資源簡介

(共16張PPT)
第一章
勾股定理
八年級數學北師版·上冊
3 勾股定理的應用
新課引入
“折竹抵地”(源自《九章算術》):
今有竹高一丈，風折抵地，去本三尺，問折者高幾何
大意:一根竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處距離竹子底部3尺遠.問折斷后的竹子有多高
古代趣題
新知探究
裝修工人李叔叔想檢測某塊裝修用磚（如圖）的邊AD 和邊 BC 是否分別垂直于底邊 AB.
（1）如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務嗎？
用卷尺分別測量 AD，DB，AB 的長，
若 AD2 + AB2＝DB2，
則 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
A
B
C
D
A
B
C
D
（2）李叔叔測得邊 AD 長 30 cm，邊 AB 長 40 cm，點 B，D 之間的距離是 50 cm. 邊 AD 垂直于邊 AB 嗎
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，
DB2＝502＝2500，
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以邊 AD 垂直于邊 AB
新知探究
(3) 如果李叔叔隨身只帶了一個長度為 20 cm 的刻度尺，那么他能檢驗邊 AD 是否垂直于邊 AB 嗎
A
B
C
D
E
F
能檢驗.
在 AD 上從 A 點量取 12 cm 得點 E，在 AB 上從 A 點量取 16 cm 得點 F.
因為 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺測 EF 長度，若 EF = 20 cm，
根據勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，則 AD 不垂直 AB.
新知探究
新知探究
如圖，正方形紙片 ABCD 的邊長為 8 cm，點 E 是邊 AD 的中點，將這個正方形紙片翻折，使點 C 落到點 E 處，折痕交邊 AB 于點 G，交邊 CD 于點 F. 你能求出 DF 的長嗎
解：∵點 E 是邊 AD 的中點，∴ DE = AD = 4 cm.
設 DF = x cm，
則 CF = EF = (8 - x) cm，
在Rt△DEF 中，DE2 + DF2 = EF2，
則 42 + x2 = (8 - x)2，解得 x = 3.
∴DF 的長為 3 cm.
新知探究
例 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊. 問：水深、葭長各幾何？(選自《九章算術》)
題目大意：有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形. 在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺（如圖）.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達岸邊的水面. 這個水池的深度和這根蘆葦的
長度各是多少
B
O
C
A
新知探究
解：設水池的水深 OA 為 x 尺，則蘆葦的長度 OB 為 (x + 1) 尺.
由于蘆葦位于水池中央，所以 AC為 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，蘆葦的長度是 13 尺.
B
O
C
A
“折竹抵地”(源自《九章算術》):
今有竹高一丈，風折抵地，去本三尺，問折者高幾何
大意:一根竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處距離竹子底部3尺遠.問折斷后的竹子有多高
古代趣題
新知探究
由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x2+32=(10-x)2，解得x=4.55.
折斷后竹子4.55尺高.
解:由題意，得BC=3，
設AB=x，則AC=10-x，
新知探究
鞏固練習
1.如圖所示，有兩棵樹，一棵高10 m，另一棵高4 m，兩樹相距8 m.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行(　　)
A.8 m　　 B.10 m
C.12 m D.14 m
解析:如圖所示，大樹高AB=10 m，小樹高CD=4 m，過C點作CE⊥AB于E點，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，∴EB=4 m，EC=8 m，AE=AB-EB=10-4=6m，在Rt△AEC中，AC2=AE2+CE2=62+82=102，∴AC=10 m.
B
鞏固練習
2.如圖所示，將一根長24 cm的筷子放入底面直徑為5 cm，高為12 cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度為h cm，則h的最小值是 (　　)
A.12 cm B.13 cm
C.11 cm D.9 cm
解析:如圖所示，設杯子的底面直徑為a，高為b，筷子在杯中的長度為c，根據勾股定理，得c2=a2+b2，∴c2=a2+b2=52+122=132，∴c=13 cm，∴h=24-13=11cm.
C
課堂小結
1.解決兩點距離問題:正確畫出圖形，已知直角三角形兩邊長，利用勾股定理求第三邊長.
2.解決航海問題:理解方向角等概念，根據題意畫出圖形，利用勾股定理或其逆定理解題.
3.解決實際問題中兩線段是否垂直的問題:以已知兩線段為邊構造一個三角形，根據三邊的長度，利用勾股定理的逆定理解題.
課堂小結
4.解決折疊問題:正確畫出折疊前、后的圖形，運用勾股定理及方程思想解題.
5.解決梯子問題:梯子架到墻上，梯子、墻、地面可構成直角三角形，利用勾股定理等知識解題.
課堂小測
1. 強大的臺風使得一根旗桿在離地面5m處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿12m處，旗桿折斷之前的
高度是(　D　)
A. 12m B. 13m
C. 17m D. 18m
第1題圖
D
課堂小測
2.如圖所示，鐵路AB的一邊有C，D兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知AB=25 km，DA=15 km，CB=10 km，現要在鐵路上建一個農產品收購站E，并使DE=CE，則農產品收購站E應建在距點A多少千米處
解:設AE=x km，則BE=(25-x)km.
∵DE=CE，∴DE2=CE2.
∵在Rt△DAE中，DA2+AE2=DE2，在Rt△EBC中，BE2+BC2=CE2，∴DA2+AE2=BE2+BC2，
即152+x2=(25-x)2+102，解得x=10.
故收購站E應建在距點A 10 km處.

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