資源簡介

(共46張PPT)
6.8 余角和補角
第6章 圖形的初步知識
【2025-2026學年】浙教版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
余角和補角
課程目標
理解余角和補角的定義，能準確判斷兩個角是否互為余角或補角。
掌握余角和補角的性質，并能運用這些性質解決角的計算問題。
明確余角和補角的區別與聯系，提高對角的數量關系的理解和運用能力。
余角的定義
如果兩個角的和等于\(90 °\)（直角），就說這兩個角互為余角，簡稱互余。其中一個角是另一個角的余角。
幾何表示：若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，則\(\angle 1\)與\(\angle 2\)互為余角，即\(\angle 1\)是\(\angle 2\)的余角，\(\angle 2\)也是\(\angle 1\)的余角。
實例：\(\angle 3 = 30 °\)，\(\angle 4 = 60 °\)，因為\(30 ° + 60 ° = 90 °\)，所以\(\angle 3\)與\(\angle 4\)互為余角。
注意：互為余角的兩個角只與它們的度數之和有關，與它們的位置無關。即無論兩個角的位置如何，只要它們的和是\(90 °\)，就互為余角。
補角的定義
如果兩個角的和等于\(180 °\)（平角），就說這兩個角互為補角，簡稱互補。其中一個角是另一個角的補角。
幾何表示：若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，則\(\angle \alpha\)與\(\angle \beta\)互為補角，即\(\angle \alpha\)是\(\angle \beta\)的補角，\(\angle \beta\)也是\(\angle \alpha\)的補角。
實例：\(\angle 5 = 110 °\)，\(\angle 6 = 70 °\)，因為\(110 ° + 70 ° = 180 °\)，所以\(\angle 5\)與\(\angle 6\)互為補角。
注意：與余角類似，互為補角的兩個角也只與度數之和有關，與位置無關。
余角和補角的性質
余角的性質：同角（或等角）的余角相等。
幾何表示：
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，\(\angle 1 + \angle 3 = 90 °\)，則\(\angle 2 = \angle 3\)（同角的余角相等）。
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，\(\angle 3 + \angle 4 = 90 °\)，且\(\angle 1 = \angle 3\)，則\(\angle 2 = \angle 4\)（等角的余角相等）。
實例：已知\(\angle A = 30 °\)，\(\angle B\)和\(\angle C\)都是\(\angle A\)的余角，則\(\angle B = \angle C = 60 °\)。
補角的性質：同角（或等角）的補角相等。
幾何表示：
若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，\(\angle \alpha + \angle \gamma = 180 °\)，則\(\angle \beta = \angle \gamma\)（同角的補角相等）。
若\(\angle \alpha + \angle \beta = 180 °\)，\(\angle \gamma + \angle \delta = 180 °\)，且\(\angle \alpha = \angle \gamma\)，則\(\angle \beta = \angle \delta\)（等角的補角相等）。
實例：已知\(\angle M = 120 °\)，\(\angle N\)和\(\angle P\)都是\(\angle M\)的補角，則\(\angle N = \angle P = 60 °\)。
余角和補角的計算
求一個角的余角
若已知一個角的度數為\(x\)，則它的余角的度數為\(90 ° - x\)（其中\(0 ° < x < 90 °\)，因為只有銳角才有余角）。
例 1：求\(50 °\)角的余角。
解：\(90 ° - 50 ° = 40 °\)，所以\(50 °\)角的余角是\(40 °\)。
例 2：一個角的余角是\(35 °\)，求這個角的度數。
解：設這個角的度數為\(x\)，則\(x + 35 ° = 90 °\)，解得\(x = 90 ° - 35 ° = 55 °\)。
求一個角的補角
若已知一個角的度數為\(y\)，則它的補角的度數為\(180 ° - y\)（其中\(0 ° < y < 180 °\)，除平角外，其他角都有補角）。
例 3：求\(100 °\)角的補角。
解：\(180 ° - 100 ° = 80 °\)，所以\(100 °\)角的補角是\(80 °\)。
