資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
中考數學一輪復習 圖形的對稱
一．選擇題（共10小題）
1．（2024 綿陽）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時非常美麗，深受人們喜愛，它的圖案具有對稱美，如圖，蝴蝶圖案關于軸對稱，點的對應點為，若點的坐標為，則點的坐標為　　
A． B． C． D．
2．（2024春 雙塔區校級期末）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
3．（2024 渦陽縣三模）在矩形中，，，是邊上的點，將沿著對折，當點落在矩形對角線上時，則　　
A． B．或 C． D．或
4．（2024 中山市校級三模）如圖，下面是三位同學的折紙示意圖，則依次是的　　
A．中線、角平分線、高線 B．高線、中線、角平分線
C．角平分線、高線、中線 D．角平分線、中線、高線
5．（2024 寧陽縣二模）如圖，已知正方形的邊長為2，點是正方形內一點，連接，，且，點是邊上一動點，連接，，則長度的最小值為　　
A． B． C． D．
6．（2024 合江縣一模）若點和點關于軸對稱，則點在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024 牡丹江）小明同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：
第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．
第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到△，交折痕于點，則線段的長為　　
A． B． C． D．
8．（2024 濱州）數學中有許多精美的曲線，以下是“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛卡爾心形線”．其中不是軸對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
9．（2024 萊蕪區校級模擬）如圖，邊長為2的正方形的對角線相交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則的長為　　
A． B． C． D．
10．（2024 市南區校級三模）如圖，在矩形中，是的中點，將折疊后得到，點在矩形內部．延長交于點，若，，則折痕的長為　　
A． B． C．3 D．
二．填空題（共10小題）
11．（2024 惠陽區校級三模）如圖，△是等邊三角形，是邊上的高，是的中點，是上的一個動點，當與的和最小時，的度數是 　　．
12．（2024 灤南縣校級模擬）如圖，在中，點是邊上一點，將沿翻折得到，與交于點，設，．
（1）當，，時，的長是 　　；
（2）當，時，與的面積之比是 　　．
13．（2024 南充模擬）如圖，將矩形對折，使與邊重合，得到折痕，再將點沿過點的直線折疊到上，對應點為，折痕為，，，則的長度為 　　．
14．（2024 濱州）如圖，四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點，使它到四個頂點的距離之和最小，則點坐標為 　　．
15．（2024 浦東新區三模）如圖，在正方形的邊上取一點，聯結，將沿翻折，點恰好與對角線上的點重合，聯結，若，則的面積是 　　
16．（2024 海南）如圖，矩形紙片中，，，點、分別在邊、上，將紙片沿折疊，使點的對應點在邊上，點的對應點為，則的最小值為 　　，的最大值為 　　．
17．（2024 啟東市二模）已知四邊形是矩形，，，為邊上一動點且不與、重合，連接，如圖，過點作交于點．將沿翻折，點恰好落在邊上，那么的長 　　．
18．（2024 南陽一模）如圖，矩形中，，，點為邊上一個動點，將沿折疊得到，點的對應點為，當射線恰好經過的中點時，的長為 　　．
19．（2024 柳東新區校級模擬）如圖，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為，連結，再將△沿直線折疊，使點落在上的點處，若，則△（陰影部分）的面積為 　　．
20．（2024 渝中區校級模擬）如圖，矩形紙片中，為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為 　　．
三．解答題（共5小題）
21．（2024 建平縣模擬）【課例改編】
數學課上，張老師根據數學課本習題改編了一個題目：如圖，是△的高，，若，，求的長．
小明同學的想法是利用構造全等三角形來解決：將△沿折疊，如圖1，則點剛好落在邊上的點處．
（1）結合小明同學的想法，請直接寫出：　　．
【改編拓展】
張老師繼續啟發同學們改編此題，得到下列試題，請同學們解答：
（2）如圖2，，為△的外角的平分線，交的延長線于點，則線段、、有什么數量關系？請寫出你的猜想并證明．
【模型應用】
根據上面探究構造全等模型的規律，請解答：
（3）如圖3，在四邊形中，平分，，，，求的長．
22．（2024 東莞市三模）數學中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現出圖形對稱的美，初中常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等．
