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第二章 二次函數
1.二次函數
函 數
變量之間的關系
一次函數y=kx+b (k≠0)
反比例函數
二次函數
正比例函數y=kx(k≠0)
知識回顧
類比
學習結構：
圖象畫法：
求表達式的方法：
待定系數法法
概念---圖象及性質---應用
描點法
......
某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.
新知講解
（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？
自變量：橙子樹的數量，橙子樹之間的距離，
橙子樹接受陽光的多少等等；
因變量：每棵橙子樹的結果量，果園橙子的
總產量，每個橙子的質量等等.
y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000.
某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結600個橙子.現準備多種一些橙子樹以提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據經驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橙子.
（2）假設果園增種 x 棵橙子樹，那么果園共有__________棵橙子樹，這時
平均每棵樹結__________個橙子；
（3）如果果園橙子的總產量為 y 個，那么請你寫出 y 與 x 之間的關系式.
在種樹問題中，種多少棵橙子樹，可以使果園橙子的總產量最多？
想一想
x … 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …
y … …
60 420
60 455
60 480
60 495
60 500
60 495
60 480
60 455
60 420
做一做
銀行的儲蓄利率是隨時間的變化而變化的，也就是說，利率是一個變量.在我國，利率的調整是由中國人民銀行根據國民經濟發展的情況而決定的.
設人民幣一年定期儲蓄的年利率是x ，一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定期儲蓄轉存.如果存款是100元，那么請你寫出兩年后的本息和 y（元）的表達式（不考慮利息稅）.
y=100x +200x+100.
想一想
（1）兩數的和是20，設其中一個數是x，你能寫出
這兩數之積 y 的表達式嗎？
（2）已知矩形的周長為40 cm，它的面積可能是
100 cm2嗎？可能是75 cm2嗎？還可能是多
少？你能表示這個矩形的面積與其一邊長
的關系嗎？
y=x(20-x)
當矩形為正方形且邊長為10 cm時，面積是100 cm2；
當矩形長和寬分別為15 cm和 5 cm時，面積是75 cm2.
還有很多其他可能的情況. 設矩形的一邊長為 x cm，面積為y cm2，則另一邊長為(20-x)cm.根據題意得 y=x(20-x).
情境1：y=-5x +100x+60 000.
情境2：y=100x +200x+100.
情境3：y=x(20-x).
問題：y是 x 的函數嗎？y 是 x的一次函數？是反比例函數？
猜想它們是什么函數？
二次函數
新知講解
一般地，若兩個變量 x，y 之間的對應關系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c 是常數，a≠ 0）的形式，則稱 y 是 x 的二次函數.
二次函數的定義
一般地，若兩個變量x，y之間的對應關系可以表示成y=ax +bx+c(a,b,c是常數,且a≠ 0)的形式，則稱y是x的二次函數.
二次項
一次項
常數項
a：二次項系數
b：一次項系數
c：常數項
一般式：
一般地，若兩個變量 x，y 之間的對應關系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c 是常數，a≠ 0）的形式，則稱 y 是 x 的二次函數.
（1） y=ax (a≠0，b=0，c=0)；
（2） y=ax +c (a≠0，b=0，c≠0)；
（3） y=ax +bx (a≠0，b≠0，c=0).
二次函數的定義
例1 下列一定是二次函數的是____________.
②③④
例題講解
下列函數中,哪些是二次函數？ 是二次函數的請指出a,b,c的值？
函數 是否是二次函數 a b c
√ 10π 0 0
√ -2 0 3
×
×
√ 3 -6 4
×
一次函數
反比例函數
二次函數
例2 如圖1，底面為正方形的長方體，已知底面邊長是a，長方體的高為5，體
積為V.
（1）求 V 與 a 之間的函數表達式：____________ ， V是 a 的______函數；
其中二次項系數為________；
一次項系數為_______；
常數項為________;
（2）當 a=2 時，V= _________.
二次
5
0
0
20
a
5
圖1
例3 某商場將進價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套．據
市場調查發現，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套，如果商場每件
提價x元.
請你寫出每天銷售利潤 y 與提價 x 的函數表達式：_____________________，
化為一般式為：____________________________，y是 x 的__________函數.
二次
隨堂練習
1.下列函數中，不是二次函數的是（ ）
C
B
考查二次函數定義
2.函數 是二次函數的條件是（ ）
A. m，n為常數，且m≠0
B. m，n為常數，且m≠n
C. m，n為常數，且n≠0
D. m，n可以為任何常數
3.函數 是二次函數，則 k 的值是______ .
0或3
變式訓練：如果函數 是二次函數，則 k 的值是______.
0
小結：①最高次數項次數為 2； ②保證二次項系數不為 0.
①當k為何值時，函數 為二次函數？
②當k為何值時，函數 為二次函數？
③當k為何值時，函數 為二次函數？
⑤當k為何值時，函數 為二次函數？
④當k為何值時，函數 為二次函數？
4.半徑為3的圓，如果半徑增加2x ，面積S與x之間的函數表達式為___________.
5.某公司 1 月份營業額 為100 萬元，3月份營業額為 y 萬元，如果每月的增長
率為 x，則 y 與 x 的關系式為_______________ .
利用等量關系列函數式
6. 如圖2，校園要建苗圃，其形狀如直角梯形，有兩邊借用夾角為135°的兩面
墻，另外兩邊是總長為30米的鐵柵欄.
（1）∠B=____ ;
（2）用含有 x 的代數式分別表示BC= _____ ， AD=________;
（3）求梯形的面積 y 與高 x 的表達式.
圖2
x
135°
E
7. 如圖3，已知一張三角形紙片ABC，面積為25，BC邊的長為10，點M為AB邊上的一個動點，且點 M 不與點A ，點B重合，過點 M 作MN∥BC交AC于點N，設MN=x ，請用 x 表示三角形AMN的面積S.
A
M
N
B
C
x
10
圖3
課堂小結
注意：①最高次數項次數為 2；
　　　②保證二次項系數不為 0.
2.利用等量關系列二次函數關系式.
步驟：①利用等量關系列等式；
　　 ②將等式轉化為相應的函數關系式.
1.一般地，若兩個變量 x，y 之間的對應關系可以表示成 y=ax +bx+c（a，b，c
是常數，a≠ 0）的形式，則稱 y 是 x 的二次函數.
作業布置
習題2.1

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