
又因為\(\angle COD = 90 °\)，所以\(\angle BOD=\angle BOC+\angle COD=70 °+90 °=160 °\)。
角的和差與角平分線的綜合計算
當題目中涉及角平分線時，可利用角平分線將角分成相等兩部分的性質，結合角的和差進行計算。
例 5：如圖 4，\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOD = 110 °\)，\(\angle COD = 10 °\)，求\(\angle AOB\)的度數。
解：因為\(\angle AOD=\angle AOC+\angle COD\)，所以\(\angle AOC=\angle AOD-\angle COD=110 ° - 10 °=100 °\)。
又因為\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，所以\(\angle AOB = 2\angle AOC=2 100 °=200 °\)（注意：大于 180° 的角也是存在的）。
例 6：如圖 5，\(\angle AOB = 160 °\)，\(OD\)是\(\angle AOC\)的平分線，\(OE\)是\(\angle BOC\)的平分線，求\(\angle DOE\)的度數。
解：因為\(OD\)平分\(\angle AOC\)，所以\(\angle DOC=\frac{1}{2}\angle AOC\)；因為\(OE\)平分\(\angle BOC\)，所以\(\angle COE=\frac{1}{2}\angle BOC\)。
而\(\angle DOE=\angle DOC+\angle COE=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOC)=\frac{1}{2}\angle AOB\)。
代入\(\angle AOB = 160 °\)，得\(\angle DOE=\frac{1}{2} 160 °=80 °\)。
角的和差的實際應用
角度測量：在實際測量中，當遇到無法直接測量的角時，可通過測量與之相關的兩個角的度數，利用和差關系求出該角的度數。例如，測量一個不規則多邊形的內角時，可將其分割成幾個已知角，再通過和差計算。
天文觀測：在觀測天體的角度位置時，常常需要計算兩個天體與觀測點形成的角的和差，以確定它們之間的相對位置關系。
游戲設計：在一些涉及角度操作的游戲中，如射擊游戲，需要計算槍口角度與目標角度的和差，以實現精準瞄準。
易錯點提醒
計算角的和差時，要先確認角的位置關系是否滿足和差條件，不能盲目相加或相減。
當角的度數涉及度、分、秒時，要注意單位統一，遵循 “滿 60 進 1” 或 “借 1 當 60” 的原則進行換算。例如，計算\(30 °45 +25 °30 =55 °75 =56 °15 \)；計算\(50 °10 -20 °30 =49 °70 -20 °30 =29 °40 \)。
利用角平分線解題時，要明確角平分線所分的是哪一個角，避免混淆。
課堂練習
已知\(\angle A = 50 °\)，\(\angle B = 30 °\)，求\(\angle A+\angle B\)和\(\angle A-\angle B\)的度數。
如圖，\(\angle AOC = 130 °\)，\(\angle BOC = 60 °\)，求\(\angle AOB\)的度數。
\(OM\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOM = 35 °\)，\(\angle BOC = 20 °\)，求\(\angle AOC\)的度數（考慮\(OC\)在\(\angle AOB\)內部和外部兩種情況）。
計算：
\(45 °20 +30 °50 \)
\(90 °-35 °40 \)
總結
角的和是指一個角由兩個較小的角拼接而成，其度數為兩個角的度數之和；角的差是指一個角為較大角減去一個較小角，其度數為兩個角的度數之差。
計算角的和差時，要結合圖形確定角的位置關系，明確和差關系后再代入計算，涉及角平分線時可利用其性質簡化計算。
角的和差在實際測量、天文觀測等領域有重要應用，計算時要注意單位換算和位置關系的判斷，避免出錯。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.會表示兩個角的和差，會用量角器作兩個角的和差。
2.理解角平分線的定義，能用角平分線解決有關問題。
3.會進行有關角的和、差、倍、分的簡單計算。
概念 表示 圖示
兩個角 的和 如果一個角的度數是另 兩個角的度數的和，那 么這個角就叫作另兩個 角的和。 ________________________________
概念 表示 圖示
兩個角 的差 如果一個角的度數是另 兩個角的度數的差，那 么這個角就叫作另兩個 角的差。 ________________________________
典例1 據圖回答下列問題：
（1）是哪兩個角的和？ 是哪兩個角的和？
解：是與 的和，即
。
是與 的和，即
。
（2） 是哪兩個角的差？
解：是與的差，
也是與 的差，
即 。
典例1 據圖回答下列問題：
條件
圖形 ________________
作法
角平分線：從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成
兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線。
如圖,射線是 的平分線。這時,
（或
）。
角的平分線是以這個角的頂點為端點的一
條射線。
教材延伸
角的三等分線
如圖,射線,在的內部,如果
,那么射線,是 的三
等分線。類似地,從一個角的頂點出發，把這
個角分成個相等的角的射線，叫作這個角的 等分線，
如四等分線、五等分線等。
典例2 （易錯題）已知三條不同的射線，， ，有下列條
件：； ；
； ；
。其中，能確定平分 的有
( )
C
A.3個 B.2個 C.1個 D.0個
解析：
序號 能否確定 理由 圖示
① 不能 ______________________________________
② 不能 ______________________________________
序號 能否確定 理由 圖示
③ 不能 ______________________________________
④ 不能 ___________________________________
序號 能否確定 理由 圖示
⑤ 能 _____________________________
知識過關
①如果一個角的度數是另兩個角的度數的 　和　，那么這個角
就叫作另兩個角的和.