如圖，在等腰中，．
（1）尺規作圖：作關于直線對稱的（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接，交于點，若，四邊形周長為，求四邊形的面積．
23．（2024 武漢模擬）由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點均是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
（1）先畫點關于的對稱點，再將線段繞點逆時針旋轉，得線段；
（2）連，在線段上畫點，使，再連，在上畫點，使．
24．（2024 蘭州模擬）如圖，在矩形中，點，分別在，上．將矩形分別沿，翻折后點，均落在點處，此時，，三點共線，若．
（1）求證：矩形為正方形；
（2）若，求的長．
25．（2024 鳳凰縣模擬）人教版初中數學八年級下冊第64頁數學活動告訴我們一種折紙得特殊角的方法：
①對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
②再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段．請你根據提供的材料完成下面的問題．
（1）填空：　　；
（2）求的度數．
中考數學一輪復習 圖形的對稱
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024 綿陽）蝴蝶顏色炫麗，翩翩起舞時非常美麗，深受人們喜愛，它的圖案具有對稱美，如圖，蝴蝶圖案關于軸對稱，點的對應點為，若點的坐標為，則點的坐標為　　
A． B． C． D．
【答案】
【考點】坐標確定位置；關于軸、軸對稱的點的坐標；軸對稱圖形
【專題】平移、旋轉與對稱；應用意識
【分析】由題意得，點與點關于軸對稱，根據關于軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等，即可得答案．
【解答】解：由題意得，點與點關于軸對稱，
點的坐標為．
故選：．
【點評】本題考查關于軸、軸對稱的點的坐標、坐標確定位置、軸對稱圖形，熟練掌握關于軸對稱的點的坐標特征是解答本題的關鍵．
2．（2024春 雙塔區校級期末）在以下綠色食品、回收、節能、節水四個標志中，是軸對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考點】軸對稱圖形
【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀
【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．
【解答】解：選項、、不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，
故選：．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3．（2024 渦陽縣三模）在矩形中，，，是邊上的點，將沿著對折，當點落在矩形對角線上時，則　　
A． B．或 C． D．或
【答案】
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】矩形 菱形 正方形；推理能力；展開與折疊；運算能力
【分析】分兩種情況，當點的對應點，落在矩形的對角線上時，當點的對應點，落在矩形的對角線上時，分別畫出圖形，求出結果即可．
【解答】解：四邊形為矩形，
，，，
，
當點的對應點，落在矩形的對角線上時，如圖所示：
根據折疊可知：，，
，
設，則，
在中，根據勾股定理可知：
，
即，
解得：；
當點的對應點，落在矩形的對角線上時，如圖所示：
根據折疊可知：，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
綜上所述，的長為或．
故選：．
【點評】本題考查了折疊問題，矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質，折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等；對應角相等．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．
4．（2024 中山市校級三模）如圖，下面是三位同學的折紙示意圖，則依次是的　　
A．中線、角平分線、高線 B．高線、中線、角平分線
C．角平分線、高線、中線 D．角平分線、中線、高線
【答案】
【考點】三角形的角平分線、中線和高；軸對稱的性質
【專題】應用意識；三角形
【分析】根據三位同學的折紙示意圖，結合三角形角平分線、中線和高線的定義即可解決問題．
【解答】解：由題知，
由圖①的折疊方式可知，
，
所以是的角平分線．
由圖②的折疊方式可知，
，
又因為，
所以，
即，
所以是的高線．
由圖③的折疊方式可知，
，
所以是的中線．
故選：．
【點評】本題考查軸對稱的性質及三角形的角平分線、中線和高線，熟知三角形角平分線、中線和高線的定義即可解決問題．