例 4：一個角的補角是\(70 °\)，求這個角的度數。
解：設這個角的度數為\(y\)，則\(y + 70 ° = 180 °\)，解得\(y = 180 ° - 70 ° = 110 °\)。
余角和補角的區別與聯系
區別
度數和不同：互為余角的兩個角的和是\(90 °\)；互為補角的兩個角的和是\(180 °\)。
存在范圍不同：只有銳角（小于\(90 °\)的角）才有余角；除平角（\(180 °\)）外，銳角、直角、鈍角都有補角（直角的補角是直角，鈍角的補角是銳角）。
聯系
都是針對兩個角而言的，體現的是兩個角之間的數量關系，與位置無關。
若一個角有補角和余角，則它的補角比它的余角大\(90 °\)。即若一個角為\(x\)，則其補角為\(180 ° - x\)，余角為\(90 ° - x\)，補角與余角的差為\((180 ° - x) - (90 ° - x) = 90 °\)。
生活中的余角和補角
余角和補角在生活中也有一定的應用：
墻角的兩邊形成直角（\(90 °\)），如果在墻角處放置一個梯子，梯子與其中一邊形成的角和梯子與另一邊形成的角互為余角。
一條直線可以看作是一個平角（\(180 °\)），在直線上取一點，過該點作一條射線，射線與直線的兩邊形成的兩個角互為補角。
易錯點提醒
互為余角和互為補角的兩個角只與度數和有關，與它們的位置沒有關系，不要誤認為必須有公共頂點或公共邊。
不要混淆余角和補角的度數和，余角是和為\(90 °\)，補角是和為\(180 °\)。
只有銳角才有余角，直角和鈍角沒有余角；平角沒有補角。
課堂練習
判斷下列說法是否正確：
若\(\angle 1 + \angle 2 = 90 °\)，則\(\angle 1\)是余角。
一個角的補角一定是鈍角。
同角的補角相等。
求下列角的余角和補角：
\(30 °\)
\(65 °\)
\(90 °\)（思考：它有余角嗎？）
一個角的補角是它的 3 倍，求這個角的度數。
已知\(\angle A\)與\(\angle B\)互為余角，\(\angle A = 25 °\)，求\(\angle B\)的補角的度數。
總結
余角是指兩個角的和為\(90 °\)，補角是指兩個角的和為\(180 °\)，它們都體現兩個角的數量關系。
余角和補角的性質：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補角相等。
計算一個角的余角用\(90 °\)減去這個角的度數，計算補角用\(180 °\)減去這個角的度數，同時要注意它們的區別和存在范圍。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.了解互為余角、互為補角的概念，會求一個角的余角
或補角。
2.掌握同角或等角的余角（補角）相等，并能說明兩角
相等，培養推理能力。
3.會用方向角表示方向，發展幾何直觀。
名稱 概念 數學語言 圖示
互為 余角 如果兩個銳角的和是一 個直角，我們就說這兩 個角互為余角，簡稱互 余，也可以說其中一個 角是另一個角的余角。 ____________________________
名稱 概念 數學語言 圖示
互為 補角 如果兩個角的和是一個 平角，我們就說這兩個 角互為補角，簡稱互 補，也可以說其中一個 角是另一個角的補角。 __________________________________
（1）兩個角互余或互補是兩個角之間的數量
關系，與它們的位置無關。（2）若兩個角互余，則這
兩個角一定都是銳角；若兩個角互補，則這兩個角可能
都是直角，也可能一個是銳角，另一個是鈍角。
典例1 （1）若一個角是 ，則它的余角是____，它的
補角是______，它的補角比它的余角大____。
解析：一個角是 ，它的余角是 ，
它的補角是 ，它的補角比它的余角
大 。（一個銳角的補角始終比其余角
大 ，與該銳角的度數無關）
（2）若一個角的余角是 ，則這個角是_______，
這個角的補角是________。
解析：一個角的余角是，
這個角是 ，
這個角的補角是 。
1.余角的性質：同角或等角的余角相等。
2.補角的性質：同角或等角的補角相等。
典例2 （1）如圖（1）所示， ， 與
相等嗎？為什么？
解：相等。因為 ，所以 。
因為 ,所以 ，
所以 。
（2）如圖（2）所示，直線與直線相交于點， 與
相等嗎？為什么？
解：相等。因為點，，在同一條直線上，
所以 ，即 。
因為點，，在同一條直線上，所以 ，
即 ，
所以 。
1.方向角：一般地，方向角是以第一個方向
（正南或正北）為角的始邊向第二個方向
（東或西）轉動所形成的角。如圖,射線
的方向是北偏東 ,射線 的方向是南偏西
。
2.特殊角的表示：東北方向表示北偏東 ,西北方向表示
北偏西 ,東南方向表示南偏東 ,西南方向表示南偏西 。
方向角通常先寫北或南，再寫偏東或偏西，如“北偏東
”一般不寫成“東偏北 ”。
典例3 (紹興柯橋區期末)如圖，甲從點 出發沿
北偏東 方向走到點，乙從點 出發沿南偏
西 方向走到點，則 的度數是( )