②如果一個角的度數是另兩個角的度數的 　差　，那么這個角
就叫作另兩個角的差.
③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成 　兩個相等
的角　，這條射線叫作這個角的平分線.
和
差
兩個相等
的角
角的和差
1. 如圖所示，∠AOD－∠AOC＝(　D　)
A. ∠AOC B. ∠BOC
C. ∠BOD D. ∠COD
(第1題)
D
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2. 如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝70°，∠BOC＝30°，
則∠AOD的度數為(　B　)
A. 100° B. 110°
C. 130° D. 140°
(第2題)
B
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3. [2024·揚州一模]將兩塊三角板如圖疊放，若∠AOC＝
∠BOD＝90°，∠AOD＝132°，則∠BOC
＝ .
(第3題)
48°　
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4. [2024·杭州期末]如圖，直線AB，CD交于點O，
∠AOC∶∠COE＝1∶2，若∠BOE＝96°，則∠AOD
＝ °.
(第4題)
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【點撥】
因為∠AOC∶∠COE＝1∶2，
所以設∠AOC＝x°，∠COE＝2x°.
因為∠AOC＋∠COE＋∠BOE＝180°，
∠BOE＝96°，
所以x°＋2x°＋96°＝180°，
所以x＝28，即∠AOC＝28°，
所以∠AOD＝180°－∠AOC＝152°.
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5. 如圖所示，已知∠α，∠β，且∠α，∠β均為銳角，求作
一個角，使它等于∠α與∠β的和.(尺規作圖，不寫作法，
保留痕跡)
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【解】如答圖所示，∠AOC即為所求.
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角的平分線
6. 如圖，點A，B，C在同一條直線上，BD平分∠ABE，
∠EBC＝40°，則∠ABD的度數為(　C　)
A. 50° B. 65°
C. 70° D. 75°
(第6題)
C
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7. 如圖，∠AOB＝60°，∠DOE＝50°，OD，OE分別
平分∠AOB，∠AOC，則∠AOC＝ °.
(第7題)
40　
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因為OD，OE分別平分∠AOB，∠AOC，∠AOB
＝60°，
所以∠AOE＝ ∠AOC，∠AOD＝ ∠AOB＝
30°，
所以∠DOE＝∠AOE＋∠AOD＝ ∠AOC＋30°.
因為∠DOE＝50°，所以30°＋ ∠AOC＝50°，
所以∠AOC＝40°.
【點撥】
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8. 已知：如圖，∠AOB＝40°，在∠AOB的外部引射線
OC，使∠BOC＝20°，再畫出∠AOC的平分線OD.
(1)請借助直尺和量角器補全圖形；
【解】如圖.
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(2)求∠BOD的度數.
【解】因為∠AOB＝40°，∠BOC＝20°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°.
因為OD平分∠AOC，
所以∠AOD＝ ∠AOC＝30°，
所以∠BOD＝∠AOB－∠AOD＝10°.
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[易錯題]角的位置未分類討論而出錯
9. 如圖，∠AOB＝50°，以O為端點畫射線OC，使
∠BOC＝20°，則∠AOC的度數為(　D　)
A. 30°
B. 70°
C. 50°
D. 30°或70°
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【點撥】
如圖①所示，此時∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝50°
－20°＝30°；
D
如圖②所示，此時∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝50°
＋20°＝70°.