5．（2024 寧陽縣二模）如圖，已知正方形的邊長為2，點是正方形內一點，連接，，且，點是邊上一動點，連接，，則長度的最小值為　　
A． B． C． D．
【答案】
【考點】正方形的性質；軸對稱最短路線問題
【專題】矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力
【分析】根據正方形的性質得到，推出，得到點在以為直徑的半圓上移動，如圖，設的中點為，正方形關于 直線對稱的正方形，則點的對應點是，連接交于，交半圓于，線段的長 即為的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論．
【解答】解：四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
點在以為直徑的半圓上移動，
如圖，設的中點為，正方形關于直線對稱的正方形，
則點的對應點是，
連接交于，交半圓于，線段的長即為的長度最小值，，
，，
，
，
，
的長度最小值為，
故選：．
【點評】此題考查了正方形的性質，圓周角定理，軸對稱的 性質，點的運動軌跡，勾股定理，最小值問題，正 確理解點的運動軌跡是解題的關鍵．
6．（2024 合江縣一模）若點和點關于軸對稱，則點在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【考點】關于軸、軸對稱的點的坐標
【專題】平移、旋轉與對稱；符號意識
【分析】根據關于軸對稱的點的特征：橫坐標相同，縱坐標互為相反數，求出，的值，根據象限內點的特點，進行判斷即可．
【解答】解：由題意，得：，，
，，
點在第四象限；
故選：．
【點評】本題考查的是關于坐標軸對稱的點的坐標特點，熟知關于軸對稱的點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數是解題的關鍵．
7．（2024 牡丹江）小明同學手中有一張矩形紙片，，，他進行了如下操作：
第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與重合，得到折痕，將紙片展平．
第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把沿折疊得到△，交折痕于點，則線段的長為　　
A． B． C． D．
【答案】
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】矩形 菱形 正方形；展開與折疊；運算能力；推理能力
【分析】根據矩形的性質和折疊的性質推出，進而得出，設 ，則，根據勾股定理可得：，列出方程求解即可．
【解答】解：四邊形是矩形，
，
由折疊可得：，，，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
設 ，則，
在中，根據勾股定理可得：，
即，
解得：，
即，
故選：．
【點評】本題考查了矩形的折疊問題，熟練掌握矩形的性質，折疊的性質，勾股定理是解題的關鍵．
8．（2024 濱州）數學中有許多精美的曲線，以下是“懸鏈線”“黃金螺旋線”“三葉玫瑰線”和“笛卡爾心形線”．其中不是軸對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【考點】軸對稱圖形
【專題】平移、旋轉與對稱；幾何直觀
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解．
【解答】解：、是軸對稱圖形；
、不是軸對稱圖形；
、是軸對稱圖形；
、是軸對稱圖形；
故選：．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
9．（2024 萊蕪區校級模擬）如圖，邊長為2的正方形的對角線相交于點，將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，則的長為　　
A． B． C． D．
【答案】
【考點】正方形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】圖形的相似；幾何直觀；推理能力
【分析】連接，首先根據正方形的性質和勾股定理求出，然后根據折疊的性質得到，，，求出，然后求出，然后證明出，得到，代數求解即可．
【解答】解：方法一：如圖所示，連接，
邊長為2的正方形的對角線相交于點，
，
，
將正方形沿直線折疊，點落在對角線上的點處，折痕交于點，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得．
方法二：，，
，
又，，
，
，
故選：．
【點評】本題主要考查正方形的性質、折疊的性質、勾股定理、相似三角形的判定及其性質，解題的關鍵是正確作出輔助線．
10．（2024 市南區校級三模）如圖，在矩形中，是的中點，將折疊后得到，點在矩形內部．延長交于點，若，，則折痕的長為　　
A． B． C．3 D．
【答案】
【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質
【專題】推理能力；矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；幾何直觀
【分析】連接，先證明，得到，設，則有，，在中，，解出，在中，，，即可求．