D
A. B. C. D.
解析：由題意知， ,
，
所以 。
知識過關
①如果兩個銳角的和是一個直角，我們就說這兩個角 　互
余　；如果兩個角的和是一個 　平角　，我們就說這兩個角
互為補角.
②　同角或等角　的余角相等、補角相等.
互
余
平角
同角或等角
余角、補角的概念
1. 將一副三角板按如圖所示的位置擺放，其中∠α與∠β一定
互余的是(　C　)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 若∠A的補角是120°50'，則∠A的余角的度數是(　B　)
A. 30°10' B. 30°50'
C. 59°10' D. 59°50'
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. [2024·桐廬期末]如圖，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分別
為A，D，圖中互余的角共有(　C　)
A. 2對 B. 3對
C. 4對 D. 5對
(第3題)
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 如圖，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，則∠1，
∠2，∠3之間的數量關系為(　D　)
A. ∠1＋∠2＋∠3＝90°
B. ∠1＋∠2－∠3＝90°
C. ∠2＋∠3－∠1＝90°
D. ∠1－∠2＋∠3＝90°
(第4題)
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 已知∠α＝29°45'38″，則∠α的補角的度數
是 .
6. 如圖，PA，PB表示以P為起點的兩條公路，其中公路
PA的走向是南偏西34°，公路PB與正南方向夾角的余角
是30°，則這兩條公路的夾角∠APB＝ °.
150°14'22″　
94　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. [2024·東莞期末]已知一個角的補角比這個角的余角的2倍
還多30°.
(1)設這個角的度數為x，則它的補角為 ；
它的余角為 ；(用x表示)
(2)求這個角的度數.
【解】由題意可知，(180°－x)－2(90°－x)＝
30°，解得x＝30°.
即這個角的度數是30°.
180°－x　
90°－x　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
余角、補角的性質
8. 如圖，點O在直線AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，下
列說法錯誤的是(　D　)
A. ∠1＝∠2
B. ∠AOE與∠2互余
C. ∠AOD與∠1互補
D. ∠AOD與∠COD互補
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【點撥】
因為∠COB＝∠EOD＝90°，
所以∠1＋∠COD＝∠2＋∠COD＝90°，
所以∠1＝∠2，故A選項正確；
因為∠AOE＋∠1＝90°，
所以∠AOE＋∠2＝90°，即∠AOE與∠2互余，故
B選項正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因為∠AOD＋∠2＝180°，
所以∠AOD＋∠1＝180°，即∠AOD與∠1互補，
故C選項正確；
無法判斷∠AOD與∠COD是否互補，D選項錯誤.
故選D.
D
【答案】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，則下列說法一
定正確的是(　A　)
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＝∠3
C. ∠1＝∠2 D. ∠1＝∠2＝∠3
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. [2024·金華東陽期末]如圖，一副三角板按不同的位置擺
放，擺放位置中∠α＝∠β的圖形有 .(填序號)
②③④　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【點撥】
根據直角三角板中每個角的度數，可以判斷出圖①
中∠α＝45°，∠β＝60°；圖②中∠α＝∠β＝45°；由
同角的余角相等可得圖③中∠α＝∠β，由等角的補角相
等可得圖④中∠α＝∠β，在圖⑤中∠α＋∠β＝180°，
不相等，因此擺放位置中∠α＝∠β的圖形有②③④.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. ∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列表示∠β的余角的式
子有：①90°－∠β；②∠α－90°；③ (∠α＋∠β)；
④ (∠α－∠β)，其中錯誤的有(　A　)
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以∠β＝180°－∠α，∠α＝180°－∠β.
因為90°－∠β＋∠β＝90°，所以90°－∠β為∠β
的余角.
