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(共19張PPT)
第一章
勾股定理
八年級數學北師版·上冊
☆問題解決策略：反思
新知探究
如圖，一個圓柱的高為12 cm，底面圓的周長為18 cm.在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，那么它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少
螞蟻怎么走最近
A
B
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
螞蟻A→B的路線
B
A
A′
d
A
B
A′
A
B
B
A
O
新知探究
A
B
A′
B
A
A′
r
O
h
怎樣計算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，
側面展開圖
其中AA′是圓柱體的高,A′B是底面圓周長的一半.
新知探究
若已知圓柱體高為12cm，底面圓的周長為18cm，則:
新知探究
9
B
A'
B
A
12
側面展開圖
12
A'
A
18
所以AB=15.
新知探究
回顧反思
(1)在擬訂解決問題的方案和實施方案的過程中，你獲得了哪些經驗
解：先類比以前研究過的最短路線問題，比較這些問題之間的不同點，然后根據不同點將現在研究的問題轉化為之前研究過的問題(即將曲面上的最短路線問題轉化為平面上的最短路線問題)，然后借助兩點之間線段最短及勾股定理，進而解決問題.
(2)這個問題中，影響結果的量有哪些 如果改變有關的量，你還能求解嗎 例如，改變圓柱的形狀，改變A，B兩點的位置，改為沿著圓柱表面爬行……這時又會有哪些新的問題
解：影響結果的量有點B的位置、螞蟻的爬行方式等.
點B的位置不同，螞蟻的爬行路線方式也會不同，
新知探究
(3)解決這個問題的經驗，還可以運用到哪些問題中 例如，能否解決正方體、長方體等幾何體表面兩點之間的最短距離問題
解：還可以解決螞蟻在圓柱側面上、樓梯表面上、正方體表面上、長方體表面上等兩點之間的爬行路線最短問題.
新知探究
新知探究
歸納：
幾何體側面或表面最短路徑問題的基本模型
圓柱
新知探究
歸納：
幾何體側面或表面最短路徑問題的基本模型
臺階
新知探究
歸納：
幾何體側面或表面最短路徑問題的基本模型
棱柱
(以長方體為例)
新知探究
歸納：
幾何體側面或表面最短路徑問題的基本模型
解題步驟：
將立體圖形展開成平面圖形→確定相關點位置→
構造直角三角形→根據勾股定理求解.
鞏固練習
如圖，有一個正方體形狀的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，點A,B,C,D是正方形的四個頂點，桌高是h cm.
(1)有一只螞蟻要從正方形桌面ABCD的A點爬行到C點，請畫出螞蟻爬行的最短路線，并說明理由 ；
兩點之間線段最短
解：如圖所示.
鞏固練習
(2)有另一只螞蟻要從桌子腳的P點（圖中正方體的一個頂點）沿著正方體桌子的外表面爬行到C點，怎樣爬行路線最短？請畫出最短路線示意圖.（畫出一種即可）
解：如圖，PC即為所求最短路線.（答案不唯一）
課堂小結
反思：
求立體圖形的表面上兩點間的最短路徑問題時，一般要把立體圖形展開成合適的平面圖形，然后連接兩點，根據兩點之間線段最短確定最短路線，進而借助勾股定理等進行求解.
課堂小測
1. 如圖所示，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 55cm、10cm、6cm，點A和點B是這個臺階的兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，那么這只螞蟻從點A爬到點B的最短路程是多少
課堂小測
解：如圖所示，將這個臺階展成一個平面圖形，則螞蟻爬行的最短路程就是線段AB的長.
在Rt△ABC中，BC=55 cm，
AC=（10+6）×3=48（cm）.
由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=482+552=5 329.
所以AB=73 cm.
因此，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是73 cm.
課堂小測
2. 如圖所示，是一個長方體形狀的牛奶盒，將一只螞蟻放在點A處，并在點B處滴一滴蜂蜜，請求出螞蟻找到蜂蜜的最短路線。
課堂小測
解：由題意可知有三種展開方法，如圖.
由勾股定理得
AB12=102+（6+8）2=296,
AB22=82+（10+6）2=320,
AB32=62+（10+8）2=360,
所以AB1所以螞蟻找到蜂蜜的最短路線為AB1.

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