【解答】解：連接，
是的中點，
，
將折疊后得到，
，，
，
矩形，
，
，
，
，，
設，則有，，
在中，，
，
在中，，，
，
故選：．
【點評】本題考查矩形的性質，圖形折疊的性質，掌握圖形折疊的性質，通過證明三角形全等，勾股定理求出的長是解題的關鍵．
二．填空題（共10小題）
11．（2024 惠陽區校級三模）如圖，△是等邊三角形，是邊上的高，是的中點，是上的一個動點，當與的和最小時，的度數是 　　．
【考點】等邊三角形的性質；軸對稱最短路線問題
【專題】三角形；幾何直觀
【分析】連接，則的長度即為與和的最小值．再利用等邊三角形的性質可得，即可解決問題；
【解答】解：如連接，與交于點，此時最小，
△是等邊三角形，，
，
，
即就是的最小值，
△是等邊三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案為．
【點評】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．
12．（2024 灤南縣校級模擬）如圖，在中，點是邊上一點，將沿翻折得到，與交于點，設，．
（1）當，，時，的長是 　5　；
（2）當，時，與的面積之比是 　　．
【答案】（1）5；
（2）．
【考點】三角形的面積；翻折變換（折疊問題）
【專題】推理能力；運算能力；展開與折疊
【分析】（1）設，由勾股定理結合方程思想即可求出的長；
（2）證明，根據面積比等于相似比的平方即可求出面積之比．
【解答】解：（1）當，，時，
得，，，
設，則，
由題意可得，
在中，由勾股定理可得，
，
即，
解得：，
故；
（2）當，時；
；
，
又，
，
，
由題意可得，
，
，
，
，
，
設，，，
則，
，
，
，
整理得：，
解得：（不符合題意，舍去），
，
，，
，
故與的面積之比是：．
【點評】本題主要考查勾股定理，相似三角形等知識，熟悉掌握相關的知識是解題的關鍵．
13．（2024 南充模擬）如圖，將矩形對折，使與邊重合，得到折痕，再將點沿過點的直線折疊到上，對應點為，折痕為，，，則的長度為 　　．
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力
【分析】由矩形的性質得，由折疊得，因為垂直平分，所以，，可證明四邊形是矩形，則，所以，則，于是得到問題的答案．
【解答】解：四邊形是矩形，，，
，
由折疊得，點與點關于直線對稱，
垂直平分，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
故答案為：．
【點評】此題重點考查矩形的判定與性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，正確地求出的長是解題的關鍵．
14．（2024 濱州）如圖，四邊形四個頂點的坐標分別是，，，，在該平面內找一點，使它到四個頂點的距離之和最小，則點坐標為 　，　．
【答案】，．
【考點】一次函數圖象上點的坐標特征；軸對稱最短路線問題
【專題】平面直角坐標系；一次函數及其應用；幾何直觀；運算能力
【分析】根據兩點之間線段最短，連接和，它們的交點即為所求，然后求出直線和直線的解析式，將它們聯立方程組，求出方程組的解，即可得到點的坐標．
【解答】解：連接、，交于點，如圖所示，
兩點之間線段最短，
的最小值就是線段的長，的最小值就是線段的長，
到四個頂點的距離之和最小的點就是點，
設所在直線的解析式為，所在直線的解析式為，
點在直線上，點，在直線上，
，，
解得，，
直線的解析式為，直線的解析式為，
，
解得，
點的坐標為，，
故答案為：，．
【點評】本題考查一次函數的應用、最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出點所在的位置．
15．（2024 浦東新區三模）如圖，在正方形的邊上取一點，聯結，將沿翻折，點恰好與對角線上的點重合，聯結，若，則的面積是 　　
【答案】．
【考點】三角形的面積；正方形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】三角形；矩形 菱形 正方形；展開與折疊；運算能力；推理能力
【分析】由折疊可得，，且 可得，即可求對角線的長，則可求面積．
【解答】解：如圖，連接交于，
為正方形，
，，，，．
沿翻折，
，，，，
，
，
，
，
，
．
．
故答案為：．
【點評】本題考查翻折變換、正方形的性質、勾股定理、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練應用所學知識解決問題．
16．（2024 海南）如圖，矩形紙片中，，，點、分別在邊、上，將紙片沿折疊，使點的對應點在邊上，點的對應點為，則的最小值為 　6　，的最大值為 　　．
【答案】6；．
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】推理能力；圖形的相似；特殊化方法
【分析】由折疊可知，則時，最小，即最小，此時四邊形是正方形，則；當與重合時，最大，此時在的垂直平分線上，求出，，再證△△，求出，即可解答．
【解答】解：由折疊可知，則時，最小，即最小，此時四邊形是正方形，則；
當與重合時，最大，此時在的垂直平分線上，如圖：
矩形紙片中，，，則，則，
，，
△△，
，
，
．