因為∠α－90°＝180°－∠β－90°＝90°－∠β，
所以∠α－90°為∠β的余角.
【點撥】
因為∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因為 (∠α＋∠β)＝90°，所以它不是∠β的余角.
因為 (∠α－∠β)＝ (180°－∠β－∠β)＝90°－
∠β，所以 (∠α－∠β)為∠β的余角.
【答案】
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. [2024·杭州拱墅區期末]已知∠γ是∠α的補角，∠β是∠γ
的補角，若∠α＝(2n－30)°，∠β＝(60－n)°，則∠γ
的度數為 .
【點撥】
因為∠γ是∠α的補角，∠β是∠γ的補角，所以易得
∠α＝∠β，
所以(2n－30)°＝(60－n)°，
所以n＝30，所以∠α＝30°，
所以∠γ＝180°－30°＝150°.
150°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. [新視角·新定義題]我們定義：有一條公共邊的兩個互余
的角為“友余角”，現在∠α和∠β為一對“友余角”，
∠α＝20°，則∠α和∠β的平分線所成角的度數
為 .
【點撥】
因為∠α和∠β為一對“友余角”，∠α＝20°，所
以∠β＝70°，所以∠α和∠β的平分線所成角的度數為
∠α＋ ∠β＝45°或 ∠β－ ∠α＝25°.
45°或25°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 如圖，射線OA的方向是北偏東15°，射線OB的方向是
北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，射線OD是OB的反向
延長線.
(1)射線OC的方向是 ；
北偏東70°　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
因為射線OB的方向是北偏西40°，射線OA的方
向是北偏東15°，
所以∠NOB＝40°，∠NOA＝15°，
【點撥】
如圖，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以∠AOB＝∠NOB＋∠NOA＝55°.
因為∠AOB＝∠AOC，
所以∠AOC＝55°，
所以∠NOC＝∠NOA＋∠AOC＝70°，
所以射線OC的方向是北偏東70°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】由題意，知∠AOB＝55°，∠AOC＝
∠AOB，所以∠AOC＝55°，
所以∠BOC＝110°.
又因為射線OD是OB的反向延長線，
所以∠BOD＝180°，
所以∠COD＝180°－110°＝70°.
又因為射線OE平分∠COD，
所以∠COE＝35°.
所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝90°.
(2)若射線OE平分∠COD，求∠AOE的度數；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(3)直接寫出一對互余的角是 ，一
對互補的角是 .　(答案不唯一)　
∠AOC與∠COE　
∠AOB與∠AOD　
(答案不唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. [新視角·操作探究題](1)如圖①，將兩塊直角三角板的直
角頂點C疊放在一起.
①若∠DCE＝40°，則∠ACB的度數是多少？若
∠ACB＝120°，則∠DCE的度數是多少？
②猜想∠ACB與∠DCE的度數有何特殊關系，并說明
理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】①因為∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
所以∠ACE＝∠ACD－∠DCE＝90°－40°＝50°.
又因為∠BCE＝90°，
所以∠ACB＝50°＋90°＝140°.
因為∠BCE＝90°，∠ACB＝120°，
所以∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝120°－90°＝30°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
又因為∠ACD＝90°，
所以∠DCE＝90°－30°＝60°.
②∠ACB＋∠DCE＝180°.理由：因為∠ACB＝
∠ACD＋∠BCD＝90°＋∠BCD，
所以∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠BCD＋∠DCE＝
90°＋∠BCE＝180°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)如圖②，若是兩塊同樣的三角板60°銳角的頂點A疊
放在一起，則∠DAB與∠CAE的度數有何關系？請
說明理由.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
【解】∠DAB＋∠CAE＝120°.理由：
因為∠DAB＝∠DAC＋∠CAB＝60°＋∠CAB，
所以∠DAB＋∠CAE＝60°＋∠CAB＋∠CAE＝
60°＋∠EAB＝120°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(3)如圖③，已知∠AOB＝α，作∠COD＝β(α，β都是銳
角且α＞β)，若OC在∠AOB的內部，請直接寫出
∠AOD與∠BOC的度數關系，不必說明理由.
【解】∠AOD＋∠BOC＝α－β或∠AOD＋∠BOC
＝α＋β或∠BOC－∠AOD＝α－β.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