綜上，∠AOC的度數為30°或70°.
【答案】
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10. [新考法·折疊法][2024·麗水期末] 如圖，長方形ABCD
中，點E，F分別在邊AB，BC上，連接DF，EF. 將
∠C沿DF折疊，點C落在點G處；將∠B沿EF折疊，
點B恰好落在FG的延長線上點H處.若∠BFE＝
19°59'，則∠CFD的度數是(　A　)
A. 70°1' B. 70°41'
C. 71°1' D. 71°41'
(第10題)
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【點撥】
由折疊得到：∠BFE＝∠HFE，∠CFD＝
∠GFD. 　
又因為∠BFE＋∠HFE＋∠CFD＋∠GFD＝
180°，
所以∠BFE＋∠CFD＝90°.
因為∠BFE＝19°59'，
所以∠CFD＝90°－19°59'＝70°1'.
故選：A.
【答案】
A
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11. [2024·紹興越城區期末]如圖，將兩塊三角尺的直角
∠AOB與∠COD的頂點O重合在一起，繞點O轉動三
角尺AOB，使兩塊三角尺仍有部分重疊，且∠AOD＝
3∠BOD，則∠AOC的度數為(　B　)
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
(第11題)
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【點撥】
根據題意得：∠AOB＝∠COD＝90°，
所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOC＋
∠COD＝∠AOB＋∠COD＝180°，∠AOB－∠BOC
＝∠COD－∠BOC，
所以∠AOC＝∠BOD.
因為∠AOD＝3∠BOD，
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所以∠AOD＝3∠AOC，
所以3∠AOC＋∠BOC＝180°，
所以2∠AOC＋∠AOB＝180°，
所以2∠AOC＋90°＝180°，
解得∠AOC＝45°.
故選：B.
B
【答案】
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12. 以∠AOB的頂點O為端點引射線OP，使
∠AOP∶∠BOP＝3∶2，若∠AOB＝20°，則∠AOP的
度數為 .
12°或60°　
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【點撥】
如圖①，當射線OP在∠AOB的內部時，設∠AOP
＝3x，則∠BOP＝2x，
所以∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝5x＝20°，
解得x＝4°，所以∠AOP＝12°；
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如圖②，當射線OP在∠AOB的外部時，設∠AOP
＝3y，則∠BOP＝2y，
因為∠AOP＝∠AOB＋∠BOP，∠AOB＝20°，
所以3y＝20°＋2y，解得y＝20°，
所以∠AOP＝60°.
故∠AOP的度數為12°或60°.
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13. [2023·湖州質檢]如圖所示，OB是∠AOC的平分線，
∠COD＝ ∠BOD，若∠COD＝17°，則∠AOD的度
數是 .
(第13題)
85°　
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14. [新趨勢·跨學科]如圖，一束光沿CD方向，先后經過平
面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝
120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝ .
(第14題)
40°　
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因為一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB、OA
反射后，沿EF方向射出，所以∠EDO＝∠CDB＝
20°，∠AEF＝∠OED. 在△ODE中，∠OED＝
180°－∠AOB－∠EDO＝180°－120°－20°＝
40°，所以∠AEF＝∠OED＝40°.故答案為：40°.
【點撥】
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15. 如圖，AB為一條直線，OC是∠AOD的平分線.
(1)如圖①，若∠COE為直角，且∠AOD＝70°，則
∠BOE的度數是 ；
55°　
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因為∠AOD＝70°，OC是∠AOD的平分線，
所以∠AOC＝ ∠AOD＝35°.
因為∠COE為直角，
所以∠COE＝90°，
所以∠BOE＝∠AOB－∠AOC－∠COE＝
180°－35°－90°＝55°；
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(2)如圖②，若∠DOE∶∠BOD＝2∶5，且∠COE＝
80°，求∠BOE的度數.
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【解】因為∠DOE∶∠BOD＝2∶5，所以設∠DOE＝
2x，則∠BOD＝5x，所以∠BOE＝3x.
因為OC是∠AOD的平分線，∠COE＝80°，
所以∠AOC＝∠COD＝80°－2x，
所以2(80°－2x)＋5x＝180°，解得x＝20°，
所以∠BOE＝3x＝60°.
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謝謝觀看！

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