故答案為：6；．
【點評】本題考查矩形的判定和性質，正方形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，分析出最值情況是解題的關鍵．
17．（2024 啟東市二模）已知四邊形是矩形，，，為邊上一動點且不與、重合，連接，如圖，過點作交于點．將沿翻折，點恰好落在邊上，那么的長 　2或　．
【答案】2或．
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】展開與折疊；推理能力
【分析】過點作于，則四邊形是矩形，得出，，由折疊的性質得出，，，證明△△，得出，則，由，得出，則，得出，設，則，，，則，求出，，由，即可得出結果；
【解答】解：過點作于，如圖所示：
則四邊形是矩形，
，，
由折疊的性質得：，，，
，
，
，
，
△△，
，
，
同理可得：，
，
，
，
設，則，，，
，
，，
，
解得：或，
或．
故答案為：2或．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、折疊的性質、一元二次方程的解法，三角形面積的計算等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
18．（2024 南陽一模）如圖，矩形中，，，點為邊上一個動點，將沿折疊得到，點的對應點為，當射線恰好經過的中點時，的長為 　2或8　．
【考點】平行線的性質；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；推理能力
【分析】分兩種情況：①如題干圖，的延長線過的中點，先推出，在中，求出，即可求出，由翻折性質可得，從而解決問題；②過的中點，類似的可以求出的長．
【解答】解：①的延長線過的中點，如題干圖，
四邊形是矩形，
，，
，
將沿折疊得到，，
，，，，
，，
，
，是的中點，
，
在中，
由勾股定理，得，
；
②過的中點，如圖，
同①，可求得，，
．
綜上，或8．
故答案為：2或8．
【點評】本題考查翻折變換的性質，矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握相關圖形的判定和性質是解題的關鍵．
19．（2024 柳東新區校級模擬）如圖，將矩形紙片沿過點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為，連結，再將△沿直線折疊，使點落在上的點處，若，則△（陰影部分）的面積為 　　．
【考點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力
【分析】由矩形的性質得，，由折疊得，，，再證明四邊形是正方形，則，求得，則，于是得到問題的答案．
【解答】解：四邊形是矩形，
，，
由折疊得，，，
點在邊上，點在上，
四邊形是矩形，，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
故答案為：．
【點評】此題重點考查矩形的判定與性質、正方形的判定與性質、軸對稱的性質、勾股定理、三角形的面積公式等知識，證明四邊形是正方形是解題的關鍵．
20．（2024 渝中區校級模擬）如圖，矩形紙片中，為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長為 　　．
【答案】．
【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質
【專題】平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力
【分析】連接，交于點，由折疊可知：，，垂直平分，再證，得到，在中，利用等積法求出的長，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．
【解答】解：連接，交于點，
由折疊可知：
，，，，
點為的中點，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，平行線的判定和性質等內容，熟練掌握翻折變換和勾股定理的應用是解題的關鍵．
三．解答題（共5小題）
21．（2024 建平縣模擬）【課例改編】
數學課上，張老師根據數學課本習題改編了一個題目：如圖，是△的高，，若，，求的長．
小明同學的想法是利用構造全等三角形來解決：將△沿折疊，如圖1，則點剛好落在邊上的點處．
（1）結合小明同學的想法，請直接寫出：　9　．
【改編拓展】
張老師繼續啟發同學們改編此題，得到下列試題，請同學們解答：
（2）如圖2，，為△的外角的平分線，交的延長線于點，則線段、、有什么數量關系？請寫出你的猜想并證明．
【模型應用】
根據上面探究構造全等模型的規律，請解答：
（3）如圖3，在四邊形中，平分，，，，求的長．
【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；翻折變換（折疊問題）
【專題】圖形的全等；展開與折疊；運算能力；推理能力
【分析】（1）根據題意畫出圖形，由折疊的性質可得：，，，由可得，再由三角形外角的定義及性質可得，推出，進而得到，最后進行計算即可得到答案；
（2）在上截取，連接，證明△△得到，，證明，再由得到，再根據三角形外角的定義及性質得出，進而得到，即可得證；
（3）在上截取，連接，證明△△，得到，，進而得到，，推導出．
【解答】解：（1）如圖1，將△沿折疊，則點剛好落在邊上的點處，
由折疊的性質可得：，，，
，
，
，
，
，
，
故答案為：9；
（2）．
證明：如圖2，在上截取，連接，
，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，在上截取，連接，
平分，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
．
【點評】本題主要考查了角平分線的定義、三角形全等的判定與性質、三角形外角的定義及性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、折疊的性質等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．
22．（2024 東莞市三模）數學中的軸對稱就像鏡子一樣，可以展現出圖形對稱的美，初中常見的軸對稱圖形有：等腰三角形、菱形、圓等．
如圖，在等腰中，．
（1）尺規作圖：作關于直線對稱的（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）連接，交于點，若，四邊形周長為，求四邊形的面積．
【答案】（1）見解析；
（2）4．
【考點】菱形的性質；等腰三角形的性質；作圖軸對稱變換
【專題】幾何直觀；矩形 菱形 正方形；作圖題；推理能力
【分析】（1）根據點關于直線的對稱點的作法作出點，連接、即可；
（2）根據（1）的作法得出四邊形是菱形，再根據菱形的性質結合勾股定理已經菱形的面積等于對角線乘積的一半即可求解．
【解答】解：（1）如圖，即為所求；
（2）與關于直線對稱，
，，
又，
，
四邊形是菱形，
，且，
又四邊形周長為，
，
，
，
四邊形的面積．
【點評】本題考查了作圖軸對稱變換，熟記菱形的面積等于對角線乘積的一半是解（2）的關鍵．
23．（2024 武漢模擬）由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點均是格點，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
（1）先畫點關于的對稱點，再將線段繞點逆時針旋轉，得線段；
（2）連，在線段上畫點，使，再連，在上畫點，使．
【答案】見解析．
【考點】作圖軸對稱變換；作圖旋轉變換；解直角三角形
【專題】幾何直觀；作圖題
【分析】（1）構造菱形即可得到點的對稱點，再利用旋轉變換的性質作出點的對應點即可；
（2）取格點，，連接交一點，連接，延長交一點．取格點，，連接，交于點，連接交一點，點，點即為所求．
【解答】解：（1）如圖，得，線段即為所求；
（2）如圖，點，點即為所求．
【點評】本題考查作圖軸對稱變換，旋轉變換，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
24．（2024 蘭州模擬）如圖，在矩形中，點，分別在，上．將矩形分別沿，翻折后點，均落在點處，此時，，三點共線，若．
（1）求證：矩形為正方形；
（2）若，求的長．
【答案】（1）證明見解答；
（2）的長是8．
【考點】矩形的性質；正方形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）
【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋轉與對稱；運算能力；推理能力
【分析】（1）由翻折得，，，則，所以，而，即可證明，而四邊形是矩形，所以四邊形是正方形；
（2）由正方形的性質得，而，所以，，由勾股定理得，求得．
【解答】（1）證明：由翻折得，，，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，且，
四邊形是正方形．
（2）解：四邊形是正方形，
，
，
，，
，
，
，
解得或（不符合題意，舍去），
的長是8．
【點評】此題重點考查正方形的性質、軸對稱的性質、正方形的判定與性質、直角三角形的兩個銳角互余、同角的余角相等、勾股定理等知識，推導出是解題的關鍵．
25．（2024 鳳凰縣模擬）人教版初中數學八年級下冊第64頁數學活動告訴我們一種折紙得特殊角的方法：
①對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；
②再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段．請你根據提供的材料完成下面的問題．
（1）填空：　　；
（2）求的度數．
【答案】（1）；
（2）．
【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質
【專題】平移、旋轉與對稱；推理能力
【分析】（1）根據折疊判斷線段關系即可計算比值；
（2）由（1）可知，可得到，即可得到，然后在根據折疊計算即可．
【解答】解：（1）由折疊可知：，，
，；
故答案為：；
（2）在△中，，
，
，
由折疊可得：．
【點評】本題主要考查折疊的性質，特殊角度三角函數值，掌握折疊的性質是關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